張海強 孟 盛

例題教學應從“解題”走向“思想”
——從考生對兩道高考壓軸題的不嚴密解答談起

張海強1孟 盛2

微積分是繼歐幾里得幾何之后，數(shù)學發(fā)展史中的一個創(chuàng)造，極限思想則是微積分的基礎。從歷史發(fā)展來看，極限思想的建立是一個漸進的過程，因此新課程教科書為幫助學生建立極限思想作了諸多嘗試。從高考對極限思想的考查來看，結(jié)果不盡如人意，因此宜加強習題教學的研究，使習題教學從數(shù)學知識的教學走向數(shù)學思想（方法）的教學，甚至數(shù)學觀念的教學。

極限思想；漸近線；下確界；數(shù)學閱讀；習題教學

極限思想是一種重要的思想方法，是微積分的基礎，是連接初等數(shù)學與高等數(shù)學的橋梁。隨著高中對導數(shù)內(nèi)容學習的深入，極限思想不可避免地從幕后走向臺前，以“正統(tǒng)”的姿態(tài)進入了高中教材，極限思想已然成為高中數(shù)學思想方法的重要內(nèi)容。但從2010年和2013年江蘇高考對極限思想的考查來看結(jié)果不盡如人意，學生尚缺乏運用極限思想解決問題的意識和能力，極限思想并沒有在學生的頭腦中“扎根”。本文以2010年和2013年江蘇省數(shù)學高考試題中的壓軸題為例，呈現(xiàn)考生的不嚴密解答，并做出相關(guān)分析，基于此給出對極限思想教學的一點思考。

一、試題與不嚴密解答

試題1：（2010年江蘇高考第19題）設各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式（用n，d表示）；

（2）設c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立。求證：c的最大值為

不嚴密的解答：（1）略；

（2）Sm+Sn＞cSk?m2d2+n2d2＞c·k2d2?m2+n2＞c·k2，即恒成立。

試題2：（2013年江蘇高考第20題）設函數(shù)f（x） =lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論。

不嚴密的解答：（1）略；

當0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當x＞e時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減。

二、解法分析

上述不嚴密的解答來源于考生的高考解答，且具有普遍性。試題1是極限思想在數(shù)的角度運用的例子。從閱卷情況看，幾乎所有考生在得到后，便認為c的最大值為事實上，由于m≠n，故不是c的最小值，正因為如此可得出但為什么能取到？這關(guān)乎數(shù)集的下確界的證明，涉及極限的理論知識 （“ε-δ”定義），雖然高中學生并不具備這樣的知識，但筆者認為學生應該具有用樸素的極限思想思考這一問題的能力。試題2是極限思想在形的角度運用的例子?？v觀整個解答過程，試問兩條漸近線方程是如何確定的呢？

當x→0+時，h（x）→-∞，表明直線x=0為函數(shù)h（x）的一條漸近線（垂直漸近線）。如果說這可以從定性的角度加以理解的話，那么當x→+∞時的情形則是一個沒有學過極限理論知識（“ε-δ”定義）的高中生無法逾越的鴻溝。

三、高中知識框架下的嚴格證明

試題1的證明可以采取“歸謬法”，古希臘人的“窮竭法”蘊含了極限思想，但由于對“無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于歸謬法來完成有關(guān)的證明，本題的證明思路正源于此，其完整過程如下：

于是，對滿足題設的m，n，k，m≠n，有Sm+Sn=

于是，只要9k2+4＜2ak2，即當

試題2的求解工具是“零點存在定理”，但其本質(zhì)是以極限理論知識（“ε-δ”定義）為基礎的，不過高中階段只需會用該定理解決有關(guān)問題，因此，運用“零點存在定理”解此題可以擺脫學生對極限理論知識的依賴，其求解過程如下：

g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，則a≤ex，故為所求。

②當a＜0時，由于f（ea）=a-aea=a（1-ea）＜0，f（1）=-a＞0，且函數(shù)f（x）在［ea，1］上的圖像不間斷，所以f（x）在（ea，1）上存在零點。

③當0＜a≤e-1時，令解得x=a-1。當0＜x≤a-1時，f′（x）＞0，當x＞a-1時，f′（x）＜0，所以x= a-1是f（x）的最大值點，且最大值為f（a-1）=-lna-1

（ⅰ）當-lna-1=0，即a=e-1時，f（x）有一個零點x=e。

（ⅱ）當-lna-1＞0，即0＜a＜e-1時，f（x）有兩個零點。

實際上，對于 0＜a＜e-1，由于f（e-1）=-1-ae-1＞0，f（a-1）＞0，且函數(shù)f（x）在［e-1，a-1］上的圖象不間斷，所以f（x）在（e-1，a-1）上存在零點。

