陳海波丁光濤許雪艷

（1.巢湖學(xué)院，合肥 238000）（2.安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖 241000）

關(guān)于變積的研究*

陳海波1丁光濤2?許雪艷1

（1.巢湖學(xué)院，合肥 238000）（2.安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖 241000）

研究變分法逆問題中變積概念及其計(jì)算方法.由變積直接構(gòu)造的是與加速度相關(guān)的Lagrange函數(shù)，再通過規(guī)范變換可以得到位形空間中的Lagrange函數(shù).這表明這種構(gòu)造Lagrange函數(shù)的方法與Engels方法一致.

變分法， 逆問題， Lagrange函數(shù)， 變積， Engels方法

引言

變分法在力學(xué)物理學(xué)和工程科學(xué)中有重要的應(yīng)用，其中積分形式的變分原理具有重要的理論價(jià)值，例如，力學(xué)和物理學(xué)中的Hamilton原理.由變分原理可以導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程，求解這些方程能夠討論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，而現(xiàn)代計(jì)算機(jī)又使得變分問題的直接解法成為掌握系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的有效方法.一百多年來，變分法的逆問題也日益引人關(guān)注，其基本問題是，給定的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程能否從變分原理中導(dǎo)出？若能，如何構(gòu)造對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù)？在這個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)取得很多重要成果［1-9］.我國一些學(xué)者曾經(jīng)類比微分和積分這對(duì)正逆運(yùn)算，提出變分的逆運(yùn)算概念-變積［10］，但是未能深入討論，而且長(zhǎng)期以來對(duì)此問題的研究沒有繼續(xù)下去.本文將進(jìn)一步探討變積這個(gè)概念，給出其計(jì)算方法，討論它與變分法逆問題理論中有關(guān)理論和方法的關(guān)系.最后，給出運(yùn)用實(shí)例.

1 變積的提出

設(shè)完整的力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為L(zhǎng)（t，q，˙q），時(shí)間t為自變量，廣義坐標(biāo)q是時(shí)間的函數(shù)，作用量為

計(jì)算作用量的變分，考慮一般端點(diǎn)條件，得到

本文采用求和約定，對(duì)同一項(xiàng)中的重復(fù)指標(biāo)求和.系統(tǒng)沿真實(shí)路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用量變分為零，即

由于函數(shù)的變更δqα是任意的，故從式（2）得到

方程（4）是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程-Lagrange方程，端點(diǎn)條件（5）是一般形式的，表示在真實(shí)路徑運(yùn)動(dòng)始末端點(diǎn)，系統(tǒng)的廣義動(dòng)量與廣義坐標(biāo)的變分正交.不難驗(yàn)證，對(duì)固定端點(diǎn)情況

條件（5）也滿足.

文獻(xiàn)［10］中引入變積概念，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出明確的變積概念.式（2）所表示的作用量變分，是函數(shù)空間中函數(shù)qα及其鄰近函數(shù)qα+δqα比較的變更.因此作為變分逆運(yùn)算的變積應(yīng)當(dāng)是在qα的函數(shù)空間中積分，即從式（2）得到

下面證明由上式可以得到作用量表達(dá)式.利用分部積分，由（7）式導(dǎo)出

比較上式兩端，得到作用量為

式（9）與式（1）相同，從式（7）到式（9）過程是從式（1）到式（4）的逆過程，即變積能夠從Lagrange方程導(dǎo)出Lagrange函數(shù)，是變分的逆運(yùn)算［10］.

下面的問題是要進(jìn)一步研究這個(gè)新的概念，給出變積的具體計(jì)算方法.要進(jìn)一步研究如何運(yùn)用一般的積分計(jì)算來進(jìn)行函數(shù)空間中的變積計(jì)算，使之成為處理變分法逆問題的一種適用方法.

2 變積的計(jì)算方法

2.1 變積的積分計(jì)算

在Lagrange力學(xué)逆問題中，一個(gè)反復(fù)研究的問題是如何直接從運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算Lagrange函數(shù)，文獻(xiàn)［10］提出的變積概念實(shí)質(zhì)上是對(duì)此問題的又一種探討.式（7）中的被積式是Lagrange方程本身，已經(jīng)證明這樣的方程是自伴隨的.如果直接給出的方程是非自伴隨的，必須首先變換成為自伴隨方程，才能得到對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù).如果給出的方程不能變換成為自伴隨方程，則對(duì)這種方程就不存在對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù)［1-2］.本文下面的討論都從自伴隨方程出發(fā)，設(shè)給出一組方程為

滿足如下條件

這組方程就是自伴隨方程［1-2］，系統(tǒng)是Lagrange系統(tǒng).

根據(jù)變積概念，力學(xué)系統(tǒng)（10）的Lagrange函數(shù)從下式開始計(jì)算

上式表明函數(shù)空間中的積分（13）是從選取τ為0表示起始路徑q1，到τ＝1表示終末路徑q2，即系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)路徑q（q1，q2，…，qn）.這樣的選擇使得函數(shù)空間中的積分變換成為對(duì)單參數(shù)τ∈（0，1）的通常積分，條件（11）保證了式（13）導(dǎo)出的結(jié)果是滿足式（12）的結(jié)果.

