李松華,劉佳倩,肖高玉

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽(yáng) 414006)

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一類具有對(duì)數(shù)奇異的高振蕩積分的高性能計(jì)算

李松華,劉佳倩,肖高玉

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽(yáng) 414006)

摘 要:根據(jù)第一類0階Hankel函數(shù)的漸近性態(tài),將原積分分解為兩部分: 一是具有對(duì)數(shù)奇性部分,另一是不具有對(duì)數(shù)奇性部分.然后利用Filon方法,得到了一類具有對(duì)數(shù)奇異的高振蕩積分的一種非常有效的數(shù)值方法,并研究該數(shù)值方法的收斂性,數(shù)值例子表明該數(shù)值方法非常有效.

關(guān)鍵詞:對(duì)數(shù)奇異; 高振蕩積分; Filon法

引言

電磁、聲散射問(wèn)題具有深刻的理論價(jià)值和重要的應(yīng)用背景,其數(shù)學(xué)模型可用Maxwell方程、Helmholtz方程以及具有高振蕩核的積分方程加以描述.積分方程是求解電磁、聲散射問(wèn)題的有力工具,尤其對(duì)于高頻散射問(wèn)題,其數(shù)值解法均涉及高振蕩積分的高性能計(jì)算[1,2].

針對(duì)積分(1)的數(shù)值計(jì)算,S.N.Chandler-Wilde等在文[2]中討論了g(x)在積分區(qū)域[a ,b ]沒(méi)有零點(diǎn)的情形.在一定條件下,可以采用公式

計(jì)算.其中

若函數(shù)g(x)在區(qū)間[a ,b ]有一個(gè)或多個(gè)穩(wěn)定點(diǎn),不妨設(shè)ζ0∈[a ,b ]是g(x)在區(qū)間[a ,b ]上唯一穩(wěn)定點(diǎn),由文[4]可知,存在正整數(shù)r ,使得

1　函數(shù)　H　0(1)(ω　g(x))的分解

其中

圖1 　H　0(1)(ω　g(x))與　H　0(1)　(ω　g(x))e-　　i ωg(x)的實(shí)部和虛部

將(6)式代入(2)式,可得

本文只考慮在積分區(qū)間(0,1]上1+h(x)＞ 0的情形.這是因?yàn)閷?duì)于有界函數(shù)h(x),存在正常數(shù)d使得d+ h(x)＞ 0,于是

式(7)中的積分Iω可進(jìn)一步改寫為

2　Filon型方法

其中

那么關(guān)于積分(9)的Filon型積分定義為:

注 若用Filon型積分方法計(jì)算I(2)ω,則需計(jì)算矩

μ

其中l(wèi)=1,2,…,mμ- 1.

其中C是與波數(shù)k無(wú)關(guān)的常數(shù).

為了證明上述定理,需要如下引理.

則

其中ζ∈[0,y0].

證明 由引理中式(13),可知

從而可得

再利用分部積分法與式(10),可得

故誤差估計(jì)式(12)成立.

3　數(shù)值例子

在積分式(2)中f(x),g(x)和h(x)分別為

其中M =1,2,… .

4　結(jié)語(yǔ)

從圖3可以看出,本文所提出的Filon型方法在計(jì)算高振蕩積分(2)時(shí)非常有效,尤其是振蕩頻率越高算法精度愈高,可望為電磁計(jì)算的研究提供一些新的高效算法.

圖3 上圖表示二者的實(shí)部,下圖表示二者的虛部,其中橫坐標(biāo)為　x =　1,2,… 　,100,此時(shí)對(duì)應(yīng)的ω值為　ω=　10000 + 10000x

參考文獻(xiàn)

[1] 向淑晃.一些高振蕩積分、高振蕩積分方程的高性能計(jì)算[J].中國(guó)科學(xué): 數(shù)學(xué),2012,42(7): 651～670

[2] S.N.Chandler-Wilde,I.G.Graham,S.Langdon,and E.A.Spence.Numerical-asymptotic boundary integral methods in high-frequency acoustic scattering[J].Acta Numer.,2012,21,89～305

[3] 李松華,郭 濤,符江鵬.一類高振蕩積分的快速數(shù)值方法[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,26(1): 18～21

[4] E.Stein.Harmonic Analysis: Real-variable methods,orthogonality,and oscillatory integrals[M].Princeton University Press,Princeton,1993

[5] D.Colton and R.Kress.Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory[M].Springer-Verlag Berlin Heidelberg,1998

[6] M.Abramowitz,I.A.Stegun.Handbook of Mathematical Functions[M].National Bureau of Standards,Dover Publications,1965

A Efficient Method of Highly Oscillatory Integrals with Logarithmic Singularity

LI Song-Hua,LIU Jia-Qian,XIAO Gao-yu
(College of Mathematics,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang 414006,China)

Abstract:Based on asymptotic behavior of the Hankel function of the first kind of order zero,we split the integral into two parts: one is the part with logarithmic singularity; the other is the part without singularity.A fast numerical integral method for highly oscillatory integral with logarithmic singularity is obtained by using the Filon-type method.Furthermore,the convergence of the numerical method is investigated.Examples are given to demonstrate that the numerical method has good effectiveness and accuracy.

Key words:logarithmic singularity,highly oscillatory integrals,Filon method

作者簡(jiǎn)介:李松華(1973?),男,湖南邵陽(yáng)人,博士,湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院教授.主要研究方向: 小波分析和偏微分方程數(shù)值解

基金項(xiàng)目:湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016JJ4037); 湖南省教育廳項(xiàng)目(15A077)

收稿日期:2015-12-28

中圖分類號(hào):O241.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1672-5298(2016)01-0004-05