李軍成，劉成志（湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南婁底417000）

?

三次參數(shù)曲線的區(qū)間擴(kuò)展

李軍成，劉成志
（湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南婁底417000）

摘 要：為了在傳統(tǒng)三次參數(shù)曲線中引入形狀參數(shù)，通過(guò)將三次Ferguson曲線、三次Bézier曲線、三次均勻B樣條曲線等傳統(tǒng)三次參數(shù)曲線的定義區(qū)間由固定區(qū)間［0，1］擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)區(qū)間［0，α］，構(gòu)造了3種帶參數(shù)α的三次參數(shù)曲線，分別稱之為三次α－Ferguson曲線、三次α－Bézier曲線以及三次均勻α－B樣條曲線．所構(gòu)造的α－曲線是原三次參數(shù)曲線的同次擴(kuò)展，不僅方程結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，繼承了原曲線的性質(zhì)，而且可通過(guò)修改參數(shù)α的值實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線形狀的調(diào)整，是一種簡(jiǎn)單有效的形狀可調(diào)參數(shù)曲線構(gòu)造方法．

關(guān) 鍵 詞：三次參數(shù)曲線；區(qū)間擴(kuò)展；形狀可調(diào)

隨著幾何造型工業(yè)的發(fā)展，常常需要通過(guò)改變曲線的形狀來(lái)滿足各種幾何造型的需要．Ferguson曲線、Bézier曲線、B樣條曲線等作為傳統(tǒng)幾何造型方法雖然在表示曲線曲面時(shí)顯示了較強(qiáng)的能力，但一旦邊界條件或控制頂點(diǎn)固定，用這些方法表示的曲線曲面在形狀修改或調(diào)整時(shí)就受到了較大的限制，從而制約了其在幾何造型工業(yè)中的應(yīng)用．NURBS曲線雖然能通過(guò)權(quán)因子對(duì)其形狀進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，但由于采用有理形式，計(jì)算比較復(fù)雜，使得NURBS曲線在形狀設(shè)計(jì)與分析中亦存在一定的局限性．近年來(lái)，為了克服傳統(tǒng)參數(shù)曲線在造型上的不足，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者開(kāi)始構(gòu)造較為實(shí)用的參數(shù)曲線模型，其中帶形狀可調(diào)的參數(shù)曲線逐漸成為研究的熱點(diǎn)．為了構(gòu)造帶形狀可調(diào)的參數(shù)曲線，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多不同的方法，其中最為常見(jiàn)的有帶形狀參數(shù)的多項(xiàng)式曲線［1－5］、帶形狀參數(shù)的非多項(xiàng)式曲線［6－10］、帶形狀參數(shù)的奇異混合曲線［11－14］．這些方法雖然可通過(guò)修改形狀參數(shù)值有效調(diào)節(jié)曲線形狀，但其代價(jià)是所構(gòu)造的曲線模型的次數(shù)提高了，或者曲線的方程結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜．

無(wú)論采用何種方法構(gòu)造形狀可調(diào)的參數(shù)曲線，其主要目的都是為了在傳統(tǒng)參數(shù)曲線中引入形狀參數(shù)，通過(guò)修改形狀參數(shù)的取值實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線形狀的修改或調(diào)整，以此來(lái)改善傳統(tǒng)參數(shù)曲線造型方法的不足．針對(duì)形狀可調(diào)的參數(shù)曲線構(gòu)造問(wèn)題，本文提出了在三次Ferguson曲線、三次Bézier曲線、三次均勻B樣條曲線等傳統(tǒng)參數(shù)曲線中引入形狀參數(shù)的方法，并將其定義區(qū)間由固定區(qū)間［0，1］擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)區(qū)間［0，α］，在這些傳統(tǒng)三次參數(shù)曲線中引入形狀參數(shù)α，通過(guò)調(diào)節(jié)α的取值，實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線形狀的有效調(diào)整．

1 三次α－Ferguson曲線

1．1 三次α－Hermite基函數(shù)的構(gòu)造

傳統(tǒng)三次Ferguson曲線的基函數(shù)（也稱為三次Hermite基函數(shù)）通?？杀硎緸椋?5］

其中0≤t≤1．

由式（1）定義的傳統(tǒng)三次Hermite基函數(shù)在端點(diǎn)處滿足

若將傳統(tǒng)三次Hermite基函數(shù)的定義區(qū)間由t∈［0，1］擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)區(qū)間t∈［0，α］（0＜α≤1），則可依據(jù)式（2）構(gòu)造出一種帶參數(shù)α的三次Hermite基函數(shù)．下面給出具體的構(gòu)造過(guò)程．

