胥朋飛

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001）

二次根式的學(xué)習(xí)早就進(jìn)入了中學(xué)數(shù)學(xué)課本，但從學(xué)生平時(shí)的練習(xí)和考試情況來看，很多學(xué)生在這些知識(shí)點(diǎn)上存在概念不清、計(jì)算出錯(cuò)等問題。

1 不同版本大綱和課標(biāo)對(duì)二次根式學(xué)習(xí)的要求

在教育部審定的北師大2013 版教材中，二次根式的學(xué)習(xí)主要開始于八年級(jí)上冊(cè)第二章第7 小節(jié)，對(duì)于二次根式內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不同版本大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)給出了不同的目標(biāo)和要求，分別如下：

1992年教育部頒布的《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用版）》中指出：（1）了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的概念，會(huì)辨別最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式；（2）掌握二次根式的性質(zhì)，如：（a≥0，b＞0），會(huì)根據(jù)二次根式的性質(zhì)熟練地化簡(jiǎn)二次根式（如無特別說明，根號(hào)內(nèi)所有的字母都表示正數(shù)，并且不需要討論）；（3）掌握二次根式的加、減、乘、除的運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行運(yùn)算；（4）會(huì)將分母中含有一個(gè)或兩個(gè)二次根式的式子進(jìn)行分母有理化。[1]

2000年教育部頒布的《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》中指出：（1）了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的概念，會(huì)辨別最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式；（2）掌握積與商的方根的運(yùn)算性質(zhì)，如：（a≥0，b＞0），會(huì)根據(jù)這兩個(gè)性質(zhì)熟練地化簡(jiǎn)二次根式（如無特別說明，根號(hào)內(nèi)所有的字母都表示正數(shù)，并且不需要討論）；（3）掌握二次根式（不含雙重根號(hào)）的加、減、乘、除的運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行運(yùn)算；（4）會(huì)將分母中含有一個(gè)二次根式的式子進(jìn)行分母有理化；（5）掌握二次根式的性質(zhì)，會(huì)利用它化簡(jiǎn)二次根式。[2]其中，最后一條被列為選修部分。

2001年教育部頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)）在第三學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中提出：了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算（不要求分母有理化）。[3]

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（簡(jiǎn)稱《新標(biāo)準(zhǔn)》）也提出：了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念，了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算。[4]

2 不同版本大綱、課標(biāo)之間二次根式學(xué)習(xí)內(nèi)容的比較

2.1 不同大綱二次根式學(xué)習(xí)內(nèi)容的異同點(diǎn)

通過比較，大綱都要求學(xué)生了解一些相關(guān)的定義和概念，如二次根式、最簡(jiǎn)二次根式等，重點(diǎn)是讓學(xué)生在運(yùn)用之前把基礎(chǔ)知識(shí)打牢。在運(yùn)算性質(zhì)中，修訂版的大綱中取消了這一條，明確指出“會(huì)根據(jù)這兩個(gè)性質(zhì)（積和商）熟練地化簡(jiǎn)二次根式”。而在1992年的試用版大綱中，沒有確切的提出“兩個(gè)性質(zhì)”，這樣，學(xué)生在做題時(shí)所接觸的知識(shí)點(diǎn)就會(huì)有所減少，難度也會(huì)有所下降，給學(xué)生減輕了負(fù)擔(dān)。對(duì)比兩個(gè)版本大綱，在掌握二次根式性質(zhì)中，大綱中都附有一個(gè)括號(hào)，以此特別要求學(xué)生在計(jì)算過程中，要清楚知道根號(hào)下面的字母必須是正數(shù)，才可以進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，這也是大部分學(xué)生的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。對(duì)于運(yùn)算法則，修訂版的大綱明確提出二次根式的計(jì)算中不能有雙重根號(hào)，在進(jìn)行分母有理化時(shí)也只是要求學(xué)生會(huì)將分母中含有一個(gè)二次根式的式子進(jìn)行分母有理化，難度降低。

2.2 不同課標(biāo)二次根式學(xué)習(xí)內(nèi)容的異同點(diǎn)

