劉春陽，王萌

（山東建筑大學土木工程學院，山東 濟南 250101）

鋼筋混凝土雙向壓彎構件正截面承載力簡化計算

劉春陽，王萌

（山東建筑大學土木工程學院，山東 濟南 250101）

框架柱雙向壓彎承載力不足是導致地震發(fā)生時結構嚴重破壞甚至倒塌的原因之一。文章基于截面等效的方法，在不改變截面面積、混凝土受壓區(qū)面積以及截面等效前后對中和軸面積矩相等的條件下，得到框架柱雙向壓彎承載力計算用等效截面，同時基于平衡原理建立了雙向壓彎承載力簡化計算方法，利用簡化計算方法和等效梭形法對空間節(jié)點試驗中框架柱的雙向壓彎承載力進行了計算，在保持配筋數(shù)量和截面幾何參數(shù)不變的條件下考慮了縱筋分別向角筋偏移2倍鋼筋直徑、4倍鋼筋植筋和與角筋緊密接觸三種情況來探索提高截面雙向壓彎承載力的方法。結果表明：兩種方法所得結果與試驗實測值均符合較好，且簡化方法計算精度較高，與試驗實測值僅相差3%；隨著縱筋向角筋的偏移，框架柱截面雙向壓彎承載力明顯提高，提高幅度在 14%～42%。