設(shè)所要構(gòu)造的4個(gè)新基函數(shù)為

其中，0≤t≤α，0＜α≤1，M為一待定的4×4矩陣．

式（3）兩端對(duì)t求導(dǎo)得

現(xiàn)要求新基函數(shù)具有傳統(tǒng)三次Hermite基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)，即滿足式（2），有

于是，將t＝0與t＝α分別代入式（3）和（4），可得

求解式（6）得

將式（7）代入式（3），可得所要構(gòu)造的新基函數(shù)．

定義1 對(duì)于0≤t≤α，0＜α≤1，下列4個(gè)關(guān)于t的函數(shù)

稱為帶參數(shù)α的三次Hermite基函數(shù)，簡(jiǎn)稱為三次α－Hermite基函數(shù)．

1．2 三次α－Ferguson曲線的定義及其性質(zhì)

基于三次α－Hermite基函數(shù)，可定義如下帶參數(shù)α的三次Ferguson曲線．

定義2 對(duì)于0≤t≤α，0＜α≤1，給定曲線段的首、末端點(diǎn)ai及其切矢a′i（i＝0，1），稱曲線

為帶參數(shù)α的三次Ferguson曲線，簡(jiǎn)稱為三次α－Ferguson曲線，其中fi（t）與gi（t）（i＝0，1）為式（8）定義的三次α－Hermite基函數(shù)．

由式（5）與（9），可得三次α－Ferguson曲線具有如下插值性：

定理1 由式（9）定義的三次α－Ferguson曲線插值于給定的首、末端點(diǎn)及其切矢，即

注1 定理1表明，三次α－Ferguson曲線與傳統(tǒng)三次Ferguson曲線具有完全相同的插值性．特別地，當(dāng)α＝1時(shí)，三次α－Ferguson曲線即為傳統(tǒng)三次Ferguson曲線．因此，三次α－Ferguson曲線是傳統(tǒng)三次Ferguson曲線的一種同次擴(kuò)展．當(dāng)曲線段的首、末端點(diǎn)及其切矢給定時(shí)，傳統(tǒng)三次Ferguson曲線的形狀無(wú)法修改，但三次α－Ferguson曲線的形狀可通過(guò)修改參數(shù)α的值進(jìn)行調(diào)節(jié)，從而為曲線的設(shè)計(jì)提供便利．

當(dāng)曲線段的首、末端點(diǎn)及其切矢固定時(shí)，參數(shù)α對(duì)三次α－Ferguson曲線的形狀有如下影響：

定理2 固定曲線段的首、末端點(diǎn)ai及其切矢ai′（i＝0，1），則參數(shù)α的取值越大，三次α－Ferguson曲線越遠(yuǎn)離邊a0a1．

式（10）兩邊同時(shí)取范數(shù)有

圖1為曲線段的首、末端點(diǎn)及其切矢固定時(shí)參數(shù)α取不同值時(shí)的三次α－Ferguson曲線，圖中各曲線由外到內(nèi)所取的參數(shù)分別為a＝0．2，0．4，0．6，0．8，1．0．

圖1　參數(shù)α取不同值時(shí)的三次α－Ferguson曲線Fig．1 Cubicα－Ferguson curves with differentα

2 三次α－Bézier曲線

2．1 三次α－Bernstein基函數(shù)的構(gòu)造

傳統(tǒng)三次Bézier曲線的基函數(shù)（也稱為三次Bernstein基函數(shù)）通?？杀硎緸椋?5］

其中0≤t≤1．

由式（12）定義的傳統(tǒng)三次Bernstein基函數(shù)在端點(diǎn)處滿足：

若將傳統(tǒng)三次Bernstein基函數(shù)的定義區(qū)間由t∈［0，1］擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)區(qū)間t∈［0，α］（0＜α≤1），則依據(jù)式（13）可構(gòu)造出一種帶參數(shù)α的三次Bernstein基函數(shù)．下面給出具體的構(gòu)造過(guò)程．

