王　嫚,陳伯山

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石　435002)

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一類帶時(shí)滯的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸近穩(wěn)定性

王嫚,陳伯山

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石435002)

摘要：給出了一類帶脈沖的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)的存在唯一性條件.在假設(shè)系統(tǒng)右端的激活函數(shù)為齊次函數(shù)的前提下,利用同胚映射定理及Laypunov穩(wěn)定性定理,可得到新的穩(wěn)定條件來保證唯一存在的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的,最后,通過一個(gè)數(shù)值實(shí)例來說明文中的條件是有效的。

關(guān)鍵詞：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);齊次函數(shù);漸近穩(wěn)定;Laypunov函數(shù)

近年來,各種不同類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引起了越來越多學(xué)者的研究.其動(dòng)態(tài)特性尤其是平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,在各類實(shí)際問題如:信號(hào)傳遞、聯(lián)想記憶、優(yōu)化計(jì)算等都有廣泛應(yīng)用([1]-[5]).在這些應(yīng)用中,一般都期望所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.眾所周知,若系統(tǒng)中出現(xiàn)時(shí)滯量,則會(huì)導(dǎo)致其震蕩甚至動(dòng)態(tài)特性不穩(wěn)定,所以研究時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)解決實(shí)際問題有著重大意義.在文獻(xiàn)[1]-[9]中,針對(duì)不同的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性做出了研究,且得到了許多有用的穩(wěn)定性條件.本文研究的時(shí)滯脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的類型如下:

(1)

上述系統(tǒng)也可寫成如下向量矩陣的形式:

(2)

其中x(t)=(x1(t),x2(t)…xn(t))T是神經(jīng)元, f(x(t))=(f1(x1(t)),f2(x2(t))…fn(xn(t)))T和g(x(t-τ))=(g1(x1(t-τ)),g2(x2(t-τ))…gn(xn(t-τ)))T分別表示不帶時(shí)滯和帶時(shí)滯的激活函數(shù). h(x(t))=(h1(x1(t)),h2(x2(t))…h(huán)n(xn(t)))T代表非線性反饋函數(shù), A=(aij)n×n及B=(bij)n×n分別表示反饋矩陣和時(shí)滯反饋矩陣,τ≥0表示時(shí)滯參數(shù), u=(u1,u2,…un)T是外部輸入函數(shù), {tk} 是嚴(yán)格單調(diào)增數(shù)列,且當(dāng)k→+∞ 時(shí)tk→+∞ .

對(duì)向量V=(V1,V2,…,Vn)T及任意的實(shí)矩陣R=(rij)n×n,定義如下記號(hào):

正如在引言中介紹的,型如系統(tǒng)(1)的時(shí)滯脈沖模型的漸近穩(wěn)定性與齊次函數(shù)的性質(zhì)有關(guān),下面介紹齊次度的相關(guān)概念.

定義[10]-[11]若向量函數(shù) f(x)=(f1(x),f2(x),…fn(x))T:Rn→Rn對(duì)任意的λ>0及x∈Rn都滿足關(guān)系式:

f1(λm1x1,λm2x2,…,λmnxn)=λμ+mifi(x1,x2,…,xn)(mi>0,i=1,2,…n)則稱函數(shù)f(x) 為μ∈R次齊次函數(shù).

注：若fi(λmixi)=λμ+mifi(xi)(mi>0,i=1,2,…,n)對(duì)所有的λ>0及x∈Rn均成立,則稱函數(shù)f(x)=(f1(x1),f2(x2),…,fn(xn))為μ∈Rn次齊次函數(shù).在給出系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)的存在唯一性條件之前,先提出以下幾個(gè)假設(shè)及引理：

假設(shè)1非負(fù)反饋函數(shù)hi(·) 是斜率有界且滿足不等式：

i=1,2,…,n,?x,y∈B,x≠y，其中B為Banach空間.

假設(shè)2激活函數(shù)fi(·) ,gi(·)(i=1,2,…n)是Lipschtiz連續(xù)的，即存在一些正常數(shù)αi,βi,使得

|fi(x)-fi(y)|≤αi|x-y|,|gi(x)-gi(y)|≤βi|x-y|,?x,y∈B,x≠y

引理1如果映射φ(x)∈C0滿足如下條件：

i)對(duì)所有的x≠y有φ(x)∈φ(y);

ii)當(dāng) ‖x‖→∞ 時(shí) ‖φ(x)‖→∞.

則稱映射φ(x)是Rn上的同胚映射.

1平衡點(diǎn)的存在唯一性

定理1若假設(shè)1及假設(shè)2均成立。對(duì)于系統(tǒng)(1)，若滿足如下不等式：

Ψ=cmγm-αμM(A)-βμM(B)>0

則時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)存在且唯一.