鋼筋混凝土柱；雙向壓彎；承載力；簡化計算；截面等效

0 引言

框架柱是結構中重要的承重構件，但震害調(diào)查發(fā)現(xiàn)框架柱在地震中極易產(chǎn)生損傷甚至破壞而影響結構的安全使用［1－5］。地震作用具有多維性和任意性特點，結構的任意方向都有可能是其主要作用方向也即最不利作用方向，當?shù)卣鹱饔醚匦毕颍ǚ侵鬏S）方向作用于結構時，框架柱便處于雙向壓彎的不利受力狀態(tài)，而現(xiàn)行結構設計方法只進行結構兩主軸平面內(nèi)的承載力驗算并沒有考慮框架柱截面雙向壓彎強度驗算是造成框架柱破壞的原因之一［6－9］。鋼筋混凝土雙向壓彎構件正截面承載力計算方法的研究已有很多年，許多學者給出了相應的計算方法，有的已寫入設計規(guī)范用以指導實際工程設計。Bresler和Alfred指出框架柱雙向壓彎受力時的破壞荷載與柱子截面尺寸、鋼筋的數(shù)量和分布特征、鋼筋和混凝土的應力—應變關系以及混凝土保護層厚度、箍筋的布置等因素有關［10－11］。精確的計算公式難以得到，但通過分析可以得到破壞荷載與框架柱兩主軸方向極限彎矩的相關曲面（又稱破壞曲面），并給出了任意給定軸力下相關曲面的包絡線曲線方程用以計算框架柱雙向壓彎正截面承載力。對于一個承受雙向壓彎作用的截面來講，每一個軸力彎矩組合都會對應一個中和軸位置，因此可以通過盡可能多的軸力彎矩組合去確定盡可能多的中和軸的位置，這就為設計曲線法的建立奠定了基礎。Fleming與 Tung首先基于不同軸力彎矩組合通過迭代計算確定中和軸的位置也即確定了混凝土受壓區(qū)形狀，其次通過截面平衡條件建立雙向壓彎時構件極限軸力和軸力在兩主軸方向的偏心距表達式，進而針對常用矩形（方形）截面形式、混凝土強度等級、鋼筋強度和配筋率等設計參數(shù)繪制了一單列無量綱設計用曲線［12－13］。通過無量綱設計曲線可較快的確定雙向壓彎構件截面尺寸和配筋，減少了設計人員設計所需時間。該方法雖可簡化設計過程，但只是針對鋼筋混凝土結構常用截面形式給出的設計曲線，隨著高層建筑結構的發(fā)展，構件截面形式將會變的更加復雜，高強度鋼筋和高強度混凝土以及組合結構等也會得到大量應用，設計曲線的確定將會變的更加復雜。基于纖維模型法的雙向壓彎構件正截面承載力計算方法，首先將截面劃分為有限多個混凝土單元、縱向普通鋼筋單元，并近似取單元內(nèi)的應變和應力為均勻分布，其合力點在單元重心處，每種材料纖維采用相應的本構關系且能考慮兩主軸方向彎矩之間的耦合。該方法雖能考慮兩主軸方向彎矩之間的耦合，但材料本構關系的設定對計算結果精度的影響較大，且需借助數(shù)值積分方法確定其正截面 強度［14－16］。此外，GB 50011—2010《混凝土結構設計規(guī)范》還給出了雙向偏壓構件受壓承載力的近似公式［15］，形式簡單但在偏心距較大的情況下計算誤差較大，同時該計算方法未能反映構件截面的實際受力狀態(tài)，與單向偏壓受力情況的計算方法未能很好的相互協(xié)調(diào)，只能近似的對軸壓極限承載力進行驗算而無法得到真實的軸壓承載力。宋坤等基于正截面承載力計算的數(shù)值積分法原理，通過對極限狀態(tài)下構件截面應變分布特征的分析，提出了從極限狀態(tài)下的應變分布出發(fā)逆向計算雙向壓彎構件正截面強度的方法［17］。通過 2重循環(huán)計算極限狀態(tài)時的截面內(nèi)力，不僅減小了現(xiàn)有正向積分方法確定截面極限承載力的計算量和計算時間，也可解決小偏心受壓構件的極限承載力確定問題。與試驗實測結果的對比表明，逆向正截面承載力計算方法誤差較小，計算精度較高，具有較好的實用性［17－18］。雙向壓彎構件正截面強度計算的復雜性，主要是由于中和軸與截面邊緣斜交而引起的。由于雙向壓彎構件截面中和軸傾斜，受壓區(qū)形狀較為復雜，從而在確定受壓區(qū)面積和受壓區(qū)壓力合力點位置時非常困難。Mattock將任意配筋矩形截面雙向壓彎構件的受壓區(qū)形狀劃分為三角形、梯形和五角形三種情況，其中梯形受壓區(qū)又分中和軸與矩形短邊相交、中和軸與矩形長邊相交兩種情形，對應不同的受壓區(qū)形狀按照構件截面內(nèi)力與所受外力平衡的原理給出了相應的計算公式［19］。該方法雖理論明確，但需通過迭代計算確定中和軸的最終位置后才能計算截面承載力，迭代計算需要編寫相應的計算程序而使得該方法在實際工程設計時難以被采用。等效梭形截面法最早由東南大學提出，用于雙向受彎構件的正截面承載力計算；陳忠漢等利用截面等效的方法將矩形截面轉化為梭形截面，進而將雙向壓彎構件的強度計算問題轉化為單向壓彎受力狀態(tài)下的強度計算并給出了相應的計算方法，其計算結果和試驗結果符合程度較好［20－21］。文章在鋼筋混凝土框架空間節(jié)點試驗研究的基礎上對框架柱的雙向壓彎強度簡化計算方法進行了研究［22］。

1 等效截面

圖1（a）所示為處于雙向壓彎受力狀態(tài)的矩形框架柱截面，假定等效截面與原有截面具有相同的截面面積，相同的混凝土受壓區(qū)面積且等效前后對中性軸的面積矩相等，將雙向壓彎受力的矩形截面等效為梭形截面，如圖 1（b）所示，再在梭形的四個角上增加一個小三角形使其變?yōu)橐粋€矩形，同時在矩形的四個角部各加一個與前述小三角形形狀相同但面積為負的小三角形，適當?shù)倪x擇矩形翼緣的寬和高，使得負矩形翼緣的面積及其形心位置與所添加負三角形的面積和形心位置相同，得到一個負工字形截面，如圖 1（c）所示，再把負矩形翼緣與相鄰截面合并后得到文中等效截面，如圖1（d）所示。等效截面的尺寸可按式（1）～（3）確定為

