劉麗敏 向修棟

摘 要：矩陣作為線性代數(shù)最基本的數(shù)學(xué)工具，它貫穿線性代數(shù)的始終，為了進(jìn)一步探討線性代數(shù)理論結(jié)構(gòu)體系和豐富的實(shí)際應(yīng)用，該文通過(guò)實(shí)例介紹矩陣與線性方程組、行列式、向量組、二次型等線性代數(shù)主要內(nèi)容的密切聯(lián)系，從而揭示矩陣在線性代數(shù)課程中的重要地位，并且還從現(xiàn)實(shí)出發(fā)，讓抽象的理論與方法變得更貼近實(shí)際，提高理論的應(yīng)用性和趣味性，使得理論不再枯燥，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

關(guān)鍵詞：矩陣 線性代數(shù) 線性方程組

中圖分類號(hào)：O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）02（b）-0157-04

矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具?！熬仃嚒边@個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ)[1]。在《線性代數(shù)》這門課程中，行列式、向量組及向量空間、線性變換、線性方程組、特征值和特征向量、二次型等的研究都是以矩陣為依托的[2-3]。

1 矩陣與線性方程組

求解線性方程組或許是數(shù)學(xué)問(wèn)題中最重要的問(wèn)題。超過(guò)75%的科學(xué)研究和工程應(yīng)用中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在某個(gè)階段都涉及求解線性方程組。利用新的數(shù)學(xué)方法，通?？梢詫⑤^為復(fù)雜的問(wèn)題化為線性方程組。線性方程組廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)、工程學(xué)以及物理學(xué)等領(lǐng)域。因此，掌握解線性方程組的方法至關(guān)重要。為了進(jìn)一步將理論與實(shí)踐結(jié)合起來(lái)，提高學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，再引入方程組解法時(shí)，用以下實(shí)例：

例1：如圖1所示，給出了某城市單行線圖，其中的數(shù)字表示該路段每小時(shí)按箭頭方向行駛的車流量，流量單位為：輛。問(wèn)：圖1中的4個(gè)未知量都需要統(tǒng)計(jì)嗎？[4]

解：假設(shè)每個(gè)交叉路口進(jìn)入和離開(kāi)的車輛數(shù)目一樣，則根據(jù)圖1，在①，②，③，④4個(gè)路口進(jìn)出車輛數(shù)目分別滿足：

由圖1可知，給出線性方程組：

從上式，可以看到均與有關(guān)系，一旦確定，將隨之確定，所以，只需統(tǒng)計(jì)。同理，亦可將中的一個(gè)看作自由未知量，其余變量隨之確定。故在4個(gè)未知量中，只需統(tǒng)計(jì)其中一個(gè)。在線性代數(shù)的講授過(guò)程中，適當(dāng)引入實(shí)例，能引發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，更好地掌握相關(guān)的概念及理論。

為了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步熟悉求解線性方程組，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，引入矩陣和初等變換。在上述用消元法解線性方程組的過(guò)程中，只有方程組的系數(shù)和常數(shù)參與運(yùn)算，而未知數(shù)并未參與運(yùn)算。方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)構(gòu)成其增廣矩陣：

對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣，也可以達(dá)到解線性方程組的效果。且消元法解線性方程組，過(guò)程散亂且冗長(zhǎng)。而通過(guò)矩陣這一工具，使得整個(gè)解題過(guò)程變得整齊有序、一目了然，且不需要重復(fù)書(shū)寫(xiě)不參加運(yùn)算的未知數(shù)，節(jié)省運(yùn)算時(shí)間。

對(duì)于求解線性方程組，還需要考慮幾個(gè)問(wèn)題，就是非齊次線性方程組在什么時(shí)候無(wú)解？在什么時(shí)候有解？有解時(shí)，又有多少解？齊次線性方程組在什么時(shí)候只有零解？在什么時(shí)候有非零解，又有多少非零解？這些問(wèn)題，統(tǒng)統(tǒng)可以用矩陣來(lái)解決。

對(duì)非齊次線性方程組來(lái)說(shuō)，首先寫(xiě)出它所對(duì)應(yīng)的增廣矩陣?，然后對(duì)其進(jìn)行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣。這時(shí)，可以比較增廣矩陣?的秩r（?）和系數(shù)矩陣A的秩r（A）之間的關(guān)系。若r（?）>r（A），則非齊次線性方程組無(wú)解；若r（?）=r（A），則非齊次線性方程組有解；進(jìn)一步判斷，不妨設(shè)非齊次線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)為，若r（?）=r（A）=n，則非齊次線性方程組有唯一解；若r（?）=r（A）

對(duì)齊次線性方程組來(lái)說(shuō)，它始終有零解。首先寫(xiě)出它所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣A，不妨設(shè)齊次線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)為，若r（A）=n，則非齊次線性方程組有唯一零解；若r（A）

這樣，求解線性方程組就可以完全借助于矩陣這一工具來(lái)進(jìn)行了。通過(guò)上面的實(shí)例，一方面對(duì)于矩陣求解線性方程組的來(lái)龍去脈有了深刻的了解；另一方面實(shí)例的引入更加說(shuō)明矩陣應(yīng)用的廣泛性，使得方法不再枯燥，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣和積極性。

2 矩陣與行列式

方陣的可以計(jì)算其行列式，從這個(gè)角度講，行列式的概念實(shí)際是矩陣的概念的推廣。而由伴隨矩陣法，方陣的逆矩陣?？梢?jiàn)，矩陣的定義也是離不開(kāi)行列式的。另外，在隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)也常常用到行列式。