其中cm=min{c1,c2,…,cn}γm=min{γ1,γ2,…,γn}

α=max{α1,α2,…,αn}β=max{β1,β2,…,βn}

μM(A)=max{‖A‖1,‖A‖∞},μM(B)=max{‖B‖1,‖B‖∞}

證明利用同胚映射定理，易證明系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)是存在且唯一的。下面定義一個(gè)與系統(tǒng)(2)有關(guān)的映射：

φ(x)=-ch(x(t))+Af(x(t))+Bg(x(t))+u

(3)

假設(shè)x*為系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn),則

φ(x*)=-ch(x*)+Af(x*)+Bg(x*)=0

顯而易見,系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)即是方程φ(x)=0 的解.因此,系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)的存在唯一性問題等價(jià)于方程φ(x)=0 的根是存在且唯一的.根據(jù)引理1可知,只需證明映射φ(x) 是同胚映射即可.

對(duì)任意的x∈Rn,y∈Rn,且x≠y由(3)定義的映射φ(x) 可知：

φ(x) -φ(y)=-c(h(x(t))-h(y(t)))+A(f(x(t))-f(y(t)))+B(g(x(t))-g(y(t)))

(4)

對(duì)上式兩邊同乘以(x-y)T可得

(x-y)T(φ(x) -φ(y))=-c(x-y)(h(x(t))-h(y(t)))+(x-y)A(f(x(t))-f(y(t)))+

(x-y)B(g(x(t))-g(y(t)))=

因?yàn)閔(x)是斜率為正的函數(shù),f(x),g(x)是Lipschtiz連續(xù)的,因此

與上式的方法類似,可得

綜合考慮以上不等式,可得

若x≠y,由Ψ>0 可知(x-y)T( φ(x) -φ(y))<0.因此,對(duì)所有的x≠y, 都有φ(x) ≠φ(y).

令y=0 則xT(φ(x) -φ(0)) ≤- Ψ‖x‖2.因此

從上述這些不等式,可知

‖x‖‖φ(x) -φ(0)‖≥Ψ‖x‖

由三角不等式,可知

‖φ(x)‖≥Ψ‖x‖-‖φ(0)‖

因此,當(dāng)‖x‖ →∞ 時(shí)‖φ(x)‖→∞ .

綜合上述的證明過程,可知 φ(x)是同胚映射。換句話說,系統(tǒng)(1)有且只有一個(gè)平衡點(diǎn)。

2平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性

令 x*為系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)。對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行線性變換,通過變換 yi(t)=xi(t)-x*,系統(tǒng)(1)可被改寫成如下形式:

(5)

其中

此外,必須指出的是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性等價(jià)于系統(tǒng)(5)的零解的穩(wěn)定性,且函數(shù) hi(·)、 fi(·)、gi(·)(i=1,2,…,n)經(jīng)過線性轉(zhuǎn)換后仍然滿足假設(shè)1及2,即對(duì)任意的x∈B 有

Hi(0)=0,Fi(0)=0,Gi(0)=0

假設(shè)3函數(shù)Hi(·),Fi(·),Gi(·)對(duì)所有的x,y ∈都是連續(xù)的,并且都是μ次齊次函數(shù).

定理2令假設(shè)1成立.對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(5),如果不等式

Ψ=cmγm-αμM(A)-βμM(B)>0

成立，則(5)的零解是漸近穩(wěn)定的。

證明構(gòu)造如下形式的正Lyapunov函數(shù)：

假設(shè)存在某些正常數(shù)a1,a2使得對(duì)所有的y(t) ∈Rn有

a1r(y(t)) ≤V(y(t))≤a2r(y(t))

(6)

計(jì)算函數(shù)V(t,y(t)) 關(guān)于系統(tǒng)(5)的導(dǎo)數(shù),可得

令x(t) 為系統(tǒng)(5)的一個(gè)解.存在一個(gè)常數(shù)δ>0 ,假設(shè)不等式r(x(ξ))<δ和Razumikhin條件V(x(ξ))<2V(x(t))對(duì)任意的ξ∈[t,t-2τ]均成立.將不等式(6)和Razumikhin條件結(jié)合起來,可得到

a1r(y(ξ))≤V(y(ξ))≤ 2V(y(t)) ≤ 2a2r(y(t))

另一方面,

由上述證明過程及結(jié)果可知,系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

3數(shù)值實(shí)例

在這一小節(jié)中,將會(huì)給出一個(gè)數(shù)值實(shí)例來說明本章定理中結(jié)論的正確性。考慮以下的脈沖時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

(7)

當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),hi(xi(t))=fi(xi(t))=gi(xi(t))=1(i=1,2,)系統(tǒng)(7)也沒有解;

4總結(jié)

本文討論的是時(shí)滯脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性,基于同胚映射定理及Lyapunov穩(wěn)定性定理,可得到時(shí)滯脈沖系統(tǒng)的平衡點(diǎn)存在且唯一的有效條件.本文的特點(diǎn)是將激活函數(shù)與齊次函數(shù)結(jié)合在一起,這在前文中是極少用到的.

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doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.015

中圖分類號(hào)：O175．13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-2714(2016)01- 0078- 05

作者簡介：王嫚(1991—)，女，湖北孝感人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c控制論.

收稿日期：2015—12—08