圖1 等效截面示意圖

式中：β為壓彎作用平面與截面主軸（y′）平面夾角，°；θ為截面中和軸與截面主軸（x′）夾角，可按 θ＝確定，當β＝0時，θ＝0，而此時中和軸平行于主軸（x′）即為單向壓彎受力狀態(tài)；b和h分別為原截面寬度和高度，mm；B和 H分別為等效截面的寬度和高度，mm；H1和H3分別為等效梭形截面兩端三角形部分的高度，mm，H2為等效梭形截面中間矩形部分的高度，mm；B1和H′1分別為負矩形翼緣的寬度和高度，mm；B2和H′2分別為等效截面翼緣寬度和中間矩形部分高度，mm。

原截面鋼筋在截面轉換后沿中和軸方向平行移動到等效截面的對稱軸處，其位置可由式（4）確定為

式中：x′i和 y′i分別為鋼筋在原截面的坐標值；yi為鋼筋在等效截面中的縱坐標值［23－25］。

2 雙向壓彎構件正截面承載力簡化計算

2.1 正截面承載力簡化計算方法

為了簡化起見，正截面承載力計算時假定（1）截面應變符合平截面假定；（2）不考慮受拉區(qū)混凝土的作用；（3）混凝土與鋼筋的應力 — 應變關系按GB 50011—2010《混凝土結構設計規(guī)范》的相關規(guī)定執(zhí)行［15］；（4）縱向受力鋼筋的極限應變?nèi)?.01；（5）受壓區(qū)混凝土應力圖形為矩形應力圖形。等效截面正截面承載力計算簡圖如圖2所示?？蚣苤孛嫣幱陔p向壓彎受力狀態(tài)并達到極限承載力時應滿足靜力平衡條件，因此可以根據(jù)平衡原理建立縱向力平衡方程與彎矩平衡方程并分別由式（5）、（6）表示為

彎矩平衡方程（6）通過受拉區(qū)各鋼筋所受拉力、受壓區(qū)各鋼筋所受壓力以及受壓區(qū)混凝土合力對等效截面形心取矩的方式建立。

圖2 文章方法正截面承載力計算簡圖

式中：σsi為受拉區(qū)第i根鋼筋應力，N／mm2；Asi為受拉區(qū)第 i根鋼筋面積，mm2；σ′si為受壓區(qū)第 i根鋼筋應力，N／mm2；A′si為受壓區(qū)第 i根鋼筋面積，mm2；N為框架柱截面壓力設計值，kN；Nc為受壓區(qū)混凝土合力，kN。計算時首先假設受壓區(qū)高度（x）為 H1′，確定受壓區(qū)鋼筋數(shù)量和各鋼筋所受壓力合力、受拉區(qū)鋼筋數(shù)量和各鋼筋所受拉力合力以及受壓區(qū)混凝土壓力合力，代入式（7）后如果不等式關系成立，則受壓區(qū)高度（x）在 H1′范圍內(nèi)，否則進入 H2′范圍內(nèi)，應重新確定受壓區(qū)高度和受力縱筋的應力；yc為受壓區(qū)混凝土合力作用點到等效截面形心的距離；Meq為等效截面正截面承載力，M為原截面正截面承載力，kN·m。Meq與 M滿足式（8）所示關系。

2.2 等效梭形截面法

利用等效梭形法計算正截面承載力時仍可采用2.1節(jié)基本假定，且其計算簡圖如圖3所示。根據(jù)靜力平衡條件可分別建立軸向力平衡方程和彎矩平衡方程。其中，軸向力平衡方程仍采用2.1中的式（5）表示，彎矩平衡方程通過截面上軸向力與受壓區(qū)混凝土壓應力合力以及各受壓鋼筋受力對受拉鋼筋合力點取矩的方式建立，可用式（9）表示為

