林奕武（廣東金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東廣州510275）

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orbifold叢的群胚表示

林奕武
（廣東金融學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東廣州510275）

摘要：該文定義了orbifold叢的群胚表示，并且用群胚的語言重新定義orbifold的de Rham上同調(diào)和K-理論。

關(guān)鍵詞：orbifold叢；群胚；群胚K-理論；叢映射

眾所周知，orbifold理論涉及數(shù)學(xué)的眾多分支，如拓?fù)鋵W(xué)，代數(shù)幾何與弦理論等。上世紀(jì)50年代，Satake［1，2］首次在拓?fù)渑c微分幾何領(lǐng)域中引進(jìn)orbifold的概念。他視orbifold為光滑流形的推廣，并稱之為V-流形。傳統(tǒng)上，orbifold被視為帶有奇點(diǎn)的“流形”，如在代數(shù)幾何常稱orbifold為帶商奇性的簇，即將or?bifold奇性視為拓?fù)淇臻g的內(nèi)蘊(yùn)結(jié)構(gòu)。在拓?fù)渲?，常常將orbifold奇性視為拓?fù)淞餍紊系囊粋€(gè)orbifold結(jié)構(gòu)，類似于拓?fù)淞餍蔚墓饣Y(jié)構(gòu)。但是，由于orbi?fold的奇性結(jié)構(gòu)，使得光滑流形上的很多概念無法推廣到orbifold范疇。因此，Haefliger［3］和Moerdijk［4，5］等人為orbifold引入了群胚的語言。Moerdijk指出，每個(gè)orbifold都對(duì)應(yīng)著一個(gè)李群胚，使得orbifold底空間剛好李群胚的軌道空間。orbifold的局部奇性結(jié)構(gòu)可以從李群胚的態(tài)空間得到。因此用群胚的語言來表述orbifold是具有積極意義的。首先，可以構(gòu)造李群胚的分類空間，使得基本群，de Rham上同調(diào)等幾何的不變量可以在orbifold上發(fā)展起來。另外，Adem、Lei?da和Ruan［6］在李群胚上構(gòu)造了纖維叢。而Chen和Ruan［7］在研究orbifold的弦理論的過程中發(fā)現(xiàn)了orbi?fold上同調(diào)，引起了廣泛的關(guān)注。

筆者在Adem、Leida和Ruan［6］的基礎(chǔ)上，首先，把orbifold的切叢，余切叢和外形式叢等定義成or?bifold上的一個(gè)群胚。把外微分形式，即從orbifold到外形式叢的截面，視為一個(gè)群胚同態(tài)。因此用新的群胚語言對(duì)de Rham上同調(diào)重新描述，使其定義更加自然。接著，本文把orbifold的纖維叢定義成一個(gè)群胚，把叢同態(tài)定義為群胚之間的同態(tài)，從而定義了orbifold群胚上的群胚K-理論，并且證明這種定義在Morita等價(jià)下是不變的，因此可以作為orbi?fold的K-理論。

一、orbifold及orbifold群胚

本節(jié)主要介紹orbifold，orbifold叢及orbifold群胚等概念，這些概念主要來自于［6］。

orbifold可以用兩種語言來描述，一種是局部卡的語言，另一種是群胚的語言。orbifold的局部卡類似于流形的局部坐標(biāo)卡，一個(gè)orbifold可視為賦予了局部卡冊(cè)的Hausdorff拓?fù)淇臻g。用局部卡的語言，我們能直觀的看到orbifold的局部結(jié)構(gòu)。orbifold也可以視為李群胚的軌道空間。用群胚的語言，我們能把群胚的豐富技巧移植到orbifold理論，從而基本群，上同調(diào)等拓?fù)洳蛔兞靠梢酝茝V到orbifold范疇。

定義1.1設(shè)X為一個(gè)仿緊的Hausdorff拓?fù)淇臻g，n≥0。

（4）X的兩個(gè)orbifold卡冊(cè)?和?，如果?中的每一張orbifold卡都能嵌入?中的某一張orbifold卡，則稱?為?的一個(gè)加細(xì)。如果兩個(gè)orbifold卡冊(cè)有一個(gè)共同的加細(xì)，則稱它們是等價(jià)的。

一個(gè)群胚是指一個(gè)小范疇，其所有態(tài)射都是等價(jià)。一個(gè)李群胚是指一個(gè)具有光滑結(jié)構(gòu)的群胚，定義如下：

（1）源映射s:G1→G0為淹沒映射；

（2）靶映射t:G1→G0為淹沒映射；

（3）復(fù)合映射m:G1s×tG1→G1滿足結(jié)合律，

其中G1s×tG1={(h,g)∈G1×G1|s(h)=t(g)};

（4）單位映射u:G0→G1，x?1x；

（5）逆映射i:G1→G1，g?g-1.

