邱飛力， 張立民， 張衛(wèi)華

（西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都610031）

高速列車整車模態(tài)的匹配影響車輛各部件結構的振動［1－2］，進而影響整個車輛系統(tǒng)的運行性能。目前，高速轉向架空簧的非線性將導致車體垂向振動響應的頻帶增寬，容易引發(fā)車下質量產生共振，且抗蛇行阻抗越強將導致車體地板振動越劇烈［3］。同時，車下橡膠吊掛對車體橫向減振具有積極作用，有利于車體的疲勞壽命，但過大的橡膠阻尼會使地板振動不衰減。為解決以上動力學問題，鋁合金車體整體結構設計必須遵循模態(tài)匹配倍原則，與此同時，還應正確處理鋁合金車體與轉向架、車下橡膠吊掛參數的接口關系。進而避免車體與轉向架、車下質量耦合共振，確保鋁合金車體技術服役30年［4］。雖然較高的車體彎曲模態(tài)可以避免車體與轉向架和車下懸掛設備間的共振，但過高的車體彎曲模態(tài)意味著較大的車體彎曲剛度，這又制約了車體的輕量化設計。在車體材料和質量一定的條件下，要保證車體的彎曲剛度需要從動態(tài)設計的角度去修改其截面形狀和結構形式［5］。

不論是整車模態(tài)的匹配規(guī)劃，還是輕量化車體的彎曲剛度設計，都必須先從鋁合金車體結構優(yōu)化入手。確定鋁合金車體的模態(tài)，才能夠對整備車體模態(tài)進行準確地預測［6］。同時，從振動傳遞和避免共振的角度出發(fā)，鋁合金車體模態(tài)參數對轉向架和車下設備懸掛參數的選擇以及內裝地板等局部結構的設計具有重要的指導意義。

鋁合金車體尺寸大且結構復雜，僅憑工程師的經驗建立一個與實際完全符合的模型不可能［7］。即鋁合金車體設計的有限元模型不可避免地存在誤差，這將會嚴重影響其分析結果的正確性。目前的研究表明，模型修正可以大幅提高有限元模型的準確性［8］。

在此背景下，研究高速列車鋁合金車體模型修正方法，可以為后續(xù)的車體優(yōu)化設計提供準確的模型，具有工程實際應用價值。

1 修正理論

鋁合金車體模型修正可分成4部分：（1）模型精度判定；（2）模型修正參數選擇；（3）構造模型修正目標函數；（4）模型修正的優(yōu)化求解。

1.1 模型精度判定

在一定頻段范圍內，車體試驗n階模態(tài)參數為有限元m階模態(tài)參數為｛f1，f2，…，fm；Φ1，Φ2，…，Φm｝。模型修正前，需要搜索出對應的試驗模態(tài)和有限元模態(tài)，即模型匹配。

模態(tài)振型匹配采用振型相關性系數MAC比對，振型相關性的計算方法為［9］

式中：i、j分別為試驗模態(tài)和有限元模態(tài)的階數。

由于測試自由度不足，高階振型無法與低階同類振型有效區(qū)分。為此，引入頻率相對誤差ri，j，其計算式為

取頻率誤差限值為10%，匹配準則為

若式（3）成立，表明對應的試驗模態(tài)與有限元模態(tài)匹配；否則，對應的試驗模態(tài)與有限元模態(tài)不匹配。

為滿足工程應用，頻率精度目標R0取2%，振型相關性目標MAC0取0.9，建立模型精度判別式

式中：Ri、MACi分別為匹配后的第i對試驗模態(tài)與有限元模態(tài)間的頻率相對誤差和振型相關性。

1.2 修正參數選擇

計算模態(tài)頻率和振型MAC值對參數p的靈敏度，傳統(tǒng)的靈敏度計算方法為［10］

該方法難以比較不同類型參數的靈敏度，為統(tǒng)一參數靈敏度的量綱和量級，改善靈敏度矩陣的病態(tài)性，引入有限元模型參數擾動百分比qj，則

計算頻率百分比和振型相關性MAC對參數擾動比qj的差分靈敏度矩陣S，則

建立參數靈敏度判定準則，則

滿足（11）式的參數擾動比qj選作修正變量，否則不作為修正變量，從而提高修正效率。

1.3 多目標修正函數

基于頻率誤差和振型MAC建立殘差，則

進而建立多目標函數［11］為

式中：ε為極小值；qmin為修正參數擾動比的下限；qmax為修正參數擾動的上限。

車體待修正模態(tài)的階數與修正參數的數目通常不等，導致多目標函數為不適定方程組（超定或欠定）。采用傳統(tǒng)方法求解，其結果與真實值相差極大，參數將喪失物理意義［12］。為此，引入 Tikonov正則化方法［13］求解，車體修正目標函數轉換為

