陳迎姿,王晚生

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410114)

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非線性Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的數(shù)值模擬

陳迎姿,王晚生

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410114)

摘 要:Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方程是現(xiàn)代金融理論最大的成就之一,隨著期權(quán)市場(chǎng)的快速發(fā)展,對(duì)期權(quán)定價(jià)理論的研究由線性轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性.本文利用牛頓迭代法直接解由隱式Euler方法及有限差分法離散所得的非線性代數(shù)方程組.通過MATLAB編寫相應(yīng)的程序,并對(duì)不同網(wǎng)格下求得的數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果表明該方法是無條件穩(wěn)定的和收斂的.

關(guān)鍵詞:Black-Scholes方程; 期權(quán)定價(jià); 有限差分法; 牛頓迭代法; 隱式Euler方法

現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)理論的最新革命始于1973年,美國(guó)芝加哥大學(xué)的教授Fisher Black和Myron Scholes[1],推導(dǎo)了基于不支付紅利的股票的任何一種衍生證券的價(jià)格必須滿足的一個(gè)微分方程,提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式,為投資者提供了適用于股票的任何衍生證券且計(jì)算方便的定價(jià)公式,并因此而獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng).該模型的計(jì)算結(jié)果很好的反映了期權(quán)的公平市場(chǎng)價(jià)格和相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn),并且很好的解釋了期權(quán)價(jià)格如何伴隨標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化而變化[2,3].當(dāng)考慮交易成本、市場(chǎng)流動(dòng)性等因素時(shí),Black-Scholes模型就由線性變?yōu)榉蔷€性模型.近年來,這些非線性模型特別受到關(guān)注[4,5].由于市場(chǎng)流動(dòng)性是金融風(fēng)險(xiǎn)管理中受到高度關(guān)注的問題,在本文中,我們針對(duì)Frey和Patie[4]提出的非流動(dòng)市場(chǎng)中的期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行討論.

這個(gè)期權(quán)定價(jià)模型已在文[6]中進(jìn)行了詳細(xì)分析,并構(gòu)造了一種2階的分裂算法求解空間離散后的線性化常微分方程組.我們將利用牛頓迭代法直接求解空間離散后的非線性常微分方程組.

1　有限差分離散

首先引入非線性Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方程[4,6]:

其中S表示標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格,T表示期權(quán)的截止日期,0σ表示資產(chǎn)的波動(dòng)率,ρ表示衡量市場(chǎng)流動(dòng)性的參數(shù),連續(xù)函數(shù)λ(S)描述了市場(chǎng)的流動(dòng)性狀況,我們假定收益函數(shù)f(S)是一個(gè)連續(xù)的分段函數(shù).

為了計(jì)算問題(1)的數(shù)值解,考慮有限的邊界區(qū)域(S ,t)∈ [0,b ]×(0,T ],且滿足Dirichlet邊界條件:

令Ui=U(Si,t),則方程(1)可化為

這是一個(gè)非線性方程組,采用牛頓迭代法解這個(gè)方程組,即

對(duì)Un求偏導(dǎo),得到Jacobi系數(shù)矩陣

其中,當(dāng)i =1時(shí),

當(dāng)i=2,…,M-2時(shí),

當(dāng)i=M-1時(shí),

2　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了說明該方法的有效性,我們給出歐式看漲期權(quán)的數(shù)值實(shí)驗(yàn).假設(shè)λ(S)= 1 ,那么的市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)性就由ρ來確定.

例1 根據(jù)歐式看漲期權(quán)的特性,首先我們給定邊界條件

其中E表示執(zhí)行價(jià)格,給定參數(shù)的取值,E =100 ,波動(dòng)率σ0= 0.2 ,截止日期T =0.25,取邊界區(qū)域b =200 .通過對(duì)粗網(wǎng)格和細(xì)網(wǎng)格的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較,采取無窮范數(shù)來描述兩網(wǎng)格的相應(yīng)點(diǎn)數(shù)值解的誤差[6],即

下面給出具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

表1

表2

圖1

圖2

圖3

圖4

例2 考慮歐洲蝶式期權(quán),此時(shí)

表3

表4

圖5、圖6和圖7分別給出了當(dāng)N =1024時(shí),不同ρ、M取值得到的期權(quán)定價(jià)格.圖5給出了當(dāng)取ρ=0.001 ,M =640 ,N =1024時(shí)的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格和相應(yīng)的Gamma函數(shù)圖像; 圖6給出了當(dāng)取ρ=0.01 ,M =160 ,N =1024時(shí)的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格和相應(yīng)的Gamma函數(shù)圖像; 圖7給出了當(dāng)取ρ=0.1 ,M =16 ,N =1024時(shí)的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格和相應(yīng)的Gamma函數(shù)圖像.顯然,本文所使用的方法是有效且可靠的.

圖5 　

圖6 　

圖7

參考文獻(xiàn)

[1] Fisher Black,Myron Scholes.The Pricing of Options and Corporate Liabilities [J] .The Journal of Political Economy.1973,81(6): 133～155

[2] 姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].第2版.北京: 高等教育出版社,2003: 74～109

[3] 姜禮尚.金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的數(shù)學(xué)模型與案例分析[M].北京: 高等教育出版社,2008: 28～78

[4] R.Frey,P.Patie.Risk management for derivatives in illiquid markets: a simulation-study [C].in: K.Sandmann,P.Sch?nbucher(Eds.),Advances in Finance and Stochastics,Springer,Berlin,2002,pp.137～159

[5] Jianqiang Guo,Wansheng Wang.An unconditonally stable,positivity-preserving splitting scheme for nonlinear Black-Scholes equation with transaction costs [C].Sci.World J.2014,11.ID 525207

[6] Jianqiang Guo,Wansheng Wang.On the numerical solution of nonlinear option pricing equation in illiquid markets[J].Computers and Mathematics with Applications,2014: 117～133

Numerical Simulation of Nonlinear Black-Scholes Option Pricing Model

CHEN Ying-zi,WANG Wan-sheng
(School of Mathematics and Computational Science,Changsha University of Science and Technology,410114,Hunan,changsha)

Abstract:Black-Scholes option pricing equation is one of the biggest achievements in modern financial theory.With the rapid development of the options market,the study of the option pricing theory is changed from linear to nonlinear.We use Newton iterative method for the numerical solution to nonlinear equations derived from the option pricing equation by implicit Euler method and finite difference method.The numerical results confirm the unconditional stability and convergence of the method.

Key w ords:Black-Scholes equations,option pricing,finite difference methods,Newton iterative method,implicit Euler method

通訊作者:王晚生(1977?),男,湖南株洲人,長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院教授.主要研究方向: 微分方程數(shù)值解

作者簡(jiǎn)介:陳迎姿(1989?),女,湖南永州人,長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院碩士研究生.主要研究方向: 微分方程數(shù)值解

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371074); 湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(13JJ1020); 湖南省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(13A108); 湖南省國(guó)際經(jīng)濟(jì)與國(guó)際工程管理研究中心基金項(xiàng)目(16IEPM06)

收稿日期:2015-12-20

中圖分類號(hào):O241.8

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1672-5298(2016)01-0012-05