邱飛力, 張立民, 張衛(wèi)華
(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室,四川 成都610031)
高速列車整車模態(tài)的匹配影響車輛各部件結構的振動[1-2],進而影響整個車輛系統(tǒng)的運行性能。目前,高速轉向架空簧的非線性將導致車體垂向振動響應的頻帶增寬,容易引發(fā)車下質量產生共振,且抗蛇行阻抗越強將導致車體地板振動越劇烈[3]。同時,車下橡膠吊掛對車體橫向減振具有積極作用,有利于車體的疲勞壽命,但過大的橡膠阻尼會使地板振動不衰減。為解決以上動力學問題,鋁合金車體整體結構設計必須遵循模態(tài)匹配倍原則,與此同時,還應正確處理鋁合金車體與轉向架、車下橡膠吊掛參數(shù)的接口關系。進而避免車體與轉向架、車下質量耦合共振,確保鋁合金車體技術服役30年[4]。雖然較高的車體彎曲模態(tài)可以避免車體與轉向架和車下懸掛設備間的共振,但過高的車體彎曲模態(tài)意味著較大的車體彎曲剛度,這又制約了車體的輕量化設計。在車體材料和質量一定的條件下,要保證車體的彎曲剛度需要從動態(tài)設計的角度去修改其截面形狀和結構形式[5]。
不論是整車模態(tài)的匹配規(guī)劃,還是輕量化車體的彎曲剛度設計,都必須先從鋁合金車體結構優(yōu)化入手。確定鋁合金車體的模態(tài),才能夠對整備車體模態(tài)進行準確地預測[6]。同時,從振動傳遞和避免共振的角度出發(fā),鋁合金車體模態(tài)參數(shù)對轉向架和車下設備懸掛參數(shù)的選擇以及內裝地板等局部結構的設計具有重要的指導意義。
鋁合金車體尺寸大且結構復雜,僅憑工程師的經驗建立一個與實際完全符合的模型不可能[7]。即鋁合金車體設計的有限元模型不可避免地存在誤差,這將會嚴重影響其分析結果的正確性。目前的研究表明,模型修正可以大幅提高有限元模型的準確性[8]。
在此背景下,研究高速列車鋁合金車體模型修正方法,可以為后續(xù)的車體優(yōu)化設計提供準確的模型,具有工程實際應用價值。
鋁合金車體模型修正可分成4部分:(1)模型精度判定;(2)模型修正參數(shù)選擇;(3)構造模型修正目標函數(shù);(4)模型修正的優(yōu)化求解。
在一定頻段范圍內,車體試驗n階模態(tài)參數(shù)為有限元m階模態(tài)參數(shù)為{f1,f2,…,fm;Φ1,Φ2,…,Φm}。模型修正前,需要搜索出對應的試驗模態(tài)和有限元模態(tài),即模型匹配。
模態(tài)振型匹配采用振型相關性系數(shù)MAC比對,振型相關性的計算方法為[9]
式中:i、j分別為試驗模態(tài)和有限元模態(tài)的階數(shù)。
由于測試自由度不足,高階振型無法與低階同類振型有效區(qū)分。為此,引入頻率相對誤差ri,j,其計算式為
取頻率誤差限值為10%,匹配準則為
若式(3)成立,表明對應的試驗模態(tài)與有限元模態(tài)匹配;否則,對應的試驗模態(tài)與有限元模態(tài)不匹配。
為滿足工程應用,頻率精度目標R0取2%,振型相關性目標MAC0取0.9,建立模型精度判別式
式中:Ri、MACi分別為匹配后的第i對試驗模態(tài)與有限元模態(tài)間的頻率相對誤差和振型相關性。
計算模態(tài)頻率和振型MAC值對參數(shù)p的靈敏度,傳統(tǒng)的靈敏度計算方法為[10]
該方法難以比較不同類型參數(shù)的靈敏度,為統(tǒng)一參數(shù)靈敏度的量綱和量級,改善靈敏度矩陣的病態(tài)性,引入有限元模型參數(shù)擾動百分比qj,則
計算頻率百分比和振型相關性MAC對參數(shù)擾動比qj的差分靈敏度矩陣S,則
建立參數(shù)靈敏度判定準則,則
滿足(11)式的參數(shù)擾動比qj選作修正變量,否則不作為修正變量,從而提高修正效率。
基于頻率誤差和振型MAC建立殘差,則
進而建立多目標函數(shù)[11]為
式中:ε為極小值;qmin為修正參數(shù)擾動比的下限;qmax為修正參數(shù)擾動的上限。
車體待修正模態(tài)的階數(shù)與修正參數(shù)的數(shù)目通常不等,導致多目標函數(shù)為不適定方程組(超定或欠定)。采用傳統(tǒng)方法求解,其結果與真實值相差極大,參數(shù)將喪失物理意義[12]。為此,引入 Tikonov正則化方法[13]求解,車體修正目標函數(shù)轉換為