另外，當x∈（0，a-1）時故f（x）在（0，a-1）上是單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）在（0，a-1）上只有一個零點。

下面考慮 f（x）在（a-1，+∞）上的情況?？疾斓姆?。

當0＜a＜e-1，即a-1＞e時＜0，又f（a-1）＞0，且函數(shù)f（x）在上的圖象不間斷，所以f（x）在（a-1，ea-1）上存在零點。

又當x＞a-1時-a＜0，故 f（x）在（a-1， +∞）上是單調(diào)減函數(shù)，所以f（x）在（a-1，+∞）上只有一個零點。

綜合①②③，當a≤0或a=e-1時，f（x）的零點個數(shù)為1，當0＜a＜e-1時，f（x）的零點個數(shù)為2。

四、兩點思考

首先，極限思想的建立是一個漸進的過程。就歷史發(fā)展的角度而言，極限思想的萌芽可以追溯到古代。在古希臘、中國和印度數(shù)學家的著作中，已不乏樸素的極限思想。如《莊子·天下篇》中的名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，劉徽的割圓術(shù)和古希臘的窮竭法等。17世紀英國物理學家牛頓與德國數(shù)學家萊布尼茲以無窮小概念為基礎創(chuàng)立了微積分，極限思想得到了進一步的發(fā)展。到18世紀極限思想得到初步的完善，法國數(shù)學家達朗貝爾等人先后對極限作出了各自的定義。19世紀法國數(shù)學家柯西比較完整地闡述了極限概念及其理論。由認知的歷史發(fā)生原理可知，學生頭腦中極限思想的建立應符合極限思想的歷史發(fā)展過程。

教科書在內(nèi)容的編排上也充分考慮了這一漸進過程，以蘇教版高中教材為例，必修一“閱讀”欄目中的含義”、必修二“問題與建?！睓谀恐小绑w積的近似計算”、“閱讀”欄目中的“祖暅原理”以及選修2-1正文中“雙曲線的漸近線的證明”等內(nèi)容均為學生極限思想的建立提供了良好的素材和合理的時機。

因此，筆者以為應切實加強數(shù)學閱讀教學，而且首先從閱讀教科書開始，蘇教版高中教材中設置了“閱讀”“鏈接”“思考”“數(shù)學探究”等欄目，這些欄目的內(nèi)容或有利于學生構(gòu)建完整的知識的結(jié)構(gòu)，或有利于擴展學生的數(shù)學視野、豐富學生的“智力背景”，或有利于參悟某種數(shù)學觀念。

其次，應當改進習題教學，立足于優(yōu)化學生思維。蘇霍姆林斯基說：學生在課堂上的腦力勞動修養(yǎng)乃是教師勞動修養(yǎng)的一面鏡子。以此類推，學生在答卷上的腦力勞動修養(yǎng)何嘗不是教師勞動修養(yǎng)的一面鏡子？

試題1和試題2的不嚴密解答大多選擇 “分離參數(shù)法”，這正是平時教學和練習中濫用“分離參數(shù)法”形成的思維定勢。因此，習題教學應著力提升學生分析問題的能力，注重通性通法，淡化技巧。

試題1和試題2的不嚴密解答說明學生對極限思想渾然不知，究其原因是教師在平時教學中缺乏高觀點的指導，缺乏極限思想的滲透，因此，習題教學應從數(shù)學知識的教學走向數(shù)學思想 （方法）的教學，甚至數(shù)學觀念的教學。

試題1和試題2的不嚴密解答表現(xiàn)出了 “千人一面”的現(xiàn)狀，究其原因是教師滿堂灌的結(jié)果，扼殺了學生的主動性和創(chuàng)造性，學生學會的僅僅是“依樣畫葫蘆”，臣服于教師的權(quán)威，缺乏質(zhì)疑的品質(zhì)。因此，習題教學需要留白，以提供學生“悟”的時間和空間，彰顯個人的特色與風采。

［1］華志遠.透視高考熱點，漫話極限思想［J］.高中數(shù)學教與學，2014（17）.

［2］張海強，史豪峰.圖像固直觀，推理更精采［J］.中學數(shù)學：高中版，2014（01）.

G633.6

A

1005-6009（2016）28-0039-03

1.張海強，江蘇省宜興中學（江蘇無錫，214200）教師，高級教師，江蘇省特級教師；2.孟盛，江蘇省宜興中學（江蘇無錫，214200）教師。