趙國防??

“探索規(guī)律”，作為新課程進(jìn)一步強(qiáng)化和突出的重要內(nèi)容，越來越受到廣大教師的普遍關(guān)注。加強(qiáng)和重視“探索規(guī)律”的教學(xué)，不僅可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，優(yōu)化學(xué)習(xí)方式，而且對于加深他們對數(shù)學(xué)知識的理解與認(rèn)識，促進(jìn)思維能力逐步提升等方面均有著重要而積極的作用?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）對第二學(xué)段“探索規(guī)律”內(nèi)容的要求是“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化的趨勢”。面對“隱含的規(guī)律”和“變化的趨勢”，一線教師常常很難把握“規(guī)律教學(xué)”的“要義”和“火候”，要么蜻蜓點(diǎn)水，讓規(guī)律“走過場”，要么過分強(qiáng)調(diào)，讓規(guī)律“陷僵局”。

臺(tái)灣著名數(shù)學(xué)教師林心怡執(zhí)教的《釘子板上的多邊形》一課，簡約深刻，自由開放，妙趣橫生，以一種新的視角為我們精巧破譯了“探索規(guī)律”教學(xué)的行進(jìn)“密碼”，令人回味無窮。

一、重視過程：讓“規(guī)律”探索自然行進(jìn)

“探索規(guī)律”的教學(xué)，自然是以“規(guī)律”探索的過程為基本立足點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)。精心設(shè)計(jì)探索活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生在具體情境中充分經(jīng)歷規(guī)律的探索與發(fā)現(xiàn)過程，無疑便成為“探索規(guī)律”的關(guān)鍵性一步。

1.整體感知，猜測規(guī)律

“規(guī)律”的得來，離不開對大量、豐富素材與數(shù)據(jù)的分析與研究。課始，林老師簡要揭示了“周點(diǎn)”“面積”“內(nèi)點(diǎn)”之后，便以周點(diǎn)為8，面積為4，內(nèi)點(diǎn)為1的長方形為例，進(jìn)行了巧妙變化——“如果面積改變，內(nèi)點(diǎn)、周點(diǎn)的數(shù)量會(huì)不會(huì)改變？”“如果面積變回4，內(nèi)點(diǎn)、周點(diǎn)會(huì)變回來嗎？”一邊追問，一邊結(jié)合著釘子板上直觀的圖形及對應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比、觀察、分析。這一過程，我認(rèn)為用意有三：一是讓學(xué)生整體感知“內(nèi)點(diǎn)”“周點(diǎn)”和“面積”三個(gè)變量之間的緊密關(guān)系，為接下來的深入探索提供了思維模型；二是讓學(xué)生感受到所要研究問題的復(fù)雜性，為接下來的分類研究創(chuàng)造機(jī)會(huì)；三是喚起探究欲望，激發(fā)探究興趣。

2.分步研究，探索規(guī)律

面對復(fù)雜的問題，既要有整體思想，全面認(rèn)識，更要有分步研究、層層深入的意識和能力。林老師讓學(xué)生感受到了問題研究的復(fù)雜性之后，便巧妙破解難題，分步推進(jìn)。“我們先來討論周點(diǎn)改變，會(huì)不會(huì)影響面積？”引導(dǎo)學(xué)生圍繞內(nèi)點(diǎn)為1，探討周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系。此過程，學(xué)生四人為一組，每組至少在練習(xí)紙上畫了三個(gè)多邊形，并進(jìn)行了數(shù)據(jù)記錄和分析，各個(gè)小組均順利得到了：S=n÷2。然后，教師進(jìn)一步提出新的問題：“如果內(nèi)點(diǎn)為2，它們又會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？”學(xué)生又以兩人為一小組進(jìn)行了探究。整個(gè)探究過程，教師高度放手，從研究素材的生成，到研究數(shù)據(jù)的觀察與分析，再到研究結(jié)論的總結(jié)與表達(dá)，全部由學(xué)生來獨(dú)立完成，科學(xué)有序，民主高效。

