呂煥玲，王靜

(新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

單晶硅技術(shù)是現(xiàn)代集成電路技術(shù)的基礎(chǔ)，同時(shí)納米硅也是制造NEMS的主要材料之一．納機(jī)電系統(tǒng)（NEMS）已有許多重要的應(yīng)用，如超大規(guī)模傳感器[1?3]、參數(shù)反饋振蕩器[4]、開關(guān)[5,6]等．從長(zhǎng)期可靠性的角度來看，這些諧振器的振動(dòng)特性和機(jī)械性能，如楊氏模量和諧振頻率的研究是非常重要的，應(yīng)該受到研究人員的重視．對(duì)于單晶硅材料的力學(xué)特性在實(shí)驗(yàn)、理論分析、分子動(dòng)力學(xué)模擬等方面已經(jīng)做了一些研究．已有的一些實(shí)驗(yàn)研究了硅納米梁、納米線等，基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)方程的共振特性以及共振頻率與楊氏模量之間的關(guān)系[7,8]；Park等人[9,10]通過使用Tersof f勢(shì)對(duì)納米懸臂梁的振動(dòng)特性進(jìn)行了分子動(dòng)力學(xué)模擬，并基于連續(xù)介質(zhì)理論的固有頻率方程推導(dǎo)了單晶硅納米梁的楊氏模量，結(jié)果表明楊氏模量隨硅梁厚度尺寸的減小而減??；Rudd等人[11?13]對(duì)單晶硅納米線的彈性行為進(jìn)行了基于Stillinger-Weber勢(shì)的經(jīng)典分子動(dòng)力學(xué)模擬，隨后，他們又運(yùn)用了第一原理密度泛函理論計(jì)算研究了硅納米線的力學(xué)性能，并與以前分子動(dòng)力學(xué)模擬方法的結(jié)果進(jìn)行了比較；2013年，Yu等人[14]通過分子動(dòng)力學(xué)方法研究了不同尺寸的硅納米梁的諧振頻率和楊氏模量，結(jié)果表明硅納米梁的諧振頻率具有強(qiáng)烈的尺寸效應(yīng)，隨著厚度尺寸的增加而增加．

摻雜有利于改善硅納米材料的力學(xué)特性．而迄今為止關(guān)于研究摻雜硅納米材料的動(dòng)態(tài)諧振特性的研究尚不多見，所以對(duì)于相關(guān)的理論研究是非常有必要的．本文采用計(jì)算機(jī)軟件包Material Studio基于分子動(dòng)力學(xué)方法，從守恒原理與動(dòng)勢(shì)能轉(zhuǎn)換出發(fā)，對(duì)納米單晶硅梁的諧振頻率進(jìn)行了分子動(dòng)力學(xué)模擬，分別研究了摻雜濃度和尺寸對(duì)納米單晶硅梁的諧振頻率的影響．這些結(jié)果對(duì)更好地理解納米單晶硅梁的力學(xué)性能特性是有益的．

1 分子動(dòng)力學(xué)模擬納米單晶硅諧振頻率

分子動(dòng)力學(xué)（Molecular Dynamics，簡(jiǎn)稱MD）是模擬大量粒子集合體系中單個(gè)粒子運(yùn)用的一種手法，現(xiàn)已成為納米尺度上模擬的典型例子之一．1957年，Alder和wainwright[15]開創(chuàng)了分子動(dòng)力學(xué)方法(Molecular Dynamics Simulation,簡(jiǎn)稱MD)，從二十世紀(jì)八十年代開始，MD方法開始應(yīng)用于半導(dǎo)體研究領(lǐng)域．本文主要運(yùn)用分子動(dòng)力學(xué)模擬方法，模擬改變摻雜濃度和長(zhǎng)寬尺寸對(duì)納米單晶硅梁的諧振頻率的影響．