2.2 變積導(dǎo)出與加速度相關(guān)的Lagrange函數(shù)

然而，必須指出的是，直接從式（13）積分導(dǎo)出的Lagrange函數(shù)不是傳統(tǒng)的位形空間中的Lagrange函數(shù)L（t，q，˙q），而是與加速度相關(guān)的二次Lagrange函數(shù)L（t，q，˙q，¨q）［4，5］，它顯含廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二次導(dǎo)數(shù).由于式（10）是加速度的線性式，故這種函數(shù)L（t，q，˙q，¨q）也與廣義加速度線性相關(guān).根據(jù)廣義力學(xué)，對(duì)二次Lagrange函數(shù)

的廣義力學(xué)系統(tǒng)，Lagrange方程為

對(duì)式（10）的方程組，式（14）的Lagrange函數(shù)具體寫成

但是，上式中含加速度項(xiàng)是能夠利用規(guī)范變換消除，而得到位形空間中的Lagrange函數(shù)L（t，q，˙q）.設(shè)規(guī)范變換函數(shù)為G（t，q，˙q），直接計(jì)算可以證明

如果要求式（16）的Lagrange函數(shù)通過規(guī)范變換得到的與加速度無關(guān)，那么應(yīng)當(dāng)滿足下列條件

2.3 變積與變分法逆問題的Engels方法

由于方程（10）是自伴隨的，系數(shù)Aαβ滿足如下條件

故方程組（18）存在下列解

結(jié)合式（13），得到變積方法導(dǎo)出的自伴隨方程組（10）的位形空間中的Lagrange函數(shù)

這個(gè)結(jié)果與變分法逆問題中構(gòu)造Lagrange函數(shù)的Engels方法是一致的.如果給出的微分方程（組）是自伴隨的，或者變換成為自伴隨的，這個(gè)構(gòu)造Lagrange函數(shù)的式（21）是一種常用的方法.還應(yīng)當(dāng)指出，式（21）與一些文獻(xiàn)（如［1，2］）給的表達(dá)式存在符號(hào)上的差別，這是因?yàn)槲覀兦懊娴耐茖?dǎo)中，對(duì)包含二階導(dǎo)數(shù)的Lagrange函數(shù)的Lagrange方程是方程（15）.變換到只包含一階導(dǎo)數(shù)的Lagrange函數(shù)情況時(shí)，方程（15）變換為

這種形式與通常的Lagrange方程也相差符號(hào)，但是，由于式（21）的Lagrange函數(shù)與傳統(tǒng)的Lagrange函數(shù)符號(hào)相反，故從式（22）導(dǎo)出的方程就是正常的了.

綜上所述，利用變分計(jì)算，可從系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)L導(dǎo)出系統(tǒng)的Lagrange方程，這種形式的方程滿足自伴隨條件；利用變積計(jì)算，可以從系統(tǒng)的自伴隨形式的運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)造Lagrange函數(shù)L.變分和變積這一對(duì)正逆運(yùn)算可以寫成

就構(gòu)成了力學(xué)系統(tǒng)Lagrange方程和Lagrange函數(shù)之間互相變換的橋梁.

3 算例

以兩個(gè)一維的簡(jiǎn)單系統(tǒng)為例，說明變積的計(jì)算方法的應(yīng)用.

例1 簡(jiǎn)諧振子.簡(jiǎn)諧振子的運(yùn)動(dòng)微分方程為

這個(gè)方程是自伴隨的.代入式（16），可以計(jì)算得到加速度相關(guān)的Lagrange函數(shù)

代入式（21）（或（24）），就得到位形空間中的Lagrange函數(shù)

這里與通常的Lagrange函數(shù)之間相差符號(hào)，前面已經(jīng)給出說明.

通過直接驗(yàn)證自伴隨條件，可以證明方程（25）變換成

仍然是自伴隨方程.代入式（16），得到加速度相關(guān)的Lagrange函數(shù)

代入式（21）得到位形空間中的Lagrange函數(shù)

此例說明變積方法對(duì)計(jì)算Lagrange函數(shù)是有效的.

還應(yīng)當(dāng)指出，同一個(gè)簡(jiǎn)諧振子系統(tǒng)滿足自伴隨條件的運(yùn)動(dòng)微分方程有多種形式，例如式（25）和式（28），因此，導(dǎo)出的式（26）L與式（29）L′是同位等效的與加速度相關(guān)的Lagrange函數(shù)，式（27）與式（30）是位形空間中同位等效的Lagrange函數(shù).事實(shí)上簡(jiǎn)諧振子系統(tǒng)存在很多不同的等效Lagrange函數(shù)，包括等效的Lagrange函數(shù)族［8，11］.