定義1.3設(shè)G=(G0,G1)為李群胚，如果(s,t):G1→G0×G0為固有映射，并且s,t都是局部微分同胚，則稱G=(G0,G1)為一個(gè)orbifold群胚。

設(shè)G為orbifold群胚。對(duì)于任意x∈G0,存在自然的群同態(tài)

ρx: Gx→diff（Ux）,

其中，Ux為x的開鄰域，Gx={g∈G1|s(g)=t(g)=x} 為x的局部子群。若對(duì)于所有x∈G0，ρx:Gx→diff(Ux)都為單態(tài)，則稱G為有效的orbifold群胚。否則，稱為非有效的orbifold群胚。

例1.4每個(gè)有限李群G可以看作一個(gè)orbifold群胚。其象空間為一個(gè)單點(diǎn)，態(tài)空間為G .我們稱之為點(diǎn)群胚，記為G.

例1.5每個(gè)光滑流形M也可以看作一個(gè)orbi?fold群胚。其象空間和態(tài)空間都是M，所有的結(jié)構(gòu)映射都是恒同id: M→M.由于每個(gè)態(tài)射都是單位態(tài)，我們稱之為單位群胚。

接著討論orbifold群胚之間的同態(tài)與等價(jià)，我們可以利用orbifold群胚之間等價(jià)給所有orbifold群胚分類。

二、orbifold切叢及orbifold de Rham上同調(diào)

考慮G1上的切叢TG1，首先證明TG1與G1×G0TG0是同構(gòu)的。

對(duì)于拉回圖表（見圖1）：

因?yàn)榇嬖谇杏成鋝?:TG1→TG0和p1:TG1→G1，使得p0s?=sp1.因此存在

Ψ:TG1→G1×G0TG0

定理2.1 (TG0, TG1)是一個(gè)orbifold群胚，并且

(1TG0,Ψ): (TG0,TG1)→(TG0,G1×G0TG1)是orbifold群胚同構(gòu)。

定義2.2我們稱(TG0,TG1)為=(G0,G1)的切叢。

同理，我們定義(T?G0,T?G1)為=(G0,G1)的余切叢。定義為G=(G0,G1)的r次外形式叢，記為.

Adem、Leida和Ruan［6］把G的de Rham復(fù)形

接著我們證明這兩種de Rham復(fù)形的定義是一致的。

又因?yàn)?dω=(dω,s?dω)=(dω,ds?ω)=d?ω。所以?是鏈復(fù)形同構(gòu)。

三、群胚叢及群胚K-理論

本節(jié)，我們用群胚的語言來定義orbifold叢和orbifold K-理論。

使得p0:E0→G0和p1:E1→G1都是叢投射，則稱上的一個(gè)群胚叢。上群胚叢(F0,F1)和(E0,E1)之間的群胚叢映射定義為滿足叢映射條件的群胚同態(tài)，即是

其中(ρ0,ρ1)為群胚同態(tài)，并且ρ0:F0→E0和ρ1:F1→E1都是叢映射。

如果(ρ0,ρ1)是同構(gòu)映射對(duì)，則稱(F0,F1)和(E0,E1)是同構(gòu)的群胚叢。

設(shè)(f0,f1):(G0,G1)→(H0,H1)是群胚同態(tài)，(E0,E1) 是(H0,H1)上的群胚叢，則f0和f1的拉回和是(G0,G1)上的一對(duì)纖維叢。

證明：考慮下面圖表：

圖2　交換圖

推論3.4 (f0,f1)誘導(dǎo)了一個(gè)群胚K-理論的同態(tài)

特別地，

定理3.5 (f0,f1)是一個(gè)Morita等價(jià)，則

因?yàn)镸orita等價(jià)的orbifold群胚表示相同的or?bifold，所以群胚K-理論可以視為orbifold上的K-理論。

參考文獻(xiàn)

［1］I Satake. On a generalization of the notion of manifold ［J］. Proceedings of the National Academy of Science of the United States of America，1956，42（6）：359-363.

［2］I Satake. The Gauss-Bonnet theorem of V-manifold［J］. Mathematical Society of Japan，1957，9（4）：464-492.

［3］Haefliger Groupoids and folations in analysis［J］. Geome?try and physics，2001，28（2）：83-100.

［4］I. Moerdijk，I. Moerdijk. Orbifolds as groupoids：an In?trodution［J］. Orbifolds in mathematics and physics，2002，3（10）：205-222.

［5］I. Moerdijk，A. Dorette. Orbifolds，sheaves and Grou?poids［J］. K-Theory，1997（12）：3-21.

［6］A. Adem，J. Leida and Y. Ruan. Orbifolds and stringy to?pology［M］. Cambridge Tracts in Mathematics，2007.

［7］W. Chen，Y. Ruan. A new cohomology theory of orbifold ［J］. Comm. Math. Phy，2004，24（8）：1-31.

［經(jīng)濟(jì)與管理］

［經(jīng)濟(jì)與管理］

Groupoid Representation of Orbifold Bundles

LIN Yi-wu
（Department of Applied Mathematics，Guangdong University of Finance，Guangzhou 510521，China）

Abstrast：We define the groupoid representation of orbifold bundles，and describe the de Rham cohomology of orbifold using groupoid language，then define the groupoid K-theory on orbifolds.

Key words：orbifold bundle；groupoid；groupoid K-theory；bundle map

中圖分類號(hào)：O189.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-931X（2016）01—0063-03

收稿日期：2015-12-10

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11201087）

作者簡介：林奕武（1980-），男，廣東汕頭人，博士，講師，研究方向：orbifold及陳-阮上同調(diào)。