式中：e為軸向力N到等效截面中受拉鋼筋合力點的距離，mm；zc為受壓區(qū)混凝土壓應力合力作用點到受拉鋼筋合力點的距離，mm；z′i為第 i根受壓鋼筋到受拉鋼筋合力點的距離，mm。計算時首先假設受壓區(qū)高度（x）為 H1，確定受壓區(qū)鋼筋數(shù)量和各鋼筋所受壓力合力、受拉區(qū)鋼筋數(shù)量和各鋼筋所受拉力合力以及受壓區(qū)混凝土壓應力合力，代入式（7）后如果不等式關系成立，則受壓區(qū)高度（x）在H1范圍內(nèi)，否則進入 H2范圍內(nèi)，應重新確定受壓區(qū)高度和受力縱筋的應力。

圖3 梭形法正截面承載力計算簡圖

式中：ea為附加偏心距，mm；as為等效截面受拉鋼筋合力點到截面頂點的距離，mm。

2.3 承載力計算結果對比分析

鋼筋混凝土框架中柱空間節(jié)點中框架柱采用方形截面，截面尺寸及縱筋布置方式如圖 4（a）所示，縱筋采用直徑為16 mm的HRB335級鋼筋，屈服強度實測值為435 N／mm2，混凝土強度等級為 C40，軸心抗壓強度實測值為40.2 N／mm2。節(jié)點框架柱主軸方向正截面強度（按材料強度實測值計算）為144.5 kN·m（軸壓比為0.2），實測柱梁強度比系數(shù)為1.3。試驗于空間節(jié)點兩主軸方向梁端同時加載，以模擬斜向45°方向加載，加載過程中框架柱上端施加恒定軸向壓力（723 kN），梁端加載至節(jié)點發(fā)生破壞不能繼續(xù)穩(wěn)定承載而停止。根據(jù)試驗數(shù)據(jù)得

等效截面正截面承載力 Meq可按式（10）計算，Meq軸向力 N在等效截面中對應的計算偏心距 e。其中可按式（11）計算Meq原截面正截面承載力仍滿足式（8）的關系。到的框架柱斜向壓彎強度實測值為129.3 kN·m，僅為框架柱主軸方向壓彎強度實測值的89%。空間節(jié)點的破壞特征表明，主軸方向按照強柱弱梁設計的節(jié)點，斜向地震作用下框架柱因斜向（雙向）壓彎強度不足而發(fā)生破壞，是沒有實現(xiàn)強柱弱梁的破壞機制的重要原因。

圖4 試驗試件等效截面圖 ／mm

表1 截面幾何參數(shù)

表2 鋼筋坐標

根據(jù)試驗45°方向加載條件，節(jié)點框架柱壓彎作用平面應沿圖4（a）中1號鋼筋與5號鋼筋連線方向，文中利用等效梭形法和簡化計算方法分別對框架柱截面斜向（雙向）壓彎承載力進行計算，等效截面轉換結果分別見圖4（b）、（c）所示，截面幾何尺寸轉換計算結果及鋼筋坐標轉換結果分別見表 1 和2。通過對框架柱受力縱筋應變實測值的分析，認為達到破壞時角部鋼筋均可進入屈服狀態(tài)，故斜向（雙向）壓彎強度計算時對圖4中1號和5號位置鋼筋應力取屈服強度實測值，其它位置處鋼筋應力可利用平截面假定確定其應變后代入本構方程計算得到。框架柱截面雙向壓彎承載力結算結果與試驗實測結果的對比見表3。等效梭形法和文中簡化計算方法所得結果與試驗實測值符合均較好，且文章方法所得結果計算精度優(yōu)于等效梭形法。

2.4 雙向壓彎構件正截面承載力提高方法

從以上分析可以看出，截面等效轉換后受力縱筋均位于等效截面的中心對稱軸上，其位置越靠近圖3（a）中1號或5號位置，根據(jù)平截面假定其應變將會增大從而使得鋼筋應力增大，這對提高截面的雙向壓彎承載力有利。文章在不改變原柱截面配筋數(shù)量和幾何參數(shù)的基礎上將圖 3（a）中截面角部兩側邊與1、5號鋼筋相鄰的縱向受力鋼筋向角筋位置移動，如圖3（a）中箭頭所指方向，以加強截面角部配筋并對截面雙向壓彎承載力進行計算，計算結果見表4。計算時鋼筋偏移距離考慮了2倍受力縱筋直徑（32 mm）、4倍受力縱筋直徑（64 mm）、與角筋緊密接觸（偏移距離的極限情況）等3種情況。