例2 Emden方程［7］

這是一個(gè)非自伴隨方程，乘以因子t2就變換為自伴隨形式

代入式（16），得到加速度相關(guān)的Lagrange函數(shù)

式（32）中A＝t2，利用式（21）導(dǎo)出位形空間中的Lagrange函數(shù)為

這個(gè)結(jié)果也與其它文獻(xiàn)給出的結(jié)果相差符號(hào).

4 結(jié)論

本文對(duì)文獻(xiàn)［10］中提出的變積概念進(jìn)行深入的再研究.通常分析力學(xué)中從作用量的變分導(dǎo)出系統(tǒng)Lagrange方程，本文從系統(tǒng)Lagrange方程或滿足自伴隨條件的運(yùn)動(dòng)微分方程的變積導(dǎo)出系統(tǒng)作用量，再導(dǎo)出系統(tǒng)Lagrange函數(shù)，從而表明變積運(yùn)算是變分運(yùn)算的一種逆運(yùn)算.給出了從變積出發(fā)計(jì)算Lagrange函數(shù)的具體的積分方法，并且指出直接利用這種方法計(jì)算系統(tǒng)的自伴隨運(yùn)動(dòng)微分方程，導(dǎo)出的結(jié)果是與加速度相關(guān)的Lagrange函數(shù)，進(jìn)一步利用規(guī)范變換能夠?qū)⑦@種Lagrange函數(shù)變換成為位形空間中通常的Lagrange函數(shù).上述完整的變積計(jì)算過程與構(gòu)造Lagrange函數(shù)的Engels方法一致，由此也可以這樣說，變積概念的提出給出了Engels方法的一種新解釋.

1 Santilli R M.Foundations of TheoreticalMechanics I.New York：Springer-Verlag，1978

2 Santilli R M.Foundations of Theoretical Mechanics II. New York：Springer-Verlag，1983

3 Musielak Z E.Standard and non-standard Lagrangians for disspative dynamical systems with variable coefficient. Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical，2008，41：055205

4 丁光濤.經(jīng)典力學(xué)中加速度相關(guān)的Lagrange函數(shù).物理學(xué)報(bào)，2009，58（6）：3620～3624（Ding G T.Acceleration-dependent Lagrangians in classical mechanics.Acta Physica Sinica，2009，58（6）：3620～3624（in Chinese））

5 丁光濤.計(jì)算加速度相關(guān)Lagrange函數(shù)的方法.物理學(xué)報(bào)，2009，58（10）：6725～6728（Ding G T.A method for computing acceleration-dependent Lagrangians.Acta Physica Sinica，2009，58（10）：6725～6728（in Chinese））

6 CieSliński J L，Nikiciuk T.A direct approach to the construction of standard and non-standard Lagrangiqns for dissipative-like dynamical systems with variable coefficients. Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical，2010，43：17250

7 丁光濤.一維變系數(shù)耗散系統(tǒng)Lagrange函數(shù)和Hamilton函數(shù)的新構(gòu)造方法.物理學(xué)報(bào)，2011，60（4）：44503（Ding G T.A new approach to the construction of Lagrangians and Hamiltonians for one-dimensional dissipative systems with variable coefficients.Acta Physica Sinica，2011，60（4）：044503（in Chinese））

8 丁光濤.從第一積分構(gòu)造Lagrange函數(shù)的直接方法.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2011，9（2）：102～106（Ding G T.A direct approach to construction of the Lagrangian from the first integral.Journal of Dynamics and Control，2011，9（2）：102～106（in Chinese））

9 丁光濤.一類Painleve方程的Lagrange函數(shù)族.物理學(xué)報(bào)，2012，61（11）：110202（Ding G T.The families of Lagrangians of a Painleve equation.Acta Physica Sinica，2012，61：110202（in Chinese））

10 Liang L F，Shi Z F.On the inverse problem in calculus of variations.Applied Mathematics and Mechanics，1994，15：815～830

11丁光濤.關(guān)于諧振子第一積分的研究.物理學(xué)報(bào)，2013，62（6）：064502（Ding G T.A study on the first integrals of harmonic oscillators.Acta Physica Sinica，2013，62（6）：064502（in Chinese） ）

method

A STUDY OF VARIATIONAL INTEGRAL*

Chen Haibo1Ding Guangtao2?Xu Xueyan1
（1.Chaohu College，Hefei 238000，China）
（2.College of Physics and Electronic Information，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China）

The concept and the calculation of variational integral in the inverse problem of variational calculus are studied.What is constructed by variational integral directly is the acceleration-dependent Lagrangian，which can be transformed into the Lagrangian in configuration space by the use of gauge transformation.It is indicated that themethod to construct the Lagrangian is consistentwith Engels′method.

calculus of variations， inverse problem， Lagrangian function， variational integral， Engels′

10.6052/1672-6553-2016-007

2015-11-24收到第1稿，2015-12-05收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11472063）

?通訊作者E-mail：dgt695＠sina.com

Received 24 November 2015，revised 5 December 2015.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11472063）.

?Corresponding author E-mail：dgt695＠sina.com