黃華英, 陳伯山, 龔純浩, 石棟梁

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石　435002)

?

一類(lèi)具有雙線(xiàn)性發(fā)生率的時(shí)滯SVIR模型的動(dòng)力學(xué)行為

黃華英, 陳伯山, 龔純浩, 石棟梁

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石435002)

摘要：研究了一類(lèi)具有雙線(xiàn)性發(fā)生率的時(shí)滯SVIR傳染病模型.以時(shí)滯為參數(shù),運(yùn)用時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性理論得到正平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定和Hopf分支存在的充分條件,應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)型理論和中心流形定理導(dǎo)出分支周期解屬性的公式,最后數(shù)值模擬證明結(jié)果.

關(guān)鍵詞：時(shí)滯;Hopf分支;基本再生數(shù);穩(wěn)定性;分支方向

近年來(lái)，傳染病模型中引入時(shí)滯恰當(dāng)?shù)孛枋隽思膊母腥镜桨l(fā)病以及個(gè)體從接種到再次成為感染者的這些現(xiàn)象，深入而詳盡地考慮了傳染病流行過(guò)程中潛伏期的問(wèn)題.經(jīng)研究時(shí)滯能破壞SIRS模型的穩(wěn)定性并且使其產(chǎn)生Hopf分支[1-4].而在傳染病的模型中，發(fā)生率起到關(guān)鍵的作用，經(jīng)典疾病傳播的模型都假定傳染率是線(xiàn)性的[5～6].因此,本文考慮一類(lèi)具有雙線(xiàn)性發(fā)生率的時(shí)滯SVIR傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為. 為了方便起見(jiàn),基本發(fā)生率選取經(jīng)典傳染病模型中經(jīng)常采用的最簡(jiǎn)單物質(zhì)作用率-雙線(xiàn)性形式.如文獻(xiàn)[7]所述,Li研究了一類(lèi)具有雙線(xiàn)性發(fā)生率的SVIR模型

(1)

這里A是易感者增加的人數(shù)(由于新生或者移居)， β和 βδ(0<δ<1)分別表示易感染人群和接種人群中的疾病傳播率，假設(shè)自然死亡率是常數(shù) μ， γ是感染者的恢復(fù)率, q(0≤q≤1)表示新生兒中接種疫苗率; p(0≤p≤1)表示易感染人群的接種疫苗率; ε表示接種人群中失去免疫能力的比例.有關(guān)這個(gè)模型的詳細(xì)描述和生物動(dòng)力學(xué)意義見(jiàn)文獻(xiàn)[7].模型(1)中的所有相關(guān)參數(shù)和狀態(tài)變量都是非負(fù)數(shù).

據(jù)了解系統(tǒng)(1)中最后一個(gè)等式不依賴(lài)前三個(gè)等式，不失一般性，這個(gè)等式可以被忽略.所以系統(tǒng)(1)等價(jià)于

(2)

本文在模型(2)的基礎(chǔ)上考慮具有潛伏期的傳染過(guò)程對(duì)流行病的影響.

(3)

τ>0表示疾病的潛伏期，其他狀態(tài)變量和參數(shù)與系統(tǒng)(1)保持一致.系統(tǒng)(3)的初始條件是

S(θ)=Φ1(θ)>0,V(0)=V10≥0,I(θ)=Φ2(θ)≥0,(-τ≤θ≤0)

本文以時(shí)滯τ為參數(shù),對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行分析.在第1節(jié),以Cooke[8]的方法為基礎(chǔ),討論(3)的穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性;在第2節(jié),利用Hassard[9]等所介紹的規(guī)范型理論,討論了有關(guān)(3)的Hopf分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性;最后數(shù)值模擬驗(yàn)證所得理論結(jié)果.

1正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性

I*

c0=σ(μ+γ)

c1=(μ+γ)[(μ+ε)+σ(μ+p)]-βσA

c2=(μ+γ)[(μ+ε)+(μ+p)-pε]-βA[ε+μ-μ2q+σ(p+μ2q)]=

μ(μ+γ)(μ+p+ε)(1-R0)

令x(t)=S(t)-S*,y(t)=V(t)-V*,z(t)=I(t)-I*,系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

(4)

在E*處的特征方程是一個(gè)三次超越多項(xiàng)式方程

λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0

(5)

其中p1=2μ+p+ε+βσI*

p2=μ(μ+ε+βσI*)+p(μ+βσI*)+β2σ2I*V*

p3=(μ+p)(μ+ε+βσI*+β2σ2I*V*)+εβ2σI*V*

q1=βI*

q2=βI*(μ+ε+βσI*+βS*)

q3=βI*[(μ+ε+βσI*+β2σ2I*V*)+pβσS*+βS*(μ+ε+βσI*)]

當(dāng)τ=0時(shí)(5)即為

λ3+(p1+q1)λ2+(p2+q2)λ+(p3+q3)=0

(6)

若(μ-1)(μ+p)(μ+ε+βσI*)>(1-σ)εβI*βσV*,則方程(6)所有的根均具有負(fù)實(shí)部.