設(shè)所要構(gòu)造的4個(gè)新基函數(shù)為

式中0≤t≤α，0＜α≤1，M為一待定的4×4矩陣．

式（14）兩端對(duì)t求導(dǎo)得

現(xiàn)要求新基函數(shù)具有傳統(tǒng)三次Bernstein基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)式（13），即有

將t＝0與t＝α分別代入式14）和（15），可得

求解式（17），可得

將式（18）代入式（14），可得所要構(gòu)造的新基函數(shù)．

定義3 對(duì)于0≤t≤α，0＜α≤1，下列關(guān)于t 的4個(gè)函數(shù)：

稱為帶參數(shù)α的三次Bernstein基函數(shù)，簡(jiǎn)稱為三次α－Bernstein基函數(shù)．

定理3 由式（19）定義的三次α－Bernstein基函數(shù)具有如下性質(zhì)：

（1）非負(fù)性：bi（t）≥0（i＝0，1，2，3）；

（2）混合性：b0（t）＋b1（t）＋b2（t）＋b3（t）≡1；

（3）對(duì)稱性：bi（t）＝b3－i（α－t）（i＝0，1，2，3）；

（4）端點(diǎn)性質(zhì)：三次α－Bernstein基函數(shù)在端點(diǎn)處滿足式（16）．

證明 （1）式（19）可改寫(xiě)為

當(dāng)0≤t≤α，0＜α≤1時(shí)，a－t≥0，1－α≥0．故由式（20）可得bi（t）≥0（i＝0，1，2，3）．

（2）由式（19）經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得混合性成立．

（3）由式（20）得對(duì)稱性成立．

（4）由三次α－Bernstein基函數(shù)的構(gòu)造可知，端點(diǎn)性顯然成立．

2．2 三次α－Bézier曲線的定義及其性質(zhì)

基于三次α－Bernstein基函數(shù)，可定義如下帶參數(shù)α的三次Bézier曲線：

定義4 對(duì)于0≤t≤α，0＜α≤1，給定平面上或空間中4個(gè)控制頂點(diǎn)pi（i＝0，1，2，3），稱曲線

為帶參數(shù)α的三次Bézier曲線，簡(jiǎn)稱為三次α－Bézier曲線，其中bi（t）（i＝0，1，2，3）為式（19）定義的三次α－Bernstein基函數(shù)．

定理4 由式（21）定義的三次α－Bézier曲線具有如下性質(zhì)：

（1）端點(diǎn)性質(zhì)：三次α－Bézier曲線插值于首、末控制頂點(diǎn)，且與控制多邊形的首、末邊相切，即有

（2）對(duì)稱性：對(duì)于相同的參數(shù)α，由控制頂點(diǎn)pi與p3－i（i＝0，1，2，3）分別確定的三次α－Bézier曲線重合，只是參數(shù)化方向相反，即有

（3）幾何不變性：三次α－Bézier曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)．

（4）凸包性與保凸性：三次α－Bézier曲線被完全包含在由控制頂點(diǎn)pi（i＝0，1，2，3）形成的凸包內(nèi)．當(dāng)控制多邊形為凸時(shí)，三次α－Bézier曲線也為凸．

證明 （1）由式（16）與（21）可得

（2）由三次α－Bernstein基函數(shù)的對(duì)稱性與式（21）可得

（3）由于式（21）為一矢量函數(shù)，故三次α－Bézier曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)．

（4）由于三次α－Bernstein基函數(shù)bi（t）（i＝0，1，2，3）滿足非負(fù)性與權(quán)性，而式（21）是控制頂點(diǎn)pi關(guān)于bi（t）（i＝0，1，2，3）的加權(quán)線性組合，故三次α－Bézier曲線被完全包含在由控制頂點(diǎn)pi（i＝0，1，2，3）形成的凸包內(nèi)．特別地，當(dāng)控制多邊形為凸時(shí)，三次α－Bézier曲線也為凸．

注2 定理4表明，三次α－Bézier曲線與傳統(tǒng)三次Bézier曲線具有完全相同的性質(zhì)．特別地，當(dāng)α＝1時(shí)，三次α－Bézier曲線即為傳統(tǒng)三次Bézier曲線．因此，三次α－Bézier曲線是傳統(tǒng)三次Bézier曲線的同次擴(kuò)展．當(dāng)控制頂點(diǎn)保持不變時(shí)，傳統(tǒng)三次Bézier曲線的形狀無(wú)法修改，但三次α－Bézier曲線的形狀可通過(guò)修改參數(shù)α的值進(jìn)行調(diào)節(jié)，從而為曲線的設(shè)計(jì)提供了便利．

