石棟梁,李必文,龔純浩,黃華英

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石　435002)

?

一類具有時滯的非線性SIRS傳染病模型的分析

石棟梁,李必文,龔純浩,黃華英

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石435002)

摘要：研究了一個具有時滯的非線性 SIRS傳染病模型，首先確定模型的基本再生數(shù)，并利用線性化，Hurwitz 定理和漸進(jìn)穩(wěn)定判定理分析了無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，然后運(yùn)用時滯微分方程的穩(wěn)定性理論對正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性進(jìn)行討論，從而推斷出達(dá)到相應(yīng)平衡狀態(tài)的充分條件。結(jié)果表明在傳播過程中引入時滯會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定，當(dāng)時滯作為分支參數(shù)時周期解也會產(chǎn)生Hopf 分支。6

關(guān)鍵詞：SIRS模型；時滯；非線性發(fā)生率；穩(wěn)定性

在流行病學(xué)上，用數(shù)學(xué)模型深入探索傳染病的傳播已然經(jīng)過了一個多世紀(jì)。 Anderson和May總結(jié)了傳染病的演化和基本模型理論.眾所周知，傳染病的傳播過程涉及到很多相關(guān)因素，比如致病源、傳染方式、潛伏期、感染期、易感染期和免疫期.近幾十年已經(jīng)產(chǎn)生了各種各樣的傳染病模型，比如具有或者不具有時滯的 SIR,SIS,SEIR模型[1～4]。

近年來自從發(fā)現(xiàn)時滯能改變系統(tǒng)的定性行為時滯模型被廣泛關(guān)注，比如它能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定和最終導(dǎo)致 Hopf分支的周期解[1～6].因此，本文考察的是時滯對于一個具有非線性SIRS傳染率傳染病模型的動力學(xué)行為。

本文在文獻(xiàn)[7]的建模思想基礎(chǔ)之上，建立了一類具有時滯的非線性SIRS傳染病模型，確定了模型的基本再生數(shù)，并討論了模型的無病平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

1不帶時滯的SIRS模型

S(t)表示易感者的數(shù)量，I(t)表示感染者的數(shù)量，R(t) 表示恢復(fù)者的數(shù)量。假設(shè)非線性傳染率是βSI/(1+αI) ，其中βI是感染力和 1/(1+αI) 是當(dāng)感染者數(shù)目增加或者感染者擁擠時控制易感者行為變化的抑制力，當(dāng)α=0時，傳染率就是雙線性傳染率βSI.那么在這種假設(shè)情況下，具有非線性傳染率的SIR模型如下：

(1)

這里 Λ表示種群的常數(shù)輸入率； β是單位時間內(nèi)感染者適度接觸的平均數(shù)；假設(shè)自然死亡率是常數(shù) μ； γ是感染者的恢復(fù)率以及 α是抑制率； p表示染病者得生育能力，其取值范圍為 0≤p≤1； q表示染病者所生的新生兒中為然病者得比例，其取值范圍為 0≤q≤1.后面的研究中帶有時滯 τ，其表示為疾病的感染期；模型(1)中的所有相關(guān)參數(shù)和狀態(tài)變量都是非負(fù)數(shù)。從生物學(xué)的角度考慮，我們可以得到系統(tǒng)(1)的可行域

1.1模型分析

1.1.1無病平衡點(diǎn)正平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

當(dāng)IE=0時，是系統(tǒng)(1)的一個非負(fù)平衡點(diǎn)。

從而得到：

S*=

將S*代入I*的表達(dá)式中得到：

i) 當(dāng)R0< 1時，I*< 0不滿足染病者必是非負(fù)數(shù)，系統(tǒng)(1)只存在無病平衡點(diǎn)E1=(Λ/μ,0,0);

ii) 當(dāng)R0=1時，I*=0系統(tǒng)(1)只存在無病平衡點(diǎn)E1=(Λ/μ,0,0)；

iii) 當(dāng)R0>1時，I*>0 系統(tǒng)(1)有兩個平衡點(diǎn)，分別為無病平衡點(diǎn)E1=(Λ/μ,0,0)；地方病平衡點(diǎn)E2=(S*,I*,R*).

1.1.2正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

定理2當(dāng)Λ>1,D<αμR0(μ+η)或者Λ< 1,D>αμR0(μ+η)時，正平衡點(diǎn)E2是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

通過計算可以得到：

其中：D= μγηR0-βΛ(μ+η)-qpμ2R0(μ+η).

