摘要：根據(jù)"立竿見影"現(xiàn)象及竿影日照圖的原理，分析影子的形成原理和影子隨時間的變化規(guī)律， 根據(jù)地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)原理、三角定律、幾何原理建立了影子長度與桿長、地理經(jīng)度、地理緯度、日期和時間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)直桿影子的長度變化規(guī)律，通過Matlab編程，運用參數(shù)估、擬合等方法來推斷直桿所在的地理經(jīng)緯度。

關(guān)鍵詞：影長 參數(shù)估計 指定函數(shù)擬合 matlab

1 "立竿見影"現(xiàn)象

一根直立的竿，其影子的位置在一天中隨太陽的位置不斷變化。假設(shè)某天某時刻的太陽位置如圖1所示，立于地面上的竿高為H，太陽光線通過竿頂P點，在地面上形成一個影子點P′，影子的長度OP′為L，單位為米。定義太陽光線與地面的夾角∠PP′O=β，則其數(shù)學(xué)關(guān)系式為：

=cotβ

上式中β為太陽高度角。

2 直桿影子長度的影響因素分析

根據(jù)現(xiàn)有的天文學(xué)知識可得如下的影子長度影響因素層次分析圖：

太陽的高度角計算：

3 運用參數(shù)估計求出直桿所在地的經(jīng)緯度

有（9）式可知，若已知桿長H，太陽赤緯 ，緯度 ，經(jīng)度J，則影長L與北京時間T 具有確定的函數(shù)關(guān)系。而地理的經(jīng)緯度是未知的，我們將其認定為該函數(shù)的未知參數(shù)，可以利用 MATLAB 中的 fittype 函數(shù)對北京時間 T 與影子長度 L 進行指定函數(shù)擬合，得出參數(shù)數(shù)值，即解得直桿的地理緯度 ，經(jīng)度 J。

4 計算算例

以2015年高教杯數(shù)學(xué)建模A題中的數(shù)據(jù)為例。

說明：坐標系以直桿底端為原點，水平地面為xy平面。直桿垂直于地面。測量日期：2015年4月18日。

將時間換成以小時為單位以及將x、y坐標換算成影子長度H，如下表。

由4月18日得到積日為108天，年份為2015年，帶入（2）、（3）、（4）、（5）中可得到太陽赤緯為10.6305°。

運用MATLAB，編寫程序利用fittype函數(shù)編寫代碼，對北京時間與影子長度進行指定函數(shù)擬合，得到參數(shù)數(shù)值，本題中桿長未知，所以也將其作為一個位置參數(shù)，運行代碼，在95%置信區(qū)間，得到以下結(jié)果：

桿長 H = 2.034 （2.029， 2.038）

經(jīng)度 J= 108.7 （108.6， 108.8）

緯度u = 19.29 （19.23， 19.34）

答案中經(jīng)緯度為（109.5°E， 18.3°N），與通過計算的經(jīng)緯度誤差在1°左右，可以認為該結(jié)論可信，而且本題中并沒有告訴直桿的長度，多了一個未知參數(shù)，若已知桿的長度，誤差會縮小，所以可認為本模型合理。

5 結(jié)束語

該模型建立了桿的影長與五個因素（經(jīng)度、緯度、日期、時間、桿長）函數(shù)關(guān)系表達式，時間為自變量，其它因素為參數(shù)，利用參數(shù)估計可求解出直桿的經(jīng)緯度。模型簡單準確，但是任有許多不足和可以改進的方向，例如：忽略了大氣折光的影響，以及平太陽時和真太陽時之間的差別等。對于這些因素造成的誤差還需要進一步研究。

參考文獻：

[1] 鄭鵬飛，林大鈞，劉小羊，吳志庭，基于影子軌跡線反求采光效果的技術(shù)研究，華東理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），第36卷第3期，文章編號：1006-3080（2010）03-0458-06，2010.03：458-463

[2] 汪和平，影子與季節(jié)、緯度的關(guān)系，中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2008年第9期

[3] 張文華，司德亮，徐淑通，祁東婷，太陽影子倍率的計算方法及其對光伏陣列布局的影響[J]，技術(shù)與產(chǎn)品，2011.9：28-30

作者簡介：鄒宇雄 （-），男，漢族，湖北仙桃人，學(xué)生，鄭州大學(xué) ，水利水電工程 。