當(dāng)控制頂點(diǎn)固定時(shí)，參數(shù)α對(duì)三次α－Bézier曲線的形狀有如下影響．

定理5 設(shè)給定的控制頂點(diǎn)pi（i＝0，1，2，3）不共線，且p1與p2位于邊p0p3的同側(cè)，則參數(shù)α的取值越大，三次α－Bézier曲線越靠近控制多邊形．

式（22）兩邊同時(shí)取范數(shù)有

圖2為控制頂點(diǎn)固定時(shí)，參數(shù)α取不同值時(shí)的三次α－Bézier曲線，圖中各曲線由外到內(nèi)所取的參數(shù)分別為α＝0．2，0．4，0．6，0．8，1．0．

圖2　參數(shù)α取不同值時(shí)的三次α－Bézier曲線Fig．2 Cubicα－Bézier curves with differentα

3 三次均勻α－B樣條曲線

3．1 三次均勻α－B樣條基函數(shù)的構(gòu)造

傳統(tǒng)三次均勻B樣條基函數(shù)的表達(dá)式可寫(xiě)為［15］

其中，0≤t≤1．其在端點(diǎn)處滿足

若將其定義區(qū)間由t∈［0，1］擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)區(qū)間t∈［0，αi］（0＜αi≤1），則可依據(jù)式（25）構(gòu)造出一種帶參數(shù)的三次均勻B樣條基函數(shù)．下面給出具體的構(gòu)造過(guò)程．

設(shè)所要構(gòu)造的新基函數(shù)為

式中0≤t≤αi，0＜αi≤1，M為一待定的4×4矩陣．

式（26）兩端分別對(duì)t求導(dǎo)可得

現(xiàn)要求新基函數(shù)具有傳統(tǒng)三次Bernstein基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)式（25），即滿足

將t＝0與t＝αi分別代入式（26）與（27），則由式（28）可得

求解式（29）得

將式（30）代入式（26），可得所要構(gòu)造的新基函數(shù)．

定義5 對(duì)于0≤t≤αi，0＜αi≤1，下列關(guān)于t的函數(shù)

稱為帶參數(shù)αi的三次均勻B樣條基函數(shù)，簡(jiǎn)稱為三次均勻α－B樣條基函數(shù)．

定理6 由式（31）定義的三次均勻α－B樣條基函數(shù)具有如下性質(zhì)：

（1）非負(fù)性：gi，j（t）≥0（j＝0，1，2，3）；

（2）混合性：

（3）對(duì)稱性：

（4）端點(diǎn)性質(zhì)：三次均勻α－B樣條基函數(shù)在端點(diǎn)處滿足式（26）；

（5）單調(diào)性：固定t∈［0，αi］（0＜αi≤1），g0（t）與g1（t）關(guān)于參數(shù)ai單調(diào)遞減，g2（t）與g3（t）關(guān)于參數(shù)αi單調(diào)遞減．

證明 （1）固定αi∈（0，1］，當(dāng)0≤t≤αi時(shí)，由式（29）可得

故gi，0（t）與gi，1（t）關(guān)于變量t單調(diào)遞減，gi，2（t）與gi，3（t）關(guān)于變量t單調(diào)遞增，于是有

（2）由式（31）經(jīng)簡(jiǎn)單推導(dǎo)，可得混合性成立．

（3）由式（31）經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，可得對(duì)稱性成立．

（4）由三次均勻α－B樣條基函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程可知，端點(diǎn)性質(zhì)顯然成立．

（5）固定t∈［0，αi］（0＜αi≤1），由式（31）可得

于是，gi，0（t）與gi，1（t）關(guān)于參數(shù)αi單調(diào)遞增，gi，2（t）與gi，3（t）關(guān)于參數(shù)αi單調(diào)遞減．

3．2 三次均勻α－B樣條曲線的定義及其性質(zhì)