那么系統(tǒng)(1)在E2=(S*,I*,R*) 處的Jacobian 矩陣為：

(2)

由 Routh-Hurwitz定理[8]，(2)所以根有負(fù)實(shí)部。因此當(dāng)Λ>1,D<αμR0(μ+η)或者Λ<1,D>αμR0(μ+η) 時，正平衡點(diǎn)E2是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

定理3當(dāng)Λ>1,D<αμR0(μ+η)或者Λ<1,D>αμR0(μ+η)時，正平衡點(diǎn)E2是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

2帶時滯的SIRS模型

引入時滯反映模型的動力學(xué)行為是更合理的[9].事實(shí)上，時滯的引入使流行病數(shù)學(xué)模型更切合實(shí)際，說明了疾病潛伏期或者免疫期的作用.本文假設(shè)個體從易感者到感染者的流動受制于時滯.因此(2)引入時滯如下：

(3)

τ>0表示疾病的潛伏期，其他狀態(tài)變量和參數(shù)與系統(tǒng)(2)保持一致.系統(tǒng)(3)的初始條件是

S(θ)=?1(θ)>0,E(0)=E10≥0,I(θ)=?2(θ)≥0,(-τ≤θ≤0)

(4)

利用泛函微分方程的基本理論[10],系統(tǒng)(3)有滿足初始條件(4)的唯一解 .(詳見文獻(xiàn)[11]系統(tǒng)(3)滿足初始條件(4)的所有解都定義在 [0，∞)上，并且當(dāng)t≥0時所有解是正數(shù).

2.1正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

引理1令P(z)=b0zm+b1zm-1+…+bmQ(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn

其中b0≠0,c0≠0,n

引理2當(dāng)τ≥ 0時如果滿足Pi>0,i=1,2,3,p1p2-p3>0, 那么方程λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0的所有根不具有正實(shí)部。

不失一般性地，令此方程的一個根是λ=iω(ω>0)當(dāng)且僅當(dāng)

-ω3i-p1ω2+p2iω+p3+(-q1ω2+q2iω+q3)(cosωτ-isinωτ)=0

分離根的實(shí)部和虛部，得到

將兩個等式平方再相加，得

(5)

令z=ω2,方程(6)變成一個關(guān)于z的三次等式

f(z)=z3+pz2+qz+r=0

(6)

根據(jù)文[5]的引理3.3.1和文[6]的引理2.2得到以下引理.

引理3如果方程(6)

i)如下條件之一成立

a)r≥0,p≥0,q>0;b)r≥0,△=p2-3q≤0;

那么方程(6)沒有正實(shí)數(shù)解.

ii)如下條件之一成立

那么方程(6)有正實(shí)數(shù)解.

引理4一個三次超越方程

λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0

(7)

滿足pi>0,i=1,2,3,p1p2-p3>0，就有以下結(jié)論：

i)如下條件之一成立

a)r≥0,p≥0,q>0;b)r≥0,△=p2-3q≤0;

那么?τ≥ 0，方程(7)的所有根都有負(fù)實(shí)部.

ii)如下條件之一成立

那么對某些可能值τ，方程(7)的所有根有負(fù)實(shí)部.

下部分將直接引用這個引理確定一個三次超越多項(xiàng)式方程的所有根都有負(fù)實(shí)部的充分條件.另外，由定義1和引理4可知，以下引理給出兩種類型的穩(wěn)定.

引理5平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.2正平衡點(diǎn)E2的穩(wěn)定性

在E2處的特征方程是一個三次超越多項(xiàng)式方程

λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0

(8)

q1=B-Aq2=(2μ+η)B-(d+2μ+γ+η)A

q3=μ(μ+η)B-(γη-(μ+γ)(d+μ+γ))A

當(dāng)τ=0時(8)等價于(2).因此根據(jù)定理2，當(dāng)τ=0時E2是局部漸近穩(wěn)定的.

令(8)的根是λ=iω(ω>0)當(dāng)且僅當(dāng)

-ω3i-p1ω2+p2iω+p3+(-q1ω2+q2iω+q3)(cosωτ-isinωτ)=0

分離根的實(shí)部和虛部，得到

(9)

將兩個等式平方再相加，得

(10)

令z=ω2，方程(10)變成一個關(guān)于z的三次等式

f(z)=z3+pz2+qz+r=0

(11)

+AB(2μ(d+r)+5μ(μ+η)+2η(η+r))+B2((d+μ+r)2+(μ+η)2+2γη)

下面討論兩種情況：

μ2>(η+μ)2,B>A時，p>0,q>0,r≥0則有pi>0,i=1,2,3

因此，由引理4(a)可知，對 ?τ≥0，(8)的所有根都有負(fù)實(shí)部.再根據(jù)引理5(i)得到以下定理

定理4如果

那么 ,?τ≥0，時滯模型的正平衡點(diǎn)E2是絕對穩(wěn)定的.