1.1 計(jì)算模型建立

如圖1所示的一個(gè)典型的硅晶胞，可視為由四個(gè)處在不同位置的正四面體組成，正四面體的中心原子處在硅晶胞的體對(duì)角線的四分之一處，將其中任意一個(gè)正四面體平移都可以與其它的正四面體重合．

圖1 硅晶胞示意圖

圖2 (a)硅晶胞四分之一體對(duì)角線處摻雜磷元素示意圖，(b)硅晶胞頂角處摻雜磷元素示意圖

本文主要研究在單晶硅晶胞的兩個(gè)不等價(jià)位置處摻雜一個(gè)磷原子，即四分之一對(duì)角線位置處和頂點(diǎn)位置，如圖2（a）（b）所示．采用文獻(xiàn)[16]數(shù)據(jù)假設(shè)，分別在2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)、16個(gè)和32個(gè)硅晶胞中摻入磷原子，即摻雜濃度分別為30×1020cm?3、15×1020cm?3、7.5×1020cm?3、3.75×1020cm?3、3×1020cm?3．首先模擬摻雜磷的單晶硅納米梁的橫截面為一矩形，尺寸為8A×8A（A為硅晶胞的晶格常數(shù)，A=5.432?A），梁的長(zhǎng)度尺寸L分別為12A、16A、20A、24A、28A和32A，研究重?fù)诫s對(duì)納米單晶硅梁的諧振頻率的影響．

1.1.1 硅晶胞四分之一對(duì)角線處摻雜

用磷原子替換硅晶胞四分之一體對(duì)角線處的硅原子，如圖2（a）所示．按照不同的濃度對(duì)單晶硅納米梁（尺寸為8A×8A×L）進(jìn)行摻雜建模．建立好模型后，將所構(gòu)建的晶體模型放入真空層中，防止晶體與外界進(jìn)行能量交換．因此，我們需要將構(gòu)建的晶體模型進(jìn)行切割并加入真空層，再對(duì)納米梁施加應(yīng)變力，使梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生形變，即沿寬度方向?qū)ζ鋬啥说脑舆M(jìn)行固定，然后沿固定原子順次向中間的每列原子下移一定距離（設(shè)下移距離為0.5?A）并固定．最后，采用分子動(dòng)力學(xué)模擬軟件MS中的Forcite模塊，在常溫、NVE系綜下進(jìn)行分子動(dòng)力學(xué)模擬，對(duì)納米梁進(jìn)行幾何優(yōu)化，模擬時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)為1fs，模擬時(shí)間為50ps．圖3為硅晶胞四分之一對(duì)角線處摻雜，長(zhǎng)度尺寸為32A，摻雜濃度為15×1020cm?3的納米單晶硅梁在模擬過程中動(dòng)能為零，勢(shì)能最大時(shí)梁的動(dòng)態(tài)振動(dòng)圖．

圖3 單晶硅納米梁的動(dòng)態(tài)振動(dòng)圖

通過MS模擬得到的能量隨時(shí)間的變化曲線圖，如圖4．通過分析圖4中動(dòng)勢(shì)能能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以得到納米單晶硅梁的振動(dòng)周期T=4.16ps，振動(dòng)頻率可由式f=1/T，計(jì)算得出振動(dòng)頻率為f=0.24×1012Hz．

同理，通過對(duì)不同的摻雜濃度和長(zhǎng)度尺寸的納米單晶硅梁進(jìn)行分子動(dòng)力學(xué)模擬，得到不同摻雜濃度和長(zhǎng)度尺寸對(duì)應(yīng)的單晶硅納米梁的諧振頻率，如表1．

圖4 長(zhǎng)度為32A，摻雜濃度為30×1020cm?3的單晶硅納米梁的能量隨時(shí)間的變化曲線圖

表1 不同摻雜濃度和不同長(zhǎng)度的單晶硅納米梁對(duì)應(yīng)的諧振頻率

由表1可以看出，當(dāng)摻雜濃度相同時(shí)，單晶硅納米梁諧振頻率隨長(zhǎng)度尺寸的增大而減小，當(dāng)長(zhǎng)度尺寸相同時(shí)，硅梁的諧振頻率隨摻雜濃度的減小而減小，但減小的趨勢(shì)并不明顯．