基于三次均勻α－B樣條基函數(shù)，可定義如下帶參數(shù)αi的三次均勻B樣條曲線：

定義6 對(duì)于0≤t≤αi，0＜αi≤1，給定平面上或空間中n＋1控制頂點(diǎn)qj（j＝0，1，2，…，n），稱分段曲線

為帶參數(shù)αi的三次均勻B樣條曲線，簡(jiǎn)稱為三次均勻α－B樣條曲線，其中g(shù)i，j（t）（j＝0，1，2，3）為式（31）定義的三次均勻α－B樣條基函數(shù)．

定理7 由式（32）定義的三次均勻α－B樣條曲線具有如下性質(zhì)：

（1）連續(xù)性：三次均勻α－B樣條曲線滿足C1連續(xù)，即滿足

（2）對(duì)稱性：對(duì)于相同的參數(shù)αi，分別由控制頂點(diǎn)確定的第i段三次均勻α－B樣條曲線重合，只是參數(shù)化方向相反，即有

（3）幾何不變性：三次均勻α－B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)．

（4）凸包性與保凸性：第i段三次均勻α－B樣條曲線被完全包含在由控制頂點(diǎn)qi＋j（j＝0，1，2，3）形成的凸包內(nèi)．特別地，當(dāng)所有控制頂點(diǎn)形成一個(gè)閉凸多邊形時(shí)，三次均勻α－B樣條曲線也為一條凸曲線．

證明 （1）由式（28）與（32）可得

即三次均勻α－B樣條曲線滿足C1連續(xù)．

（2）由三次均勻α－B樣條基函數(shù)的對(duì)稱性與式（32）可得

（3）由于式（32）為一矢量函數(shù)，故三次均勻α－B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)．

（4）由于三次均勻α－B樣條基函數(shù)gi，j（t）（j＝0，1，2，3）滿足非負(fù)性與權(quán)性，而第i段三次均勻α－B樣條曲線Qi（t）是控制頂點(diǎn)qi＋j關(guān)于gi，j（t）（j＝0，1，2，3）的加權(quán)線性組合，故第i段三次均勻α－B樣條曲線被完全包含在由控制頂點(diǎn)qi＋j（j＝0，1，2，3）形成的凸包內(nèi)．特別地，當(dāng)所有控制頂點(diǎn)形成一個(gè)閉凸多邊形時(shí)，三次均勻α－B樣條曲線也為一條凸曲線．

注3 定理7表明，三次均勻α－B樣條曲線與傳統(tǒng)三次均勻B樣條曲線具有幾乎完全相同的性質(zhì)（連續(xù)性除外，傳統(tǒng)三次均勻B樣條曲線滿足C2連續(xù)）．特別地，當(dāng)α＝1時(shí)，三次均勻α－B樣條曲線即為傳統(tǒng)三次均勻B樣條曲線．因此，三次均勻α－B樣條曲線是傳統(tǒng)三次均勻B樣條曲線的同次擴(kuò)展．當(dāng)所有控制頂點(diǎn)保持不變時(shí)，傳統(tǒng)三次均勻B樣條曲線的形狀無(wú)法修改，但三次均勻α－B樣條曲線的形狀可通過(guò)修改參數(shù)α1的值進(jìn)行調(diào)節(jié)，從而為曲線的設(shè)計(jì)提供了便利．

當(dāng)所有控制頂點(diǎn)qj（j＝0，1，2，…，n）固定時(shí)，只修改參數(shù)α1的值，則只會(huì)對(duì)第i段三次均勻α－B樣條曲線Qi（t）的形狀有影響，而對(duì)其他曲線段無(wú)任何影響，即參數(shù)α1對(duì)整條三次均勻B樣條曲線的形狀具有局部調(diào)節(jié)作用．進(jìn)一步，當(dāng)?shù)趇段三次均勻α－B樣條曲線的控制頂點(diǎn)qi＋j（j＝0，1，2，3）保持不變時(shí)，參數(shù)αi對(duì)曲線段的形狀有如下影響：

定理8 設(shè)第i段三次均勻α－B樣條曲線Qi（t）的控制頂點(diǎn)qi＋j（j＝0，1，2，3）不共線，且qi＋1與qi＋2位于邊qiqi＋3的同側(cè)，則參數(shù)α1的取值越大，曲線段越靠近其控制多邊形．