3.及時(shí)對比，總結(jié)規(guī)律

規(guī)律探索，離不開對大量素材和數(shù)據(jù)的研究與分析。在研究與分析的過程中，有一重要的方法，那便是對比。通過對比，便于尋找異同，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，深刻認(rèn)識。在林老師的課上，她多次引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)和得到的結(jié)論進(jìn)行對比分析，不斷將規(guī)律認(rèn)識引向深入。特別是每組匯報(bào)時(shí)，林老師都在黑板上記錄下他們總結(jié)的關(guān)系式，無形間既默默強(qiáng)化了規(guī)律，又讓學(xué)生在對比中感受到了研究者不同、研究素材不同、研究過程和表達(dá)方式不同，但卻得到了相同的“規(guī)律”。在變與不變中感受“規(guī)律”的必然性，通用性，體會(huì)到了數(shù)學(xué)研究的無窮魅力。

4.充分驗(yàn)證，強(qiáng)化規(guī)律

任何研究結(jié)論，都要在充分驗(yàn)證之后才會(huì)被進(jìn)一步認(rèn)可，特別是運(yùn)用不完全歸納法得到的“規(guī)律”，更需要引導(dǎo)學(xué)生充分驗(yàn)證。林老師在放手讓學(xué)生分別探索了內(nèi)點(diǎn)為1、內(nèi)點(diǎn)為2多邊形面積與周點(diǎn)的關(guān)系之后，引導(dǎo)學(xué)生對所得到的結(jié)論進(jìn)行了及時(shí)驗(yàn)證。這樣一來，既讓學(xué)生對所發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”有了進(jìn)一步的認(rèn)識與理解，又讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的科學(xué)探究之旅，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度和研究精神。

二、關(guān)注方法：讓“規(guī)律”探索科學(xué)有序

“探索規(guī)律”的教學(xué)，是以規(guī)律探索為素材，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用科學(xué)的方法，經(jīng)歷探索過程，感受探索樂趣，積累探索經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)。在這樣的過程中，離不開科學(xué)、有效的研究方法。研究方法的發(fā)現(xiàn)、總結(jié)與運(yùn)用，自然也成為了“探索活動(dòng)”教學(xué)的重任之一。

1.過程中自悟

好多有效的研究方法，都是研究者在研究過程中自然而然發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出來的。學(xué)生的探索活動(dòng)，也必然會(huì)生成和積累一些有價(jià)值的研究方法，教師在此過程中要充分關(guān)注并為其積極創(chuàng)造條件。林老師在課中，多次適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)方法。當(dāng)學(xué)生探索完內(nèi)點(diǎn)為1的多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系后，林老師及時(shí)追問：“大家覺得哪一組的記錄比較容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律？”此語，問得妙！一箭雙雕！她既是在引發(fā)比較，又是在引出一種有效解決問題的策略——列表。這一過程，喚起了學(xué)生對研究方法的關(guān)注，更在培養(yǎng)學(xué)生一種善于觀察、勤于反思、重視方法的意識與能力。

2.互助中共悟

真正有意義的合作學(xué)習(xí)，不應(yīng)僅僅是學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)對知識的習(xí)得，而是還應(yīng)在發(fā)現(xiàn)的過程中善于及時(shí)反思，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，修正方法。在林老師的課上，她為學(xué)生創(chuàng)造了多次合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，從4人合作探索內(nèi)點(diǎn)為1的多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系，到2人合作探索內(nèi)點(diǎn)為2的多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系，再到全班合作驗(yàn)證結(jié)論。在合作中，教師適時(shí)以問題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行方法總結(jié)與梳理，不斷讓學(xué)生在規(guī)律總結(jié)的過程中感悟方法，積累經(jīng)驗(yàn)。

3.必要時(shí)點(diǎn)撥

兒童由于年齡小，研究經(jīng)驗(yàn)不足，因此，一些必要的研究方法有時(shí)需要教師及時(shí)予以點(diǎn)撥。林老師在學(xué)生的研究過程中，結(jié)合研究進(jìn)程，及時(shí)對研究方法進(jìn)行了歸納與總結(jié)。不管是“列表找規(guī)律”“用字母表示關(guān)系式”還是“假設(shè)—驗(yàn)證”等，都在適當(dāng)時(shí)機(jī)，對學(xué)生的研究方法及時(shí)予以點(diǎn)撥、歸納，讓學(xué)生在規(guī)律探索的過程中，不斷關(guān)注方法、重視方法、完善方法。這樣，讓規(guī)律教學(xué)不再是僅僅為了得到規(guī)律的教學(xué)，而是讓其承載了更多育人功能，很好地滲透了研究精神與研究方法的培養(yǎng)。