式中:a是正則化參數(shù);C是正則化矩陣;d是對修正參數(shù)擾動q的限制向量;Nn為參數(shù)擾動q的集合。
正則化求解可分5步進行:
Step1 對靈敏度矩陣S作奇異值分解,并計算離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)βi。
式中:矩陣U=(u1,u2,…,uk)和Vnn=(v1,v2,…,vn)的列向量正交;對角矩陣Λnn為奇異值矩陣,其元素滿足σ1>σ2>…>σn>0。
離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)計算為
Step2 判定線性系統(tǒng)Sq=b是否滿足離散Picard條件,即系統(tǒng)離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)βi趨于零的速度是否快于矩陣S的奇異值σi趨于0的速度。
Step3 推導目標函數(shù)關于正則化參數(shù)a的最小二乘解表達式
Step4 應用L-曲線法,求取正則化參數(shù)a。
將q(a)代入方程(14),可得到2部分殘差向量
L-曲線法的表現(xiàn)形式為
H
ansen對L-曲線在正則化方法的應用作了深入研究,將L-曲線在對數(shù)尺度下曲線拐點(即最大曲率點)對應的a值作為最優(yōu)正則化參數(shù)[13]。
令式(20)成立。
L-曲線曲率可由式(21)計算得出
式中:k(a)為L-曲線曲率,當k(a)其取最大值時,對應的a為最優(yōu)正則化參數(shù)。
Step5 代入正則化參數(shù)至式(14),利用最小二乘法迭代至收斂,獲取修正參數(shù)擾動比q。
鋁合金車體模態(tài)測試根據(jù)文獻[14]進行,在車體上選取7個測試截面,每個截面4個測點,采用多點掃頻激勵。車體用4個橡膠堆在兩端枕梁位置處進行彈性支撐,測點布置和測試照片分別見圖1、圖2。
圖1 高速列車模態(tài)測點分布圖
圖2 高速列車車體測試照片
以車體垂彎測試工況為例,給出車體測點的綜合頻響函數(shù),見圖3。
圖3 車體測點綜合頻響函數(shù)特性
在0~50Hz范圍內,測試得到了車體的10階彈
性模態(tài)(i=1,2,…,10),并提取了對應測點的比例振型(i=1,2,…,10)。車體的一階菱形和一階垂彎振型(分別對應頻響函數(shù)的第二個和第三個峰值)見圖4。
圖4 車體一階振型
選用殼單元Shell63對鋁合金車體模型劃分網(wǎng)格,并采用Combine14單元模擬車體橡膠堆的彈性支撐。利用車體沉浮頻率,估算橡膠堆的彈性支撐剛度,有限元模型中車體沉浮頻率隨支撐剛度的變化見圖5。
圖5中水平虛線為沉浮模態(tài)頻率2.93Hz,豎直虛線表示沉浮模態(tài)對應的支撐剛度值。進而估算橡膠的支撐剛度為1.02MN/m,此即為車體模型的邊界約束。
圖5 支撐剛度對一階沉浮頻率的影響
高速列車鋁合金車體有限元模型見圖6,X、Y和Z為車輛系統(tǒng)坐標系。
車體有限元模型主要的結構參數(shù)見表1。
表1 車體結構主要參數(shù)表
與測試模態(tài)相對應,在0~50Hz范圍內,有限元分析共獲取了22階彈性模態(tài)頻率fj(j=1,2,…,22),并提取與試驗測點對應的振型向量Φi(i=1,2,…,22)。
計算試驗和仿真模態(tài)振型MAC值和頻率相對誤差r,根據(jù)式(3)進行模態(tài)匹配,結果見表2。
表2 模態(tài)對比表
分析表2,匹配后的仿真模態(tài)頻率最大誤差為7.33%,且部分MAC值不到0.9。利用車體模型精度準則判定該車體模型不滿足精度要求,需要進行修正。
鋁合金車體結構主要模型參數(shù)包括材料密度、彈性模量、支撐剛度以及型材尺寸等,見表3。
表3 車體模型主要參數(shù)及初始值
結合式(5)、式(6)計算參數(shù)的傳統(tǒng)靈敏度矩陣,以頻率靈敏度元素為例,給出其量級和單位,見表4。
表4 各類型參數(shù)靈敏度的數(shù)量級和單位
從表4知,傳統(tǒng)的靈敏度不能衡量不同類型參數(shù)對頻率的影響,無法合理選取參數(shù)。同時,靈敏度矩陣元素數(shù)量級相差甚大,其條件數(shù)Cond1=6.591 5×1015,可見其病態(tài)性十分嚴重。