1.1.2 硅晶胞頂角處摻雜

通過分子動(dòng)力學(xué)方法模擬了單晶硅納米梁在四分之一對(duì)角線處摻雜的諧振頻率，同理，用磷原子替換硅晶胞頂角處的硅原子，如圖2（b）所示，運(yùn)用分子動(dòng)力學(xué)的方法分別模擬了摻雜濃度和長(zhǎng)度對(duì)單晶硅納米梁諧振頻率的影響，結(jié)果如表2．

表2 不同摻雜濃度和不同長(zhǎng)度的梁的諧振頻率

由表2可以看出，當(dāng)摻雜濃度相同時(shí)，單晶硅納米梁諧振頻率隨長(zhǎng)度尺寸的增大而減小，當(dāng)長(zhǎng)度尺寸相同時(shí)，單晶硅納米梁的諧振頻率隨摻雜濃度的減小而減小，但減小的趨勢(shì)并不明顯，這個(gè)結(jié)果與表1的結(jié)果相比，變化趨勢(shì)一致．

1.1.3 長(zhǎng)度為32A的單晶硅納米梁的諧振頻率

當(dāng)單晶硅納米梁尺寸固定為32A時(shí)，選擇在硅晶胞的四分之一對(duì)角線處進(jìn)行磷元素?fù)诫s，模擬摻雜濃度分別為30×1020cm?3、15×1020cm?3、7.5×1020cm?3、3.75×1020cm?3、3×1020cm?3，梁的厚度分別為2A、4A、8A、12A、16A的單晶硅納米梁的諧振頻率，結(jié)果如表3．

表3 單晶硅納米梁長(zhǎng)度為32A，不同厚度和摻雜濃度下的諧振頻率

從表3可以看出，當(dāng)摻雜濃度相同時(shí)，硅梁諧振頻率隨厚度尺寸的增大而增大；當(dāng)厚度尺寸相同時(shí)，單晶硅納米梁的諧振頻率隨摻雜濃度的減小而減小，但減小的趨勢(shì)也并不明顯．

1.2 摻雜濃度和長(zhǎng)度尺寸對(duì)單晶硅梁諧振頻率的影響

討論摻雜濃度和長(zhǎng)度尺寸對(duì)單晶硅納米梁的諧振頻率的影響，以在硅晶胞四分之一對(duì)角線處和頂角處摻雜的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析．