三、訓(xùn)練思維：讓“規(guī)律”探索超越規(guī)律

語文教學(xué)，常以“明線”和“暗線”兩種視角進(jìn)行課文分析。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)同樣也存在這樣兩條線索，即學(xué)習(xí)活動(dòng)的行進(jìn)過程為“明線”，思維訓(xùn)練的巧妙滲透為“暗線”。本課中，思維訓(xùn)練雖不是“探索規(guī)律”的基本環(huán)節(jié)和主要任務(wù)，但它卻作為貫穿整個(gè)活動(dòng)的“暗線”一直存在。在林老師的教學(xué)中，她結(jié)合探索進(jìn)程，及時(shí)巧妙地予以了關(guān)注和滲透，讓規(guī)律探索超越了“規(guī)律”。

1.歸納與類比

林老師的課中，4人合作探索內(nèi)點(diǎn)為1的多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系，2人合作探索內(nèi)點(diǎn)為2的多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系，這兩個(gè)環(huán)節(jié)，都是先研究實(shí)例，得出數(shù)據(jù)，再在數(shù)據(jù)中提取規(guī)律，思維方式是歸納推理。到了內(nèi)點(diǎn)為0、3、4、5……多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系的探索過程，卻是先猜想多邊形面積與周點(diǎn)數(shù)量之間的關(guān)系，再分組用實(shí)例驗(yàn)證是不是存在這樣的規(guī)律，思維方式是類比推理。兩種推理方式的運(yùn)用，既確保了順利、及時(shí)得到結(jié)論，又巧妙訓(xùn)練了學(xué)生的思維。

2.比較與分類

比較是確定兩個(gè)或兩個(gè)以上的對象或同一個(gè)對象在不同時(shí)間條件下的相同與不同點(diǎn)的思維方法。本課中，教師多次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，在比較中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從周點(diǎn)相同（都為8）時(shí)，兩個(gè)圖形面積和內(nèi)點(diǎn)數(shù)量的比較，到學(xué)生記錄數(shù)據(jù)方式的比較；從發(fā)現(xiàn)內(nèi)點(diǎn)為2的多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系時(shí)“為什么畫出的圖不一樣，得到的關(guān)系式卻都是一樣”的比較，到最后分排驗(yàn)證規(guī)律后的整體比較，等等，時(shí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，加深認(rèn)識，訓(xùn)練思維。課始，引導(dǎo)學(xué)生感受“內(nèi)點(diǎn)”“周點(diǎn)”和“面積”三個(gè)變量時(shí)，由于變量多，關(guān)系復(fù)雜，不便于研究，教師及時(shí)對研究對象進(jìn)行了分類（內(nèi)點(diǎn)為1時(shí)多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系，內(nèi)點(diǎn)為2時(shí)多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系，內(nèi)點(diǎn)為3、4、5……時(shí)多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系），既確保了研究活動(dòng)的順利有序進(jìn)行，又滲透了分類思想。

3.抽象與概括

抽象就是在認(rèn)識事物中，抽取其共同的、本質(zhì)屬性或特征，舍棄其非本質(zhì)屬性或特征的思維方法。概括則是將抽象出來的同類事物的共同屬性連結(jié)起來，并把它推廣到同一類事物上去的思維方法。林老師的課中，每一個(gè)探索活動(dòng)之后，“作業(yè)紙”上都有學(xué)生記錄關(guān)系式的空格，實(shí)際上就是在引導(dǎo)學(xué)生對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先進(jìn)行抽象，然后用數(shù)學(xué)語言（數(shù)據(jù)或模型）進(jìn)行概括表達(dá)。幾次探索活動(dòng)，幾次抽象與概括，學(xué)生的抽象與概括能力得到了提升。

四、一點(diǎn)商榷

筆者以為，“舉例驗(yàn)證”環(huán)節(jié)雖然涉及了，但來得有些遲。如果在發(fā)現(xiàn)內(nèi)點(diǎn)為1的多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系（即S=n÷2）之后，接著引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行舉例驗(yàn)證，那樣效果將會(huì)更好。理由有三，一是讓學(xué)生明白“舉例驗(yàn)證”是探索規(guī)律的重要環(huán)節(jié)之一，必不可少；二是讓學(xué)生體會(huì)“探索活動(dòng)”的完整性、科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性；三是為后續(xù)的探內(nèi)點(diǎn)為2、3、4、5……的多邊形周點(diǎn)和面積之間的關(guān)系積累經(jīng)驗(yàn)。一人之見，還請各位批評指正。