為此,對車體各參數(shù)作qj=+5%的擾動,基于式(8)~式(10)計算靈敏度矩陣S。該矩陣全部元素均為百分比,量綱統(tǒng)一,利于修正參數(shù)的合理選取。矩陣的條件數(shù)Cond2=3.857 8×104,遠遠小于Cond1,從而大大地改善了矩陣的病態(tài)性,更利于目標函數(shù)的求解。振型相關性MAC對各參數(shù)擾動q的靈敏度,見圖7(a),模態(tài)頻率百分比對參數(shù)擾動的靈敏度見圖7(b)。
圖7 靈敏度圖
由圖7(a)可知,第3階和第7階模態(tài)振型MAC對修正參數(shù)擾動不靈敏,第8階模態(tài)振型MAC對參數(shù)擾動靈敏度最大。由圖7(b)知,密度和彈性模量擾動的靈敏度較高,模態(tài)頻率百分比對參數(shù)擾動比q11~q13的靈敏度較低。
結合式(11),第3階和第7階振型MAC不作修正目標,參數(shù)擾動比q11~q13不參與模態(tài)頻率百分比目標函數(shù)修正。以減少目標方程組維數(shù),提高修正效率。
將頻率誤差百分比和振型相關性系數(shù)取等同權重(λ=1);為約束參數(shù)qj趨于穩(wěn)定且變化量小,C取單位矩陣I,d為零矩陣。結合式(21)求出a=1×10-4,按照式(14)形式重寫目標函數(shù)為
利用最小二乘法求解目標函數(shù),收斂過程見圖8。
圖8 修正目標函數(shù)收斂圖
由圖8知,采用正則化靈敏度方法經過6次迭代,目標函數(shù)趨于穩(wěn)定,高速列車車體模型修正完成。
修正后的有限元模態(tài)與試驗模態(tài)對比見表5。
表5 修正后的模態(tài)與試驗模態(tài)對比表
表5中,修正后的模態(tài)滿足精度判定式(4),表明修正后的模型準確可靠。修正前后,模態(tài)頻率絕對誤差和振型MAC值的變化分別見圖9和圖10所示。
從圖9、圖10可知,修正后的模態(tài)頻率誤差得到大幅衰減;修正后模型的振型MAC得到明顯的提高。
修正后的車體模型各參數(shù)改變率見圖11。
圖9 修正前后模態(tài)頻率絕對誤差
圖10 修正前后振型MAC對比
圖11 修正后的參數(shù)擾動比
由圖11表明,各參數(shù)擾動比均在5%左右,符合實際情況。密度參數(shù)擾動比較??;型材厚度改變擾動比大部分為負值,表明初始模型尺寸較實際厚,與有限元模態(tài)頻率高于測試值相吻合。
綜上所述,修正后的鋁合金車體模型的模態(tài)參數(shù)滿足精度要求,與試驗測試值相吻合。同時車體模型參數(shù)變化在±5%左右,符合車體的實際結構。這表明修正后車體模型與實際結構的預期相符合。
通過對高速列車車體模型修正,得出以下結論:
(1)針對某鋁合金車體仿真建模的不準確性,對車體有限元模型修正方法進行研究;提出了基于參數(shù)擾動比的靈敏度修正方法,并完成了該車體有限元模型的修正。修正后的結果表明該模型修正方法正確可行。
(2)修正后的車體有限元模型模態(tài)與試驗測試值保持一致,車體模型各參數(shù)擾動均在允許范圍內。且獲取了一個與工程實際相吻合的車體有限元模型,該車體模型為后續(xù)的整車結構、轉向架和車下橡膠吊掛參數(shù)的設計提供了正確的基礎和依據(jù)。
(3)利用鋁合金車體的實測模態(tài)頻率和振型數(shù)據(jù),首次建立了車體模型的匹配方法和模型精度判定準則,并提出了適用于車體的模型修正方法;同時,改進了模態(tài)靈敏度分析方法,統(tǒng)一了參數(shù)靈敏度量綱,改善了靈敏度矩陣的病態(tài)性,提高了模型修正效率。
參考文獻:
[1]宮島,周勁松,孫文靜,等.高速列車彈性車體與轉向架耦合振動分析[J].交通運輸工程學報,2011,11(4):41-47.GONG Dao,ZHOU Jinsong,SUN Wenjing,ed al.Couple Vibration Analysis of Flexible Car Body and Bogie for High Speed Train[J].Journal of Traffic and Transportation Engineering,2011,11(4):41-47.