表3 承載力計算結果

由表 4可知，隨著縱向受力鋼筋向角筋偏移距離的增大截面雙向壓彎承載力明顯增加，提高幅度約為14%～42%。沿結構斜向的柱梁強度比隨鋼筋偏移距離的增大亦呈現(xiàn)出明顯的增大趨勢，這有利于結構在斜向（非主軸）方向地震作用下仍可實現(xiàn)“強柱弱梁”抗震設計目標并提高框架結構的抗震安全性。表4中斜向柱梁強度比為柱雙向壓彎承載力理論計算值與空間節(jié)點兩主軸方向梁的實測抗彎強度沿45°加載方向合成結果（145.6 kN·m）的比值。

表4 加強配筋截面雙向壓彎承載力結果

3 結論

通過上述研究可知：

（1）框架柱雙向壓彎承載力僅為主軸方向正截面承載力的89%，雙向壓彎承載力不足是地震發(fā)生時框架柱破壞的原因之一。簡化計算方法和等效梭形法得到的框架柱雙向壓彎承載力結果與試驗實測值分別相差3%和5.5%，精度較好均可在實際工程中應用。

（2）截面縱筋向角筋偏移距離增大后框架柱雙向壓彎承載力明顯提高，提高幅度約為 14%～42%。此外，空間節(jié)點沿斜向45°方向的強柱弱梁系數(shù)也逐漸增大，偏移距離為 4倍鋼筋直徑時該系數(shù)為1.08，可滿足強柱弱梁抗震設計要求，有利于結構抗震。

（3）關于鋼筋混凝土雙向壓彎構件正截面受彎承載力的計算方法，經(jīng)過學者們的研究取得了一系列的成果，基于截面等效的方法是一種簡化計算方法，能兼顧計算的正確性和使用的便捷性，可以為實際工程設計提供參考。但該方法對于一些特殊的截面形式（L形、十字形）適用性較差，仍然是一個需要繼續(xù)研究的課題。

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Simplified calculation of bending strength of biaxial compression-bending reinforced concrete column

Liu Chunyang，Wang Meng
（School of Civil Engineering，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

Poor load carrying capacity of the reinforced concrete column under the biaxial compression-bending action is one of the reasons why the frame columns had been found damaged even collapsed during the earthquake.Without changing the section area，concrete compression zone area and the area moment to the neutral axis before and after the section equivalent conversion，based on the cross section equivalent method the equivalent section used for calculating the bearing capacity of the frame column under biaxial bending effect is found.Furthermore，the simplified calculation method on biaxial bending capacity of the frame column is established on the basis of equilibrium principle.The biaxial bending bearing capacity of the frame column of spatial joint is calculated by using the simplified method and the equivalent spindle section method.The calculation results and the experiment result show good agreement and the calculation accuracy of the simplified method is higher，the difference between them is only 3%.To improve the bearing capacity of biaxial bending section，the longitudinal steel bars are moved to the angle steel by 2，4times steel bar diameter and closely contacted with the angle steel bar，respectively.The reinforcement quantity and the cross section geometric parameters are unchanged.The calculation results show that the two-way bending bearing capacity is enhanced obviously by degree of 14%～42%，with the moving of the steel bars tothe angle steel.The research results could be good references to the practical engineering design works.

reinforced concrete column；biaxial compression-bending；bearing capacity；simplified calculation；equivalent cross-section

TU375

A

1673－7644（2016）05－0452－06

2016－07－03

山東省自然科學基金項目（ZR2015EQ017）；山東建筑大學博士科研基金項目（XNBS1202）

劉春陽（1980－），男，講師，博士，主要從事工程抗震等方面的研究.E-mail：liucy2011＠sdjzu.edu.cn