圖5 不同長(zhǎng)度尺寸和不同摻雜濃度的單晶硅納米梁諧振頻率對(duì)比圖，(a)四分之一對(duì)角線處摻雜，(b)頂角處摻雜

由表1、表2得到單晶硅納米梁的諧振頻率隨長(zhǎng)度尺寸和摻雜濃度變化的曲線圖，如圖5（a）、（b）所示．當(dāng)納米單晶硅梁的摻雜濃度相同時(shí)，梁的諧振頻率會(huì)隨著長(zhǎng)度尺寸的增加而逐漸減小，并且減小的趨勢(shì)逐漸變緩，這個(gè)結(jié)果與Park等人[9]基于共振頻率表達(dá)式擬合的理論曲線，諧振頻率隨長(zhǎng)度尺寸的增加而減小的趨勢(shì)相同．說明摻雜后的單晶硅納米梁與純單晶硅梁諧振頻率的變化趨勢(shì)一致，諧振頻率具有尺寸依賴效應(yīng)．當(dāng)長(zhǎng)度尺寸不變時(shí)，其諧振頻率隨摻雜濃度的增加而增加，但增加的趨勢(shì)并不明顯，且諧振頻率的值十分接近，說明摻雜對(duì)納米單晶硅梁的諧振頻率影響很小．同時(shí)，通過圖5（a）（b）對(duì)比可以看出，單晶硅納米梁四分之一對(duì)角線處摻雜和頂角處摻雜的諧振頻率具有相同的變化趨勢(shì)，并且諧振頻率值相差很?。@是因?yàn)橐粋€(gè)單晶硅的晶胞可將其視為由四個(gè)處在不同位置的正四面體組成，正四面體的中心原子處在硅晶胞體對(duì)角線的四分之一處，將其中任意一個(gè)正四面體平移都可以與其它的正四面體重合．并且磷原子核硅原子的半徑相差十分微小，當(dāng)硅晶胞中一個(gè)磷原子替換硅原子，硅晶胞的結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)然硅梁中摻雜更多的P原子也不會(huì)使硅梁的結(jié)構(gòu)變化，并且分子動(dòng)力學(xué)模擬是在真空的環(huán)境對(duì)硅梁進(jìn)行優(yōu)化，這時(shí)的硅梁更貼近實(shí)驗(yàn)中的硅梁．納米單晶硅梁表面重構(gòu)的作用相對(duì)內(nèi)部原子的相互作用會(huì)對(duì)硅梁的諧振頻率的影響更大，當(dāng)梁尺寸越來越大表面積相對(duì)變小，內(nèi)部原子變多，相互作用就會(huì)越明顯，所以納米單晶硅的諧振頻率會(huì)隨著尺寸的變化而變化，而摻雜濃度和位置對(duì)硅梁的諧振頻率的影響并不明顯．由此可知，摻雜位置不同不會(huì)影響單晶硅納米梁的諧振頻率，摻雜濃度也不是影響諧振頻率的主要因素，而影響諧振頻率的主要因素是單晶硅納米梁的長(zhǎng)度尺寸．

1.3 摻雜濃度和厚度尺寸對(duì)單晶硅梁諧振頻率的影響

討論摻雜濃度和厚度尺寸對(duì)單晶硅納米梁的諧振頻率的影響，以在硅晶胞四分之一對(duì)角線處摻雜為例，長(zhǎng)度固定為32A的單晶硅納米梁諧振頻率隨厚度變化的模擬結(jié)果進(jìn)行分析．

圖6 不同厚度尺寸和不同摻雜濃度的單晶硅納米梁的諧振頻率對(duì)比圖

由表3得到單晶硅納米梁的諧振頻率隨厚度尺寸和摻雜濃度變化的曲線圖，如圖6．當(dāng)納米單晶硅梁的摻雜濃度相同時(shí)，硅梁的諧振頻率隨著厚度尺寸的增加而逐漸增加，并且增加的趨勢(shì)逐漸變緩，這個(gè)結(jié)果與Yu等[14]利用分子動(dòng)力學(xué)模擬方法，模擬的橫截面為矩形的單晶硅納米梁的諧振頻率隨厚度尺寸的增加而增大的結(jié)果一致，說明摻雜后單晶硅納米梁的諧振頻率也具有尺寸效應(yīng)；當(dāng)厚度尺寸不變時(shí)，其諧振頻率隨摻雜濃度的增加而增加，但增加的趨勢(shì)并不明顯，且諧振頻率的值很接近，說明摻雜濃度對(duì)納米單晶硅梁的諧振頻率影響很?。纱丝芍瑩诫s濃度不是影響諧振頻率的主要因素，而影響諧振頻率的主要因素是單晶硅納米梁的厚度尺寸．

