摘 要：利用三角形網(wǎng)格均勻面積參數(shù)化的思想，提出了有理參數(shù)曲面上曲面片的最優(yōu)參數(shù)化評判標準。根據(jù)構(gòu)造具有幾何意義的二次代數(shù)曲面有理參數(shù)化方法，確定了二次代數(shù)曲面上指定曲面片的最優(yōu)或逼近最優(yōu)的有理參數(shù)化方程。最后通過實例對該方法與傳統(tǒng)方法得到的參數(shù)化結(jié)果進行了對比。

關(guān)鍵詞：代數(shù)曲面；參數(shù)曲面；均勻面積參數(shù)化；最優(yōu)參數(shù)化

引言

曲面表示形式主要有參數(shù)曲面和代數(shù)曲面兩種，它們各有其內(nèi)在的優(yōu)點，能否將兩種形式的曲面進行有效的轉(zhuǎn)換，一直是CAGD的重要研究課題之一[1-3]。從數(shù)學(xué)意義上講，二次代數(shù)曲面的有理參數(shù)化問題已完全解決了，但還遠不能滿足工程制造、醫(yī)學(xué)研究等領(lǐng)域?qū)嶋H應(yīng)用的需求。

目前，傳統(tǒng)的代數(shù)曲面參數(shù)化算法有很好的顯示效果，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度的變化構(gòu)造的曲面圖形具有很好的視覺性和美觀性。但是很難做到在參數(shù)均勻選取時，能有均勻的參數(shù)化效果。三角形網(wǎng)格曲面參數(shù)化[4-5]一直是曲面造型領(lǐng)域的熱點問題，但通過三角網(wǎng)格對曲面進行參數(shù)化，它只是對物體形狀的逼近，且需要通過3D掃描技術(shù)獲得曲面表面的所有網(wǎng)格點的幾何信息，然后通過拓撲重建得到三角網(wǎng)格的參數(shù)化。這種方法的缺點是需要采集曲面上的所有點并存儲到計算機內(nèi)，并且這種參數(shù)化得到的網(wǎng)格也不是均勻的。

文章利用三角形網(wǎng)格均勻面積參數(shù)化的思想，提出了衡量有理參數(shù)曲面上曲面片的最優(yōu)參數(shù)化評判標準。提出了具有幾何意義的二次代數(shù)曲面有理參數(shù)化的構(gòu)造方法，且通過該方法，得到了二次代數(shù)曲面上任意曲面片的最優(yōu)或逼近最優(yōu)的有理參數(shù)化方程。大量實例表明，文章方法計算量小，效率高，效果好。

1 問題描述

設(shè)f（x，y，z）是關(guān)于x，y，z的三元二次多項式，方程f（x，y，z）=0定義了一個二次代數(shù)曲面C。S是曲面C上的三角形曲面片，其三個角點為Vi，j，k，平面Hi，j，k分別經(jīng)過角點Vj和Vk，Vi和Vk，Vj和Vi，邊界線Li，j，k是平面Hi，j，k與二次曲面C的交線，三個角點Vi，j，k所在平面為H，i，j，k=1，2，3，且互不相同。如圖1所示。

事實上，在確定三角曲面片S的三個角點的參數(shù)為（0，0），（0，1），（1，0）后， 當M點遍歷C-S時，就得到了對應(yīng)于S的所有二次有理參數(shù)方程。因此，上述參數(shù)化方法實際上確定了S的二次有理參數(shù)方程的幾何意義。特別，當平面H1，H2，H3的交點恰好在曲面C上，并將其取為M時，曲面片S所對應(yīng)的參數(shù)范圍為以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的直角三角形；當平面H1，H2，H3的交點在曲面C外，此時，曲面片S所對應(yīng)的參數(shù)域曲邊三角形是只有一邊為曲邊的曲邊三角形。

4 最優(yōu)參數(shù)化

根據(jù)上節(jié)二次代數(shù)曲面有理參數(shù)方程的構(gòu)造方法，若要得到曲面S的最優(yōu)有理參數(shù)化方程，只需找到點M，使其對應(yīng)的？祝（P（u，v））最小。首先找出曲面片S上的三條關(guān)鍵曲線，利用文獻[6]和文章代數(shù)曲線的參數(shù)化算法，得到最優(yōu)時對應(yīng)的點Mi（i=1，2，3）；然后利用Mi構(gòu)造曲面片S的最優(yōu)參數(shù)化方程?；静襟E如下：

（1）記平面Hi，j，k兩兩相交的交線分別為gij，gjk，gik，Vi，j，k兩兩相連的中點分別為Vij，Vjk，Vik，則過gij和Vij，gik和Vjk，gik和Vik的平面為Ei，j，k，稱Ei，j，k與S的交線di，j，k為曲面片S的三條關(guān)鍵曲線。求交線di，j，k的最優(yōu)有理參數(shù)化方程，找到對應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)化點Mi，j，k，其中i，j，k=1，2，3且互不相同。（2）記點Mi，j，k所構(gòu)成的三角形的重心為Q0，記角點Vi，j，k所構(gòu)成的三角形的重心記為V0，連接V0Q0，與曲面C交于兩點，則在曲面C-S上的一點即為曲面片S的最優(yōu)參數(shù)化點M。（3）將M帶入公式（1）（2）（3），得到的就是曲面片S的最優(yōu)參數(shù)化方程。

5 實例分析

6 結(jié)束語

文章提出了衡量空間代數(shù)曲面最優(yōu)有理參數(shù)化的評判標準。理論上，最優(yōu)有理參數(shù)化方程可求，但是計算量非常大。文章根據(jù)二次代數(shù)曲面有理參數(shù)方程的幾何意義，構(gòu)造出了二次代數(shù)曲面上任一三角曲面片的十分接近于最優(yōu)的有理參數(shù)化方程，所用計算量小，效率高。但由于曲面本身的性質(zhì)決定，其參數(shù)域范圍是一個由三條二次曲線組成曲邊三角形，在使用時會帶來不便。因此，在實際應(yīng)用中，可以選擇用平面Hi，j，k與曲面的交點所對應(yīng)的參數(shù)域（只有一邊為曲邊的曲邊三角形），來尋找最優(yōu)。

參考文獻

[1]孟祥旭，徐延寧.參數(shù)化設(shè)計研究[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)報，2002（11）：1086-1090.

[2]白曉亮，張樹生，劉軍.基于網(wǎng)格簡化的參數(shù)化方法[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2004，16（12）：1743-1749.

[3]王相海.一類三次隱式代數(shù)曲面參數(shù)化研究[J].計算機研究與發(fā)展，2003，40（6）：821-824.

[4]厲玉蓉，張彩明.三角網(wǎng)格上的代數(shù)曲面重建[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)報，2007，19（4）：460-463.

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[6]厲玉蓉，胡芳剛.平面二次代數(shù)曲線的最優(yōu)參數(shù)化[J].圖學(xué)學(xué)報，2012，33（2）：49-52.

作者簡介：侯倩（1988-），女，碩士，主要研究方向為計算機圖形學(xué)。