式（33）兩邊同時(shí)取范數(shù)有

由式（34）可知，參數(shù)αi取值越大的值越小，則越靠近q＊，即第i段三次均勻α－B樣條曲線Qi（t）越靠近其控制多邊形．

圖3為當(dāng)所有控制頂點(diǎn)固定時(shí)，參數(shù)αi對(duì)三次均勻α－B樣條曲線的局部調(diào)節(jié)，圖中第2段曲線由外到內(nèi)參數(shù)α2＝0．3，0．6，0．9，其余各段曲線參數(shù)均為0．6．

圖3　參數(shù)對(duì)三次均勻α－B樣條曲線的局部調(diào)節(jié)Fig．3 Local adjustment of the parameter on a cubic uniformα－B－spline curve

當(dāng)所有控制頂點(diǎn)qj（j＝0，1，2，…，n）固定時(shí)，若將所有三次均勻α－B樣條曲線段Qi（t）（i＝0，1，2，…，n－3）的參數(shù)取為同一值α，即取αi＝α（i＝0，1，2，…，n－3），則可通過(guò)修改參數(shù)α的值實(shí)現(xiàn)對(duì)三次均勻α－B樣條曲線的整體調(diào)節(jié)．圖4為當(dāng)所有控制頂點(diǎn)固定時(shí)，參數(shù)αi＝α（i＝0，1，2，3）對(duì)三次均勻α－B樣條閉曲線的整體調(diào)節(jié)圖，圖中短虛線對(duì)應(yīng)的參數(shù)α＝0．3，長(zhǎng)虛線對(duì)應(yīng)的參數(shù)α＝0．6，實(shí)線對(duì)應(yīng)的參數(shù)α＝1．0．

圖4　參數(shù)對(duì)三次均勻α－B樣條閉曲線的調(diào)節(jié)Fig．4 Global adjustment of the parameter on a closed cubic uniformα－B－spline curve

4 三次α－曲線之間的關(guān)系

三次α－Ferguson曲線的定義式式（9）可改寫(xiě)成矩陣形式：

式中0≤t≤α，0＜α≤1．

三次α－Bézier曲線的定義式式（21）可改寫(xiě)成矩陣形：

式中0≤t≤α，0＜α≤1．

若僅考慮一段曲線，則三次均勻α－B樣條曲線的定義式式（32）可改寫(xiě)成矩陣形式：

式中0≤t≤α，0＜α≤1．

由式（35）與（36），三次α－Ferguson曲線可轉(zhuǎn)化為三次α－Bézier曲線．

如果有

由式（36）與（37），則三次α－Bézier曲線可轉(zhuǎn)化為三次均勻α－B樣條曲線．

同樣，如果有

則三次均勻α－B樣條曲線可轉(zhuǎn)化為三次α－Bézier曲線．

5 結(jié) 語(yǔ)

為了構(gòu)造形狀可調(diào)的參數(shù)曲線，將三次Ferguson曲線、三次Bézier曲線、三次均勻B樣條曲線等傳統(tǒng)參數(shù)曲線的定義區(qū)間由固定區(qū)間［0，1］擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)區(qū)間［0，α］，構(gòu)造了3種帶參數(shù)α的三次曲線．所構(gòu)造的新曲線不僅完全繼承了傳統(tǒng)三次參數(shù)曲線的性質(zhì)，而且可通過(guò)修改參數(shù)α的值調(diào)整其形狀．另外，所構(gòu)造的新曲線均為多項(xiàng)式模型，且為相應(yīng)三次參數(shù)曲線的同次擴(kuò)展，相較其他類(lèi)似的曲線模型，方程結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)潔，因此是一種簡(jiǎn)單有效的帶形狀參數(shù)的曲線造型方法．目前眾多CAD／CAM系統(tǒng)均采用了三次Ferguson曲線、三次Bézier曲線、三次均勻B樣條曲線等參數(shù)曲線，本文所構(gòu)造的新曲線與傳統(tǒng)參數(shù)曲線的方程結(jié)構(gòu)非常接近，因此可將其應(yīng)用于相應(yīng)的CAD／CAM系統(tǒng)中．進(jìn)一步，可繼續(xù)研究所構(gòu)造的新曲線的具體算法，也可將所構(gòu)造的新曲線推廣到曲面形式，將另文討論．

參考文獻(xiàn)（References）：

［1］ YAN Lanlan，LIANG Qiongfeng．An extension of the Bézier model［J］．Applied Mathematics and Computation，2011，218（6）：2863－2879．