式中：a是正則化參數；C是正則化矩陣；d是對修正參數擾動q的限制向量；Nn為參數擾動q的集合。

1.4 正則化求解方法

正則化求解可分5步進行：

Step1 對靈敏度矩陣S作奇異值分解，并計算離散傅里葉級數的系數βi。

式中：矩陣U＝（u1，u2，…，uk）和Vnn＝（v1，v2，…，vn）的列向量正交；對角矩陣Λnn為奇異值矩陣，其元素滿足σ1＞σ2＞…＞σn＞0。

離散傅里葉級數的系數計算為

Step2 判定線性系統(tǒng)Sq＝b是否滿足離散Picard條件，即系統(tǒng)離散傅里葉級數的系數βi趨于零的速度是否快于矩陣S的奇異值σi趨于0的速度。

Step3 推導目標函數關于正則化參數a的最小二乘解表達式

Step4 應用L－曲線法，求取正則化參數a。

將q（a）代入方程（14），可得到2部分殘差向量

L－曲線法的表現形式為

H

ansen對L－曲線在正則化方法的應用作了深入研究，將L－曲線在對數尺度下曲線拐點（即最大曲率點）對應的a值作為最優(yōu)正則化參數［13］。

令式（20）成立。

L－曲線曲率可由式（21）計算得出

式中：k（a）為L－曲線曲率，當k（a）其取最大值時，對應的a為最優(yōu)正則化參數。

Step5 代入正則化參數至式（14），利用最小二乘法迭代至收斂，獲取修正參數擾動比q。

2 模型精度判定

鋁合金車體模態(tài)測試根據文獻［14］進行，在車體上選取7個測試截面，每個截面4個測點，采用多點掃頻激勵。車體用4個橡膠堆在兩端枕梁位置處進行彈性支撐，測點布置和測試照片分別見圖1、圖2。

圖1 高速列車模態(tài)測點分布圖

圖2 高速列車車體測試照片

以車體垂彎測試工況為例，給出車體測點的綜合頻響函數，見圖3。

圖3 車體測點綜合頻響函數特性

在0～50Hz范圍內，測試得到了車體的10階彈

性模態(tài)（i＝1，2，…，10），并提取了對應測點的比例振型（i＝1，2，…，10）。車體的一階菱形和一階垂彎振型（分別對應頻響函數的第二個和第三個峰值）見圖4。

圖4 車體一階振型

選用殼單元Shell63對鋁合金車體模型劃分網格，并采用Combine14單元模擬車體橡膠堆的彈性支撐。利用車體沉浮頻率，估算橡膠堆的彈性支撐剛度，有限元模型中車體沉浮頻率隨支撐剛度的變化見圖5。

圖5中水平虛線為沉浮模態(tài)頻率2.93Hz，豎直虛線表示沉浮模態(tài)對應的支撐剛度值。進而估算橡膠的支撐剛度為1.02MN／m，此即為車體模型的邊界約束。

圖5 支撐剛度對一階沉浮頻率的影響

高速列車鋁合金車體有限元模型見圖6，X、Y和Z為車輛系統(tǒng)坐標系。

車體有限元模型主要的結構參數見表1。

表1 車體結構主要參數表

與測試模態(tài)相對應，在0～50Hz范圍內，有限元分析共獲取了22階彈性模態(tài)頻率fj（j＝1，2，…，22），并提取與試驗測點對應的振型向量Φi（i＝1，2，…，22）。