當(dāng)τ>0時(shí),令(6)的根是λ=iω(ω>0),分離實(shí)部和虛部，得

(7)

等價(jià)于

(8)

令y1=ω2方程(8)降階成一個(gè)關(guān)于y1的三次等式

(9)

引理1[10]關(guān)于方程(9)有以下結(jié)論:

1)若l<0,則方程至少有一個(gè)正根;

2)若l≥0,△≤0,則方程沒(méi)有正根;

假設(shè)方程(9)有正根,最多有3個(gè)正實(shí)根,即特征方程(5)有一對(duì)型如λ=±iω的純虛根.把ω=ω0代入(7)解出τ，我們可以得到相應(yīng)的τk>0,k=1,2,…使得

(10)

根據(jù)引理1,當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)(5)的所有根都具有負(fù)實(shí)部.

為了分析分支情況，時(shí)滯τ作為時(shí)滯參數(shù).令

反證法，假設(shè)λ(τ0)=iω0不是(7)的一個(gè)單根,(7)關(guān)于τ求導(dǎo)

(11)

則λ(q1λ3+q2λ+q3)e-λτ0=0

(12)

代入λ=iω0得

(13)

定理1若R0>1,(μ-1)(μ+p)(μ+ε+βσI*)>(1-σ)εβI*βσV*滿(mǎn)足,則有

1)若l≥0，△≤0,則對(duì)所有的τ≥0，時(shí)滯模型(3)的正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的;

2Hopf分支方向和周期軌道的穩(wěn)定性

在第1節(jié)中我們得到了當(dāng)τ=τ0時(shí)時(shí)滯系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)E*處會(huì)產(chǎn)生Hopf分支的條件. ±iω0是E*處相應(yīng)特征方程的一對(duì)純虛根.然而定理1不能確定分支周期解的穩(wěn)定性和方向，即當(dāng)τ0<τ且τ在τ0附近時(shí)周期解也許存在.所以這個(gè)部分通過(guò)Hassard[3]介紹的規(guī)范型理論和中心流形定理分析時(shí)滯模型的分支周期解的方向、穩(wěn)定性和周期.

u'(t)=Lμ(ut)+f(μ,ut)

(14)

u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈R3,Lμ:C→R3,f:R×C→R3

(15)

f(μ,φ)=(τ0+μ)(f1,f2,f3)T

(16)

其中a11=-(μ+p),a12=ε,a21=p,a22=-βσI*-(μ+ε)

a23=-βσV*,a31=βI*,a32=βσI*,b11=-βI*,b13=βS*

f1=-βφ1(-1)φ3(-1),f2=-βσφ2(0)φ3(0)

f3=βφ1(0)φ3(0)+βσφ2(0)φ3(0)

由Riesz表示定理，存在分量為有界變差函數(shù)的三階矩陣η(θ,μ)使得對(duì)任意的θ∈[-1,0],φ∈C, 有

(17)

事實(shí)上只需取

(18)

其中 δ為狄利克雷函數(shù).對(duì)φ∈C1[-1,0] ;R3) ，定義

(19)

(20)

由如上定義可知系統(tǒng)(14)等價(jià)于

u't=A(μ)ut+R(μ)ut

(21)

這里ut(θ)=u(t+θ),θ∈[-1,0] .對(duì)Ψ∈C*=C1([0,1],(R3)*) 定義

(22)

定義雙線(xiàn)性積

(23)

其中η(θ)=η(θ,0) 則 ±iω0τ0是共軛算子A(0)?A 和A*的特征值.

接下來(lái).與Hassard[3]相同的，我們先計(jì)算μ=0時(shí)的中心流形C0.