時，r<0.由引理3(c)可知,(11)有正實(shí)根，即特征方程(8)有一對型如λ=±iω的純虛根.

把ω=ω0代入(9)解出τ，我們可以得到相應(yīng)的τk>0,k=0,1,2,…使得

其中pi,qi,i=1,2,3.根據(jù)引理4(c),當(dāng)τ∈[0,τ0)時(8)的所有根都具有負(fù)實(shí)部.于是，由引理5(ii)可推斷出以下定理：

為了分析分支情況，時滯作為時滯參數(shù)。令

λ(τ)=α(τ)+iω(τ),ω>0

反證法，假設(shè) λ(τ0)=iω0不是(8)的一個單根，(8)關(guān)于τ 求導(dǎo)

(12)

方程(12)變成

λ(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ0=0

(13)

把 λ=iω0代入(13),得到

(14)

把ω=ω0,τ=τ0代入(9)得

(15)

由此，我們可以推出

(16)

綜上所述，當(dāng) τ從小于 τ0微小地增加到大于τ0時特征方程(11)的根從左到右橫截穿過虛軸。因此，在τ=τ0時滿足Hopf分支[12]產(chǎn)生的條件.

根據(jù)以上定理4和定理5可以獲得以下定理.

定理6如果

那么?τ≥0， 時滯模型的正平衡點(diǎn)E2是絕對穩(wěn)定的。如果

那么時滯模型(3)的正平衡點(diǎn)E2是條件穩(wěn)定的，即當(dāng)τ∈[0,τ0)時E2是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)(3)在τ=τ0處產(chǎn)生Hopf分支。

參考文獻(xiàn)：

[1]Beretta E, Kolmanovskii V, Shaikhet L.Stability of epidemic model with time Delays Infuenced by stochastic perturbations[J]. Math Comput Simul,1998,45:269～277.

[2]Beretta E, Hara T, Ma W,et al. Global asymptotic stability of an SIR Epidemic model with distributed time delay[J]. Nonlinear Anal,2001,47:4107～4015.

[3]Cooke K , van den Driessche P. Analysis of an SEIRS epidemic model with two delays[J].J Math Biol,1996,35: 240～260.

[4]Jin Y,Wang W,Xiao S.An SIRS model With a nonliner incidence rate[J]. Chaos Solitons Fractals,2007,34:142～197.

[5]Zhang T,Liu J,Teng Z.Stability of Hopf bifurcation of a delayed SIRS epidemic model with stage Structure[J].Nonlinear Anal Real World Appl,2010,11:293～306.

[6]Song Y,Yan S.Bifurcation analysis in a predator-prey system with time delay[J]. Nonlinear Anal real word Appl,2006,7:265～284.

[7]Tipsri S, Chinviriyasit W.The effect of time delay on the dynamics of an SEIR model with nonlinear incidence[J].Chaos Soliton & Fractals,2015,75:153～172.

[8]Willems JL.Stability theory of dynamical systems[M].New York:Nelson,1970.

[9]Zhang J,Jin Z,Yan J,et al.Stability and Hopf bifurcation in a delayed competition system[J].Nonlinear Anal,2009,70:658～670.

[10]Hale JK.Theory of Functional Differential Equations[M].New York:Spring-Verlag,1977.

[11]Yoshida N,Hara T.Global stabilty of a delayed SIR epidemic model with density dependent birth and death Rate[J].Math Biosci 2007,201:339～347.

[12]Gatermann K, Eiswirth M,Sensse A.Toric ideals and graph theory to analyze Hopf bifurcations in massaction systems[J].J Symbolic comput, 2005,40:1361～1382.

[13]Anderson RM,May RM. Infectious Diseases of Humans:Dynamics and Control[M].New york:Oxford University Press Inc,1991.

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.016

中圖分類號：O193

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-2714(2016)01- 0083- 07

作者簡介：石棟梁(1987—)，男，湖北陽新人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c控制論.

收稿日期：2015—09—02