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        一分思考,一分收獲

        2016-05-14 13:56:13周軍高

        周軍高

        問題:一輛自行車在一條平直的公路上行駛,公路各處的路況均相同?,F(xiàn)有一種輪胎,若將其安裝在這輛自行車的前輪處,則行駛5000 km后報(bào)廢;若將其安裝在這輛自行車的后輪處,則行駛3 000 km后報(bào)廢。如果自行車安裝一對(duì)新的這種輪胎,行駛一定路程后,我們將前后輪胎交換位置。使這對(duì)輪胎能同時(shí)報(bào)廢,那么這輛自行車最多能行駛多遠(yuǎn)?

        分析:對(duì)于這個(gè)問題,要想直接分析出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系并不容易,不妨設(shè)出未知數(shù)。借助式子分析相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,并列出方程進(jìn)行求解。

        所以這輛自行車最多能行駛1875+1875=3750(km)。

        思考1:前面列方程的依據(jù)是每個(gè)輪胎的剩余量除以其單位路程內(nèi)的磨損量得到的路程相等,這是本題中隱含的一個(gè)相等關(guān)系,也是解決問題的關(guān)鍵。細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)。在前面的結(jié)論中,自行車在換胎前后行駛的路程相等(都是1875 km),這是巧合,還是隱含的內(nèi)在規(guī)律呢?帶著疑問,我們探索如下。

        由此可知,兩個(gè)輪胎同時(shí)報(bào)廢的話,自行車在換胎前后行駛的路程相等。這不是巧合。而是隱含的內(nèi)在規(guī)律!有了這個(gè)內(nèi)在規(guī)律,解答此題就容易多了。

        新解法1:得到自行車在換胎前后行駛的路程相等這一結(jié)論的過程從略。

        設(shè)自行車行駛x km后交換前后輪胎的位置。則又行駛x km后兩個(gè)輪胎同時(shí)報(bào)廢。

        新解法2:設(shè)換胎前后自行車行駛的路程分別為x km、y km。

        所以這輛自行車最多能行駛3 750 km。

        思考3:再觀察新解法2的方程組中未知數(shù)的系數(shù),不難發(fā)現(xiàn),我們不需要解方程組,只要將兩個(gè)方程相加就可以求解問題。

        新解法3:設(shè)元、構(gòu)造方程組的過程同上。

        將方程組中的兩個(gè)方程相加。得

        所以這輛自行車最多能行駛3 750 km。

        思考5:以上幾種解法都是基于設(shè)每個(gè)輪胎的磨損總量為單位1,這樣設(shè)起來簡(jiǎn)單,但計(jì)算時(shí)稍顯煩瑣(因?yàn)橛休^大的分母),能否換一種方法,使得計(jì)算較為簡(jiǎn)便呢?

        新解法5:設(shè)每個(gè)輪胎的磨損總量為15 000k(因?yàn)? 000和3 000的最小公倍數(shù)是15 000),則自行車每行駛1 km,前輪、后輪處輪胎的磨損量分別為3k、5k。再設(shè)換胎前后自行車行駛的路程分別為x km、y km。

        所以這輛自行車最多能行駛3750km。

        思考6:隨著研究的深入,問題中隱含的規(guī)律愈加明顯,所發(fā)現(xiàn)的新解法也越來越多。越來越巧妙。再看新解法5的方程組中的3、5、8、15 000,突然有一種靈感,又得到一種新解法。

        新解法6:如果準(zhǔn)備8個(gè)(4對(duì))新輪胎。不管是在前輪處還是在后輪處,每個(gè)輪胎只要報(bào)廢了就換新的,那么,前輪處共報(bào)廢3個(gè)新輪胎,行駛的最遠(yuǎn)路程為15 000 km,后輪處共報(bào)廢5個(gè)新輪胎,行駛的最遠(yuǎn)路程為15 000 km。從而可知。4對(duì)新輪胎最多能行駛15 000 km,這樣,一對(duì)新輪胎最多能行駛15 000÷4=3 750(km)。

        下面針對(duì)這類問題給出一般結(jié)論:一輛自行車在一條平直的公路上行駛,公路各處的路況均相同。現(xiàn)有一種輪胎,若將其安裝在這輛自行車的前輪處,則行駛akm后報(bào)廢;若將其安裝在這輛自行車的后輪處,則行駛6 km后報(bào)廢。如果自行車安裝一對(duì)新的這種輪胎,行駛一定路程后,我們將前后輪胎交換位置,使這對(duì)輪胎能同時(shí)報(bào)廢,那么這輛自行車最多能行駛2ab/a+bkm。這個(gè)結(jié)論我們似乎見過,請(qǐng)同學(xué)們做一做下面的練習(xí)題,相信大家一定會(huì)有所感悟!

        1.一輛汽車先從甲地到乙地,再沿原路返回。若汽車從甲地到乙地的速度為akm/h。返回時(shí)的速度為6 km/h。則汽車往返甲、乙兩地的平均速度是多少?

        2.小明從火車站回家。前一半時(shí)間乘公共汽車,后一半時(shí)間步行,已知乘公共汽車行完全程需要ah,步行走完全程需要6 h,那么小明從火車站到家需要用多長(zhǎng)時(shí)間?

        3.有一項(xiàng)工作,甲單獨(dú)做需要口天完成。乙單獨(dú)做需要6天完成?,F(xiàn)在要求前一半時(shí)間由甲單獨(dú)做,后一半時(shí)間由乙單獨(dú)做,則完成這項(xiàng)工作需要多少天?

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