概念掌握對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)是非常重要的，因此在新舊標(biāo)準(zhǔn)中，它們都明確要求學(xué)生必須了解二次根式的概念。在新標(biāo)準(zhǔn)中，加入了要讓學(xué)生了解“最簡(jiǎn)二次根式的概念”。在加、減、乘、除運(yùn)算法則中，新課標(biāo)特意指出在計(jì)算中“根號(hào)下僅限于數(shù)”，就把根號(hào)下有字母的運(yùn)算給取消了。同時(shí)，新舊標(biāo)準(zhǔn)都要求學(xué)生會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單四則運(yùn)算，不同的是，標(biāo)準(zhǔn)中指出“不要求分母有理化”，而新標(biāo)準(zhǔn)中卻沒有提到這一條。

對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)和新標(biāo)準(zhǔn)，在概念方面，新標(biāo)準(zhǔn)加入了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)“了解最簡(jiǎn)二次根式的概念”，拓寬了學(xué)生的知識(shí)面，對(duì)二次根式有更進(jìn)一步的要求和理解。在運(yùn)算法則方面，取消了字母運(yùn)算，回歸學(xué)生熟悉的數(shù)字運(yùn)算，難度大大降低，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，但也加入了一個(gè)難點(diǎn)“分母有理化”,這對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)大的挑戰(zhàn)，成為大部分學(xué)生在二次根式學(xué)習(xí)中所遇到的一個(gè)困難。綜合來看，新標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生提出了更高的要求。

2.3 不同版本大綱與課標(biāo)之間二次根式學(xué)習(xí)內(nèi)容的異同點(diǎn)

在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，一些基本的概念是學(xué)生所必須掌握的。因此，無論是大綱還是標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)此都作了嚴(yán)格的規(guī)定，要求學(xué)生必須了解。只是在兩版的大綱和標(biāo)準(zhǔn)中，只有標(biāo)準(zhǔn)是沒有明確指出要學(xué)生“了解最簡(jiǎn)二次根式的概念”的。在數(shù)學(xué)計(jì)算中，總是離不開性質(zhì)和法則，大綱和標(biāo)準(zhǔn)都有所規(guī)定，而最大的不同就是在分母有理化這一知識(shí)點(diǎn)的要求上，標(biāo)準(zhǔn)中沒有要求分母有理化，新標(biāo)準(zhǔn)和兩版的大綱都有所要求，但在1992年的試用版大綱中，要求學(xué)生“會(huì)將分母中含有一個(gè)或兩個(gè)二次根式的式子進(jìn)行分母有理化”，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)中難度最大的。

對(duì)比兩個(gè)版本大綱和標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)在內(nèi)容的學(xué)習(xí)上有所減少，但對(duì)學(xué)生所要學(xué)習(xí)二次根式的最基本要求沒有改變，難度有所降低，但要求學(xué)生掌握的計(jì)算過程和基本運(yùn)算法則沒有改變。

3 典型案列分析

二次根式的運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，是對(duì)所學(xué)概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則的終極運(yùn)用點(diǎn)，更是已學(xué)的“數(shù)與式”內(nèi)容的延伸和綜合體現(xiàn)。[5]因此，在學(xué)習(xí)中還需要把已學(xué)過的知識(shí)融入其中，引導(dǎo)學(xué)生更好的去學(xué)習(xí)。

3.1 概念、性質(zhì)的運(yùn)用

新課標(biāo)要求學(xué)生要了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念，特別是最簡(jiǎn)二次根式。在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，所涉及到的題目也是最多的，因?yàn)樗仁嵌胃郊訙p法運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是我們?cè)谧鲱}時(shí)對(duì)運(yùn)算結(jié)果的一種要求，為二次根式的運(yùn)算指明了方向。對(duì)于最簡(jiǎn)二次根式的概念，在教育部審定的北師大2013版教材中第42 頁提到：“一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式”。[6]，對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，我們必須要求學(xué)生首先掌握二次根式的兩個(gè)常用性質(zhì)：0，b＞0），這樣才能方便學(xué)生更好的解題，但由于許多學(xué)生對(duì)概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢，就經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)許多錯(cuò)誤，比如

