宋 揚

(江蘇省揚州市田家炳實驗中學(xué) 225000)

有許多不等式，本身并不是一元一次的，但往往都可以化為一元一次不等式(組)來求解. 諸如二次不等式、分式不等式、絕對值不等式，等等.另一方面，不等式(組)與數(shù)學(xué)其他知識點的綜合運用也隨處可見. 解決問題的總體對策是實施轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的理論根據(jù)，使之在變形過程中保持同解性不變.

一、用于解二次不等式

類型對策：通常先將不等式右邊化為0，左邊分解為兩個一次因式的乘積，然后逆向使用兩實數(shù)相乘的符號法則，把二次不等式轉(zhuǎn)化為兩個一次不等式組，分別求解后，再綜合起來．

注:(1)上述方法的適用范圍：不等式化為一般形式后，左邊的二次式有兩個實根的情形.對于沒有實根的情形，可作適當(dāng)處理，以確定其解的情況(或為無解，或解為一切實數(shù)).

(2)解一元二次不等式，通用方法是圖象法(借助二次函數(shù)的圖象求解).

例1 解不等式x2+2x<15.

解移項、分解因式得(x-3)(x+5)<0，于是有

由不等式組①得 無解；由不等式組②得 -5

所以原不等式的解集為 -5

要點指導(dǎo)：(1)本題逆用兩實數(shù)相乘的符號法則具體是指：兩數(shù)相乘若得負(fù)，則兩數(shù)異號. 顯然，其中包括兩種情況.

(2)例1解題完成后，可將不等式中的“<”,依次改為“≤”、“>”、“≥”，分別看一看各自的求解過程和結(jié)果，以能掌握這部分內(nèi)容的全面情況.

二、用于解分式不等式

類型對策1：通常先將不等式右邊化為0，左邊化為一個分式(這里是指兩個一次式相除的形式)，然后逆用兩實數(shù)相除的符號法則，把分式不等式轉(zhuǎn)化為兩個一次不等式組，分別求解后，再綜合起來.

注:與前述解二次不等式的理論依據(jù)、方法相一致，有異曲同工之妙！想一想，相同點和不同點各有哪些？

類型對策2：若分式不等式的右邊是一個常數(shù)，左邊是一個分式，可直接對左邊的分母按正、負(fù)兩種情況分類討論，把分式不等式轉(zhuǎn)化為兩個(一次)不等式組，分別求解后，再綜合起來.

所以原不等式的解集為x>3或x<-5.

要點指導(dǎo)：(1)本題逆用相除的符號法則是指：兩數(shù)相除,若得正，則兩數(shù)同號；若得負(fù)，則兩數(shù)異號.

(2)將本題與例1的求解過程和結(jié)果相對照(按“>”、“<”、“≥”、“≤”分別對照)，有什么發(fā)現(xiàn)？對這部分內(nèi)容，可做個總結(jié)，以能總攬全局.

解法2 對原不等式分兩種情況討論，再加以綜合.

綜上可知，原不等式的解集為x>3或x<-5.

要點指導(dǎo)：特別要注意，此題切切不可直接將原不等式兩邊同乘(x+5).想一想，為什么？

三、用于解絕對值不等式

類型對策1：關(guān)鍵是怎樣化去絕對值符號．通用方法是分類討論．其一般步驟是：以各絕對值(內(nèi))的零點為分界點，把變量的取值依次分段，然后逐段求解，最后加以綜合.逐段求解時，都是依據(jù)絕對值的基本性質(zhì)：當(dāng)a≥0時，|a|=a；當(dāng)a<0時，|a|=-a. 先正確寫出去掉絕對值符號后的式子(這里指一次不等式)，然后求解.

類型對策2：對于只有一個絕對值符號的不等式，可根據(jù)絕對值的定義(即絕對值的幾何意義)，直接寫出去掉絕對值符號后的式子，繼而求解.

使用這種方法的主要情形有兩種：設(shè)f(x)是代數(shù)式，a是一個正實數(shù).

(1)若|f(x)|a，則f(x)>a或f(x)<-a.

類型對策3：作同解變形. 比如，滿足一定條件時，可將不等式兩邊同時平方，注意到|f(x)|2=[f(x)]2.

解法1 先分兩種情況各自求解，再綜合.

要點指導(dǎo)：依據(jù)絕對值的定義分類討論，然后綜合.

要點指導(dǎo)：(1)依據(jù)絕對值的幾何意義化去絕對值符號；(2)這種連寫的不等式，實質(zhì)上也是不等式組，只是書寫形式不同而已；(3)直接解連寫的不等式容易出錯. 要同時考慮“三邊”(或“多邊”)，而不是兩邊. 為了避免差錯，對稍復(fù)雜的連寫不等式，還是轉(zhuǎn)換成不等式組的形式后再求解為宜.

四、與方程(組)的綜合運用

類型對策：多用于帶參數(shù)的方程(組)求滿足某種特定條件的解(解集)，或以此來確定參數(shù)的取值(或范圍). 通常先把參數(shù)看成常數(shù)，求出方程(組)的解，然后根據(jù)限制條件列出相應(yīng)的關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，并求其解集，得到參數(shù)的取值(或范圍). 若題中還有其他求解目標(biāo)，則根據(jù)條件繼續(xù)求解.

例4 當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時，方程組

由(*)式又可知，當(dāng)且僅當(dāng)k取整數(shù)時，原方程組有整數(shù)解.故當(dāng)k=2,3,4時，原方程組有正整數(shù)解.

五、與函數(shù)的綜合運用

類型對策：常用于求函數(shù)的最值等相關(guān)問題. 關(guān)鍵是列出關(guān)于自變量的不等式(組)，然后求其解集，就是相應(yīng)函數(shù)的定義域. 隨之，問題便迎刃而解.

例5 非負(fù)實數(shù)a、b、c滿足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1.設(shè)y=3a+b-7c，求y的最大值與最小值之和.

要點指導(dǎo)：本題的a、b、c具有同等地位，其中任一個都可選作自變量.

六、與幾何問題的綜合運用

類型對策：關(guān)鍵在于針對需要求解的問題，列出合適的不等式(組). 除了根據(jù)給出的已知條件(顯性條件)，還常常用到相關(guān)幾何圖形本身的基本概念(定義)和性質(zhì). 隱含條件的使用，也往往具有選擇性.

例6 一個三角形的三邊長分別為xcm，(x+3)cm，(x+6)cm，它的周長不超過30cm，求x的取值范圍.

要點指導(dǎo)：隱含條件當(dāng)用則用，不可或缺. 本題的隱含條件是三角形任意兩邊之和大于第三邊，應(yīng)選擇兩小邊之和大于第三邊.