計算試驗和仿真模態(tài)振型MAC值和頻率相對誤差r，根據式（3）進行模態(tài)匹配，結果見表2。

表2 模態(tài)對比表

分析表2，匹配后的仿真模態(tài)頻率最大誤差為7.33%，且部分MAC值不到0.9。利用車體模型精度準則判定該車體模型不滿足精度要求，需要進行修正。

3 車體模型修正

3.1 修正參數選取

鋁合金車體結構主要模型參數包括材料密度、彈性模量、支撐剛度以及型材尺寸等，見表3。

表3 車體模型主要參數及初始值

結合式（5）、式（6）計算參數的傳統(tǒng)靈敏度矩陣，以頻率靈敏度元素為例，給出其量級和單位，見表4。

表4 各類型參數靈敏度的數量級和單位

從表4知，傳統(tǒng)的靈敏度不能衡量不同類型參數對頻率的影響，無法合理選取參數。同時，靈敏度矩陣元素數量級相差甚大，其條件數Cond1＝6.591 5×1015，可見其病態(tài)性十分嚴重。

為此，對車體各參數作qj＝＋5%的擾動，基于式（8）～式（10）計算靈敏度矩陣S。該矩陣全部元素均為百分比，量綱統(tǒng)一，利于修正參數的合理選取。矩陣的條件數Cond2＝3.857 8×104，遠遠小于Cond1，從而大大地改善了矩陣的病態(tài)性，更利于目標函數的求解。振型相關性MAC對各參數擾動q的靈敏度，見圖7（a），模態(tài)頻率百分比對參數擾動的靈敏度見圖7（b）。

圖7 靈敏度圖

由圖7（a）可知，第3階和第7階模態(tài)振型MAC對修正參數擾動不靈敏，第8階模態(tài)振型MAC對參數擾動靈敏度最大。由圖7（b）知，密度和彈性模量擾動的靈敏度較高，模態(tài)頻率百分比對參數擾動比q11～q13的靈敏度較低。

結合式（11），第3階和第7階振型MAC不作修正目標，參數擾動比q11～q13不參與模態(tài)頻率百分比目標函數修正。以減少目標方程組維數，提高修正效率。

3.2 模型修正

將頻率誤差百分比和振型相關性系數取等同權重（λ＝1）；為約束參數qj趨于穩(wěn)定且變化量小，C取單位矩陣I，d為零矩陣。結合式（21）求出a＝1×10－4，按照式（14）形式重寫目標函數為

利用最小二乘法求解目標函數，收斂過程見圖8。

圖8 修正目標函數收斂圖

由圖8知，采用正則化靈敏度方法經過6次迭代，目標函數趨于穩(wěn)定，高速列車車體模型修正完成。

修正后的有限元模態(tài)與試驗模態(tài)對比見表5。

表5 修正后的模態(tài)與試驗模態(tài)對比表

表5中，修正后的模態(tài)滿足精度判定式（4），表明修正后的模型準確可靠。修正前后，模態(tài)頻率絕對誤差和振型MAC值的變化分別見圖9和圖10所示。

從圖9、圖10可知，修正后的模態(tài)頻率誤差得到大幅衰減；修正后模型的振型MAC得到明顯的提高。

修正后的車體模型各參數改變率見圖11。

圖9 修正前后模態(tài)頻率絕對誤差

圖10 修正前后振型MAC對比

圖11 修正后的參數擾動比

由圖11表明，各參數擾動比均在5%左右，符合實際情況。密度參數擾動比較小；型材厚度改變擾動比大部分為負值，表明初始模型尺寸較實際厚，與有限元模態(tài)頻率高于測試值相吻合。

綜上所述，修正后的鋁合金車體模型的模態(tài)參數滿足精度要求，與試驗測試值相吻合。同時車體模型參數變化在±5%左右，符合車體的實際結構。這表明修正后車體模型與實際結構的預期相符合。

4 結論

通過對高速列車車體模型修正，得出以下結論：

（1）針對某鋁合金車體仿真建模的不準確性，對車體有限元模型修正方法進行研究；提出了基于參數擾動比的靈敏度修正方法，并完成了該車體有限元模型的修正。修正后的結果表明該模型修正方法正確可行。

（2）修正后的車體有限元模型模態(tài)與試驗測試值保持一致，車體模型各參數擾動均在允許范圍內。且獲取了一個與工程實際相吻合的車體有限元模型，該車體模型為后續(xù)的整車結構、轉向架和車下橡膠吊掛參數的設計提供了正確的基礎和依據。

（3）利用鋁合金車體的實測模態(tài)頻率和振型數據，首次建立了車體模型的匹配方法和模型精度判定準則，并提出了適用于車體的模型修正方法；同時，改進了模態(tài)靈敏度分析方法，統(tǒng)一了參數靈敏度量綱，改善了靈敏度矩陣的病態(tài)性，提高了模型修正效率。

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