陸蕓婷

隨著課程改革的不斷深入，要求老師在教學(xué)中不僅僅要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，也要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.而在初中的學(xué)習(xí)階段，數(shù)形結(jié)合就是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生的解題能力的提升有十分巨大的作用.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可以分為兩種情況.一是利用數(shù)的精確準(zhǔn)確性質(zhì)來表現(xiàn)形當(dāng)中的某些特征或?qū)傩?，這就是用“數(shù)”來解釋“形”；二是利用形的直觀性簡(jiǎn)潔明了的特征來描述數(shù)與數(shù)之間的某種特定聯(lián)系，這就是用“形”來幫助“數(shù)”.筆者具有多年初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)如何在課堂教學(xué)中以及習(xí)題訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想具有一定的研究，下面談一談自己的幾點(diǎn)心得體會(huì)，不足之處，敬請(qǐng)斧正.

一、不等分析，妙求解集

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為老師我們不應(yīng)該只是將數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生，而是應(yīng)該盡自己最大的能力讓自己的學(xué)生養(yǎng)成某種合適的方便的簡(jiǎn)潔的解題習(xí)慣.數(shù)形結(jié)合的思想就是一種不錯(cuò)的選澤，老師要學(xué)會(huì)在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生能夠利用這一思想為自己解題謀求最大的便利.

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用范圍十分廣泛，對(duì)各類題型的解題都有一定的幫助，尤其是在不等式的相關(guān)問題中，更能起到意想不到的作用，能夠幫助學(xué)生快速分析題目，對(duì)提高學(xué)生的解題速度大有益處，取得良好的效果.例如，當(dāng)我們?cè)趯W(xué)習(xí)解絕對(duì)值不等式這部分知識(shí)時(shí)，同學(xué)們都會(huì)遇到這樣的題目：不等式|x+2|+|x-3|>5的解集是.這是一道常見的數(shù)形結(jié)合的題目，在解題之前我們一定要弄清楚絕對(duì)值的幾何意義.數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離，就記作|x|.那么同理|x+2|就表示數(shù)x的點(diǎn)和數(shù)-2的點(diǎn)的距離，在學(xué)生弄清楚這些之后再進(jìn)行題目分析.當(dāng)遇到這種題目，學(xué)生的第一想法都應(yīng)該是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知條件畫出數(shù)軸再進(jìn)行下一步考慮，如下圖所示.在數(shù)軸上我們可以看出，-2與3的距離就是5，所以點(diǎn)x不能出現(xiàn)在-2和3之間，也包括-2和3這兩個(gè)點(diǎn).所以x只能出現(xiàn)在-2點(diǎn)的左側(cè)以及3點(diǎn)的右側(cè)，只有這樣不等式才會(huì)成立，故而原不等式的解集就是x>3或x<-2.通過這種方法我們可以看出，數(shù)軸的畫出使問題的求解方向十分明確，x點(diǎn)的位置被-2和3這兩個(gè)點(diǎn)分為三段，學(xué)生只要依次進(jìn)行考慮即可，出錯(cuò)概率會(huì)大大降低.當(dāng)然還有一點(diǎn)要注意，那就是-2和3這兩個(gè)點(diǎn)，有的同學(xué)總是忽略這兩個(gè)點(diǎn)的存在，對(duì)于大于號(hào)和大于等于號(hào)或者小于號(hào)和小于等于號(hào)分不清楚，導(dǎo)致解題失敗，這種情況一定要避免.

通過數(shù)形結(jié)合的方法，使得求解解集的題目變得異常簡(jiǎn)單，學(xué)生理解起來也會(huì)十分容易.掌握熟練的同學(xué)還能在其中發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合之美，在各類題型中總會(huì)不自覺地將其應(yīng)用，提高自己的解題能力.

二、函數(shù)關(guān)系，巧求范圍

函數(shù)問題由于具有抽象性，所以對(duì)于初中生來說掌握起來是較為困難的，需要學(xué)生擁有強(qiáng)大的空間想象力，才能夠?qū)⑦@部分知識(shí)掌握透徹.所以當(dāng)老師在講解函數(shù)部分知識(shí)時(shí)，一定要放慢速度，關(guān)注學(xué)生的掌握情況，通過老師不斷的努力幫助學(xué)生打好函數(shù)的基礎(chǔ)，以便將來在中考中取得佳績(jī).