［2］ CHEN Jun，WANG Guojin．A new type of the generalized Bézier curves［J］．Applied Mathematics：A Journal of Chinese Universities，2011，26（1）：47－56．

［3］ CAO Juan，WANG Guozhao．Non－uniform B－splinecurves with multiple shape parameters［J］．Journal of Zhejiang U－niversity SCIENCE C，2011，12（10）：800－808．

［4］ FAN Feilong，ZENG Xiaoming．S－λbases and S－λcurves［J］．Computer－Aided Design，2012，44（11）：1049－1055．

［5］ QIN Xinqiang，HU Gang，ZHANG Nianjun，et al．A novel extension to the polynomial basis functions describing Bézier curves and surfaces of degree n with multiple shape parameters［J］．Applied Mathematics and Computation，2013，223：1－16．

［6］ LIU Xumin，XU Weixiang，GUAN Yong，et al．Hyperbolic polynomial uniform B－spline curves and surfaces with shape parameter［J］．Graphical Models，2010，72（1）：1－6．

［7］ YAN Lanlan，LIANG Jiongfeng．A class of algebraictrigonometric blended splines［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，235（6）：1713－1729．

［8］ HAN Xuli，ZHU Yunpeng．Curve construction based on five trigonometric blending functions［J］．BIT Numerical Mathematics，2012，52（4）：953－979．

［9］ LI Juncheng．A class of cubic trigonometric Bézier curve with a shape parameter［J］．Journal of Information and Computational Science，2013，10（10）：3071－3078．

［10］ BASHIR U，ABBSA M，ALI J M．The G2and C2rational quadratic trigonometric Bézier curve with two shape parameters with applications［J］．Applied Mathematics and Computation，2013，219（20）：10183－10197．

［11］ PAPP I，HOFFMANN M．C2and G2continuous spline curves with shape parameters［J］．Journal for Geometry and Graphics，2007，11（2）：179－185．

［12］ XU Gang，WANG Guozhao．Extended cubic uniform B－spline andα－B－spline［J］．Acta Automatica Sinica，2008，34（8）：980－984．

［13］ JUHáSZ I，HOFFMANN M．Surface interpolationwith local control by linear blending［J］．Annales

Mathematicae et Informaticae，2009，36（1）：77－84．

［14］ ZHU Yunpeng，HAN Xuli，HAN Jing．Quartic trigonometric Bézier curves and shape preserving interpolation curves［J］．Journal of Computational Information Systems，2012，8（2）：905－914．

［15］ 朱心雄．自由曲線曲面造型技術(shù)［M］．北京：科學(xué)出版社，2000．ZHU Xinxiong．Technology of Free Curves and Surfaces Modeling［M］．Beijing：Science Press，2000．

Interval extension of the cubic parametric curves

LI Juncheng，LIU Chengzhi（Department of Mathematics，Hunan University of Humanities，Science and Technology，Loudi 417000，Hunan Province，China）

Journal of Zhejiang University（Science Edition），2016，43（1）：079－086

Abstract：In order to introduce the shape parameter into the traditional cubic parametric curves，definition interval of cubic Ferguson curve，cubic Bézier curve and cubic uniform B－spline curve is extended from a fixed interval［0，1］to a dynamic interval［0，α］．Then three cubic parametric curves with parameterαare constructed，which are named cubicα－Ferguson curve，cubicα－Bézier curve and cubic uniformα－B－spline curve，respectively．The proposed threeα－curves are extensions of the corresponding cubic parametric curves．They not only have simple structure，inherit the properties of the corresponding cubic parametric curves，but also can be adjusted by altering the value of parameterα．Therefore，the proposed method is a simple and effective method for constructing shape－adjustable parametric curves．

Key Words：cubic parametric curves；interval extension；shape－adjustable

作者簡(jiǎn)介：李軍成（1982－），男，博士，副教授，主要從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究，E－mail：lijuncheng82＠126．com．

基金項(xiàng)目：湖南省教育廳資助科研項(xiàng)目（14B099）；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（13JJ6081）．

收稿日期：2015－03－26．

DOI：10．3785／j．issn．1008－9497．2016．01．014

中圖分類(lèi)號(hào)：O 241．5；TP391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008－9497（2016）01－079－08