行列式的概念是伴隨著線性方程組的求解而發(fā)展起來(lái)的。當(dāng)線性方程組的方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等時(shí)，其系數(shù)矩陣是一個(gè)方陣，根據(jù)方陣的行列式的定義，可以求出其對(duì)應(yīng)的行列式。當(dāng)行列式不等于0時(shí)，應(yīng)用克拉默法則即可求出線性方程組的解。而在二次型標(biāo)準(zhǔn)化的過(guò)程中，特征值和特征向量的求解，本質(zhì)上就是行列式及線性方程組的求解，因而與矩陣關(guān)系密切。

3 矩陣與向量

事實(shí)上，向量是矩陣的一種特殊形式，維行向量可以看成行矩陣，維列向量可以看成列矩陣。顯然，維行向量的相等和加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算的定義，與把它看作行矩陣時(shí)的相應(yīng)運(yùn)算的定義是一致的。同理，也可以定義列向量的相等和加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算，這與把它看成列矩陣時(shí)的相應(yīng)運(yùn)算的定義是一致的。

矩陣與其列向量組或行向量組之間是一一對(duì)應(yīng)的，故向量組之間的關(guān)系可以借助矩陣來(lái)研究。

例3：現(xiàn)有兩種原料都是由A、B、C、D4種成分混合而成，這兩種原料4種成分的配比分別為2∶3∶1∶1和1∶2∶1∶2?，F(xiàn)在需要一種新型材料，其中4種成分的比例為4∶7∶3∶5，問(wèn)新型材料能否由原有兩種的材料按一定比例配制而成？

解：若記，把向量組作為列向量組成矩陣，利用初等行變換將化為行最簡(jiǎn)形矩陣：

易得，且.所以只要兩種原料按份量的配比混合就能得到新型材料。

例3的本質(zhì)問(wèn)題就是判斷新型材料的4種成分對(duì)應(yīng)的向量與兩種原料4種成分分別對(duì)應(yīng)的向量所成的向量組的線性相關(guān)性，找出其中一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。解決此類問(wèn)題，有兩種方法：一種是根據(jù)極大線性無(wú)關(guān)組的定義；另一種就是初等變換法，即例題中所用方法。按定義尋找給定向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，是用嘗試法把屬于極大線性無(wú)關(guān)組的向量留下，把不屬于極大線性無(wú)關(guān)組的向量逐個(gè)排除。這個(gè)過(guò)程比較抽象，如果給定的向量組中向量個(gè)數(shù)較少的話，可以采用此方法，但是給定的向量組中向量個(gè)數(shù)較多的話，這種方法就比較麻煩了。而且此種方法并不能一步到位，只是找出極大線性無(wú)關(guān)組，要把其余向量用此極大線性無(wú)關(guān)組線性表示還需額外計(jì)算。而采用初等變換法，在例題中恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用矩陣，即可使得問(wèn)題變得具體化、簡(jiǎn)單化。只需要把給定的向量組按列構(gòu)成矩陣，對(duì)此矩陣進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，觀察行最簡(jiǎn)形矩陣，首非零元所在列對(duì)應(yīng)的向量構(gòu)成的部分組就是原向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且不屬于極大線性無(wú)關(guān)組的其余向量與極大線性無(wú)關(guān)組的線性關(guān)系也一目了然。

向量空間作為線性代數(shù)中一個(gè)較為抽象的概念，可以把它看作一個(gè)很大的向量組，它的基就相當(dāng)于向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，它的維數(shù)就相當(dāng)于向量組的秩。

4 矩陣與二次型

二次型理論擁有很明顯的幾何意義，盡管二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一，但由慣性定理知：標(biāo)準(zhǔn)形中所含正負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)是唯一的，因而其二次型所表示的圖形所屬類型也是固定的。任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣，利用這個(gè)對(duì)稱矩陣就可以將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形。

例4：設(shè)二次型

，則在空間直角坐標(biāo)下表示的二次曲面為雙葉雙曲面。（2016年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題）

二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，于是表示曲面，是雙葉雙曲面。

解法二：初等變換法。

在例4中，線性代數(shù)的知識(shí)同高等數(shù)學(xué)中的空間解析幾何聯(lián)系在一起，用代數(shù)的方法去解決幾何問(wèn)題。法一所用配方法在線性代數(shù)課程里面屬于一種新的方法，學(xué)生需要重新理解，重新掌握，這給他們帶來(lái)一定的困擾，且在用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程中，如果未知量較多，使用此方法會(huì)讓過(guò)程變得更復(fù)雜。而借助于矩陣這一工具，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程就簡(jiǎn)單多了，且此種方法貫穿于線性代數(shù)中，是學(xué)生用的較多且較熟練的一種方法，掌握起來(lái)也簡(jiǎn)單的多。

線性代數(shù)理論與實(shí)例的完美結(jié)合，不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且拓展了學(xué)生的視野，提高了學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。矩陣作為線性代數(shù)知識(shí)架構(gòu)與實(shí)際應(yīng)用的關(guān)鍵，貫穿于整個(gè)線性代數(shù)課程的始終，是學(xué)生開(kāi)啟線性代數(shù)學(xué)習(xí)的鑰匙。只要掌握好矩陣的相關(guān)概念和性質(zhì)，并將其與線性方程組、向量、二次型等部分聯(lián)系起來(lái)，形成一個(gè)完整的體系，線性代數(shù)的學(xué)習(xí)就簡(jiǎn)單多了。

參考文獻(xiàn)

[1]Howard Anton，Chris Rorres.Elementary Linear Algebra-Applications[M].John Wiley&Sons，Inc.2010.

[2]David C Lay.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].3版.劉深泉，洪毅，馬東魁，等，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

[3]戴斌祥.線性代數(shù)[M].2版.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2014.

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