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生們就會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系與圖象是同時(shí)存在的，所以在解決函數(shù)的相關(guān)問題時(shí)，很容易聯(lián)想到采用數(shù)形結(jié)合的方法，但是當(dāng)遇到具體的題目時(shí)，還是需要根據(jù)題意一步一步地解決.很多學(xué)生只要看出是采用數(shù)形結(jié)合的方法解題之后，就不再動(dòng)手去計(jì)算去求解，這是一種錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)方式，需要老師去提醒糾正.例如，老師在習(xí)題訓(xùn)練課中都會(huì)給同學(xué)們布置這樣的作業(yè)：如果方程4x2-2x+k=0的一個(gè)根大于-3并且小于1，另一個(gè)根大于1并且小于3，請(qǐng)求出k值的取值范圍.很明顯這道題可以與函數(shù)的知識(shí)相聯(lián)系起來，我們可以設(shè)y=4x2-2x+k，之后簡(jiǎn)要畫出其函數(shù)圖象，再根據(jù)已知內(nèi)容進(jìn)行求解，如圖2所示.根據(jù)題干中的兩根情況，再結(jié)合圖象中的位置關(guān)系，我們可以得到這樣一個(gè)方程組：即y（x=-3）>0、y（x=1）<0、y（x=3）>0.將數(shù)據(jù)代入其中，就可以得出-30

通過函數(shù)的構(gòu)造并且與函數(shù)圖象相結(jié)合，再利用已知條件，可以創(chuàng)造合適的解決問題的方法，使復(fù)雜難懂的問題得到簡(jiǎn)化，學(xué)生分析起來也會(huì)十分輕松，有利于學(xué)生快速尋到答案.

三、幾何證明，速證大小

幾何問題也是初中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，在各年中考題目中都會(huì)有所體現(xiàn)，所以老師也要加強(qiáng)學(xué)生幾何問題的分析能力，為取勝中考奠定基礎(chǔ).在幾何的學(xué)習(xí)中，證明問題一直是學(xué)生的弱項(xiàng)，老師也要想方設(shè)法提高學(xué)生的證明能力，而在有些題型中也可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學(xué)生分析幾何難題.

幾何證明題的種類繁多，學(xué)生在進(jìn)行中考之前一定都進(jìn)行過大量的習(xí)題訓(xùn)練，都有一定的解題經(jīng)驗(yàn).其中有一部分證明題可以利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決，需要老師引起注意，提醒學(xué)生對(duì)這類題目一定要重點(diǎn)把握，尤其是這種解題思維更要熟記于心.例如，在總復(fù)習(xí)的過程中，很多同學(xué)都會(huì)練習(xí)到這樣的題目：如圖3所示，有一個(gè)正方形ABCD，過其頂點(diǎn)C任意作一條直線，并且分別與AB、AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E和點(diǎn)F.求證：AE+AF≥4AB.

乍一看題目，給出的是圖形，卻要我們證明數(shù)量關(guān)系，很多同學(xué)都會(huì)覺得無從下手.但是如果同學(xué)們仔細(xì)分析，就可以發(fā)現(xiàn)需要在數(shù)的方向進(jìn)行求解.根據(jù)題意，這是一道證明數(shù)量關(guān)系的題目，所以我們要選擇從“數(shù)”的方面下手.首先設(shè)AB=a，AE=m，AF=n，再連結(jié)AC.由圖可知，三角形AEF的面積為三角形AEC和三角形AFC二者之和，由此可以列出式子，即12mn=12am+12an，所以mn=a（m+n）.接下來，我們可以設(shè)m+n=p，而mn=ap，所以m和n是方程x2-px+ap=0的兩個(gè)根.再加上m和n肯定為實(shí)數(shù)，并且p>0，所以Δ=p2-4ap≥0，即p≥4a，所以m+n≥4a，這樣AE+AF≥4AB就得到了證明.

這道題目與之前的兩道題就有明顯的不同，前兩道題目都是在“數(shù)”的方面的進(jìn)行分析比較難以下手，所以選擇以“形”為突破口.而這道題則是直接在“形”的方面進(jìn)行分析難以下手，進(jìn)而才選擇在“數(shù)”的方面作為突破口.這就是數(shù)形結(jié)合思想在解題中應(yīng)用的兩種方式，需要同學(xué)們都能夠掌握清楚.

本文主要討論數(shù)形結(jié)合思想在不等式、函數(shù)以及幾何問題中的應(yīng)用情況，需要老師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí).在解題過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生形成正確的慣性思維，使其能夠?yàn)樽约旱慕忸}提供方便.