例1：（2010年湛江） 下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的為（ ）

錯(cuò)解 1：D 錯(cuò)解 2：A

解析：根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。選項(xiàng)D 中學(xué)生認(rèn)為不能繼續(xù)化簡(jiǎn)出錯(cuò)，選項(xiàng)A 中學(xué)生對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的定義不清晰出錯(cuò)，被開方數(shù)不含分母。

例2：化簡(jiǎn)

解析：以上都是學(xué)生經(jīng)常會(huì)出錯(cuò)的幾種解法，解法一中學(xué)生對(duì)帶分?jǐn)?shù)理解不清晰，直接想到用二次根式的乘法性質(zhì)而出錯(cuò)；解法二中學(xué)生沒有認(rèn)識(shí)到“被開方數(shù)中不含分母”而出現(xiàn)錯(cuò)誤；第三種解法出錯(cuò)幾率很高，大部分學(xué)生都會(huì)認(rèn)為分子的不能再做化簡(jiǎn)，而，因此正確答案應(yīng)該為。

3.2 法則的運(yùn)用

二次根式乘法法則和除法法則的運(yùn)用主要在課本的第2 課時(shí)，是在第1 課時(shí)二次根式性質(zhì)的基礎(chǔ)上的直接運(yùn)用，新標(biāo)準(zhǔn)要求會(huì)用二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，在課本中給出了3 個(gè)例題，例3 的3 個(gè)小題是對(duì)二次根式乘法法則和除法法則的直接運(yùn)用計(jì)算，相對(duì)來說比較簡(jiǎn)單，而例4 和例5 中的幾個(gè)小題除了乘、除運(yùn)算，還加入了加、減運(yùn)算，題目的設(shè)計(jì)具有一定的梯度，例4 側(cè)重乘、除運(yùn)算，同時(shí)也加入了學(xué)生很熟悉的有關(guān)運(yùn)算定律和公式（如結(jié)合律、交換律、分配率、平方差公式和完全平方式等）的運(yùn)用；而例5 主要為加、減運(yùn)算，不同的是，算到最后結(jié)果有同類二次根式，可以進(jìn)行合并。在對(duì)二次根式法則的運(yùn)用中也常常會(huì)出現(xiàn)許多的錯(cuò)誤，舉例如下：

解析：解法一中學(xué)生直接按照以前熟悉的整數(shù)運(yùn)算進(jìn)行分子分母約分，不清楚根號(hào)內(nèi)的因數(shù)不能和根號(hào)外的因數(shù)直接進(jìn)行約分出錯(cuò)；解法二中學(xué)生在進(jìn)行到最后時(shí)忘記了帶運(yùn)算，在進(jìn)行合并同類二次根式時(shí)被開方數(shù)和根指數(shù)都不變，因此正確結(jié)果為

解析：解法一中學(xué)生沒有認(rèn)識(shí)到和不是同類二次根式，所以不能合并，更不能違反運(yùn)算法則直接把被開方數(shù)相加；解法二中是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)以前學(xué)過的完全平方式記憶不清晰而運(yùn)用出錯(cuò)；解法三中學(xué)生把二次根式的乘法法則誤用到加法中而出現(xiàn)錯(cuò)誤。正確的解答過程為

結(jié)果不是同類二次根式，不能再進(jìn)行合并了。

通過對(duì)相關(guān)典型案例的分析可以看出，學(xué)生要能夠熟練掌握二次根式的概念、性質(zhì)和法則，同時(shí)應(yīng)該把以前學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)融入進(jìn)去，否則在運(yùn)用的過程中就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。二次根式在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著非常重要的位置，在后續(xù)的教學(xué)中也還會(huì)有進(jìn)一步的加深運(yùn)用，對(duì)大部分中學(xué)生來說比較困難，因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該進(jìn)行合理的講解，不要讓學(xué)生只是機(jī)械性的死記硬背，要讓學(xué)生在熟練中運(yùn)用，在運(yùn)用中熟練，找到適合的解題思路和過程，提高學(xué)生的思維能力和計(jì)算能力，避免出現(xiàn)一些基礎(chǔ)性的錯(cuò)誤。