[2]黃彩虹,曾京,鄔平波,等.鐵道客車車體彈性振動減振研究[J].工程力學,2010,27(12):250-256.HUANG Caihong,ZENG Jing,WU Pingbo,ed al.Study on Body Flexible Vibration Reduction for Railway Passenger Carriage[J].Engineering Mechanics,2010,27(12):250-256.
[3]樸明偉,梁樹林,方照根,等.高速轉向架非線性與高鐵車輛安全穩(wěn)定性裕度[J].中國鐵道科學,2011,32(3):86-92.PIAO Mingwei,LIANG Shulin,F(xiàn)ANG Zhaogen,et al.The Non-linearity of High-speed Bogie and the Safety Stability Margin of High-speed Railway Vehicles[J].China Railway Science,2011,32(3):86-92.
[4]樸明偉,李明星,趙強,等.高鐵車輛橫向振動耦合機制及其減振技術對策[J].振動與沖擊,2015,34(3):1-10.PIAO Mingwei,LI Mingxing,ZHAO Qiang,ed al.Lateral Vibration Coupling Mechanism of High-speed Rolling Stocks and Damping Technical Countermeasure[J].Journal of Vibration and Shock,2015,34(3):1-10.
[5]BEP C B,李宏.關于提高高速客車車體的彎曲剛度問題[J].國外鐵道車輛,1988(4):24-29.BEP C B,LI Hong.The Bending Stiffness Improvement of High Speed Train[J].Foreign Rolling Stock,1988(4):24-29.
[6]張立民.高速列車車體模態(tài)試驗技術及試驗規(guī)范研究報告[R].成都:西南交通大學,2012:58-59.
[7]朱安文,曲廣吉,高耀南.結構動力模型修正技術的發(fā)展[J].力學進展,2002,32(3):337-347.ZHU Anwen,QU Guangji,GAO Yaonan.Processing in Model Updating for Structural Dynamic[J].Advance in Mechanics,2002,32(3):337-347.
[8]孫正華,李兆霞,韓曉林.大跨橋梁索塔有限元模型修正[J].工程抗震與加固改造,2006,28(1):50-56.SUN Zhenghua,LI Zhaoxia,HAN Xiaolin.Finite Element Model Updating for the Tower of Long-span Bridges[J].Earthquake Resistant Engineering and Retrofitting,2006,28(1):50-56.
[9]EWINS D J.Model Validation:Correlation for Updating[J].Sadhana,2000,25(3):221-234.
[10]戴航,袁愛民.基于靈敏度分析的結構模型修正[M].北京:科學出版社,2011:54-61.
[11]邱飛力,張立民,張衛(wèi)華,等.支架結構建模中設計參數(shù)的修正與優(yōu)化[J].噪聲與振動控制,2014,34(1):36-40.QIU Feili,ZHANG Limin,ZHANG Weihua,et al.Frame Finite Model Updating Based on Design Parameters Method[J].Nosie and Vibration Control,2014,34(1):36-40.
[12]TITURN B,F(xiàn)RISWELL M I.Regularization in Model Updating[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2008,75:440-478.
[13]吳頡爾.正則化方法及其在模型修正中的應用[D].南京:南京航空航天大學,2007:22-23.
[14]中華人民共和國鐵道部.TB/B3115—2005機車車輛動力學性能臺架試驗方法[S].北京:中國鐵道出版社,2005.