2 結(jié)論

本文主要在硅晶胞的四分之一對(duì)角線處和頂角處進(jìn)行磷元素?fù)诫s，研究納米單晶硅梁動(dòng)態(tài)的諧振特性．通過分子動(dòng)力學(xué)模擬方法，研究了摻雜濃度和尺寸對(duì)單晶硅納米梁諧振頻率的影響．通過分析和討論，得到結(jié)論如下：通過分子動(dòng)力學(xué)的方法模擬了不同摻雜位置處的諧振頻率，當(dāng)梁的摻雜濃度和厚度尺寸一定時(shí)，單晶硅納米梁的諧振頻率隨著長(zhǎng)度尺寸的增加逐漸減小，當(dāng)梁的摻雜濃度和長(zhǎng)度尺寸固定時(shí)，單晶硅納米梁的諧振頻率隨著厚度尺寸的增加而減小，當(dāng)梁的長(zhǎng)度和厚度尺寸一定時(shí)，其諧振頻率隨著摻雜濃度逐漸增大而增加，但是影響并不明顯．由以上結(jié)論可知，摻雜濃度會(huì)影響單晶硅納米梁的諧振頻率，但是影響很小，而納米單晶硅梁的尺寸才是影響其諧振頻率的主要因素．這些結(jié)果對(duì)更好地理解納米單晶硅梁的力學(xué)性能特性是有益的．

參考文獻(xiàn)：

[1]Yang Y T,Callegari C,Feng X L,et al.Zeptogram-scale nanomechanical mass sensing[J].Nano Letters,2006,6(4):583-586.

[2]Yang Y T,Callegari C,Feng X L,et al.Surface adsorbate f l uctuations and noise in nanoelectromechanical systems[J].Nano Letters,2011,11(4):1753-1759.

[3]Bargatin I,Myers E B,Aldridge J S,et al.Large-scale integration of nanoelectromechanical systems for gas sensing applications[J].Nano Letters,2012,12:1269-1274.

[4]Villanueva L G,Karabalin R B,Matheny M H,et al.A nanoscale parametric feedback oscillator[J].Nano Letters,2011,11:5054-5059.

[5]Arkan E F,Sacchetto D,Yildiz I,et al.Monolithic integration of Si nanowires with metallic electrodes:NEMS resonator and switchapplications[J].Journal of Micromechanics and Microengineering,2011,21:125018.

[6]Feng X L,Matheny M H,Zorman C A,et al.Low voltage nanoelectromechanical switches based on silicon carbide nanowires[J].Nano Letters,2010,10:2891-2896.

[7]Belov M,Quitoriano N J,Sharma S,et al.Mechanical resonance of clamped silicon nanowires measured by optical interferometry[J].Journal of Applied Physics,2008,103:074304.

[8]Feng X L,He R,Yang P,et al.Very high frequency silicon nanowire electromechanical resonators[J].Nano Letters,2007,7(7):1953-1959.

[9]Park S H,Kim J S,Park J H,et al.Molecular dynamic study on size-dependent elastic properties of silicon nanocantilevers[J].Thin Solid Films,2005,492(1-2):285-289.

[10]Kim J S,Park S H,Park J H,et al.Molecular dynamics simulation of elastic properties of silicon nanocantilevers[J].Nanoscale and Microscale Thermophysical Engineering,2006,10(1):55-65.

[11]Rudd R E,Broughton J Q.Atomistic simulation of MEMS resonators through the coupling of length scales[J].Journal of Modeling and Simulation of Microsystems,1999,1(1):29-38.

[12]Rudd R E.Coarse-grained molecular dynamics for computer modeling of nanomechanical systems[J].International Journal on Multiscale Computational Engineering,2004,2:203.

[13]Rudd R E,Lee B.Mechanics of silicon nanowires:size-dependent elasticity from f i rst principles[J].Molecular Simulation,2008,34(1):1-8.

[14]Yu H,Sun C,Zhang W W,et al.Study on Size-Dependent Young’s Modulus of a Silicon Nanobeam by Molecular Dynamics Simulation[J].Journal of Nanomaterials,2013,2013:319302.

[15]Alder B J,Wainwright T E.Phase Transition for a Hand Sphere System[J].The Journal of Chemical Physics,1957,27(5):1208-1209.

[16]呂煥玲,王靜.摻雜單晶硅納米薄膜楊氏模量的多尺度理論模型[J].物理學(xué)報(bào),2015,64(23):236103.