令ut是μ=0 時(shí)(21)的解，且定義

z(t)=

(24)

(25)

在中心流形C0上，

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

由(24)和(26)知

(31)

再結(jié)合(16),比較(30)和(31)的系數(shù)可得

(32)

(33)

(34)

(35)

現(xiàn)在我們計(jì)算g21中的W20(θ),W11(θ) .把(21)和(28)代入(25)得

(36)

(37)

代入(27),(37)到(36)和比較以下系統(tǒng)的系數(shù)得

(38)

由(36)知,當(dāng)θ∈[-1,0)時(shí),

(39)

比較(37)和(39)的系數(shù)可得

(40)

(41)

由A(0) 的定義及(38),(40),(41)知

(42)

(43)

上面方程與(37)比較系數(shù)可得

由A(0)的定義及(38)知，

(44)

(45)

代入(42)到(44)

(46)

(47)

因此，E1,E2可分別通過(guò)解線(xiàn)性方程組(46)和(47)來(lái)確定,從而得到(42),(43)的W20(θ),W11(θ) ，于是可以用參數(shù)和時(shí)滯來(lái)表示(35)的g21.由以上分析，(32)-(34)中,g20,g11,g21都可由系統(tǒng)的參數(shù)來(lái)表示，所以，我們能計(jì)算得出以下值：

(48)

由文獻(xiàn)[9]中的一般性定理知道μ2決定Hopf分支方向:如果μ2>0(<0)，Hopf分支是超臨界(亞臨界)的;β2決定分支周期解的穩(wěn)定性：如果β2<0(>0) 那么分支周期解是穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的;T2決定分支周期解的周期：如果T2>0(<0) 那么周期增加(減少).

3數(shù)值模擬

考慮以下系統(tǒng)

(49)

經(jīng)計(jì)算系統(tǒng)(3)存在唯一的正平衡點(diǎn)E*=(0.3085,0.5831,1.6828) .此時(shí)R0≈ 3.3>1和(μ-1)(μ+p)(μ+ε+βσI*)>(1-σ)εβI*βσV*同時(shí)成立,特征方程(5)有一對(duì)純虛根λ≈±3.157i,從而τ0≈0.4713 .由定理1可知,當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的;當(dāng)0<τ<τ0時(shí),系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ=τ0時(shí),系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)E*附近發(fā)生Hopf分支現(xiàn)象.根據(jù)以上我們討論的情況可以計(jì)算出:C1(0)≈-3.7274-18.9295i;μ2=-0.8809<0;β2=-7.4548<0;T2=15.1005>0.

因此,系統(tǒng)(3)在正平衡點(diǎn)E*處發(fā)生的Hopf分支是亞臨界的,其周期解是穩(wěn)定的,周期增加.

參考文獻(xiàn):

[1]Tipsri S,Chinviriyasit W. The effect of time delay on the dynamics of an SEIR model with nonlinear incidence[J].Chaos,Solitona&Fractals,2015,75:153～172.

[2]Muroya Yoshiaki.Stability analysis of a delayed multi-group SIS epidemic model[J]. J Math Anal Appl, 2015,425:415～439.

[3]Xu Rui,Ma Zhien.Stability of a delayed SIRS epidemic model with a nonlinear incidence rate[J].Chaos, Solitons and Fractals, 2009,41:2319～2325.

[4]Zhang Guodong, Zhu Lulu, Chen Boshan. Hopf bifurcation in a delayed differential-algebraic biological economic system[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications,2011,12:1708～1719.

[5]Chen Lijuan, Sun Jitao.Global stability and optimal control of an SIRS epidemic model on heterogeneous networks[J]. Physica A, 2014,410:196～204.

[6]Wang Jianrong, Wang Jianping.Global stability analysis of an SIR epidemic model with demographics and time delay on networks[J]. Physica A, 2014,410:268～275.

[7]Li Jianquan,Yang YaLi.Global stability of an SVIR epidemic model with vaccination[J].Ann of Diff Eqs, 2011,27(2):162～168.

[8]Cooke K,Grosssman Z.Discrete delay,distributed delay and stability switches[J].Journal of Mathematical Analysis and Apllication,1982,86(2):592～627.

[9]Hassard B,Kazarinoff D,Wan Y.Theory and Application of Hopf Bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981.

[10]孫海慈, 徐瑞.一類(lèi)具時(shí)滯和非線(xiàn)性發(fā)生率的生態(tài)流行病模型的穩(wěn)定性和Hopf 分支[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2014,29(4):603～612.

Dynamics of an SVIR model with time delay and a bilinear incidence rate

HUANG Hua-ying, CHEN Bo-shan, GONG Chun-hao,SHI Dong-liang

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002,China)

Abstract:An SVIR model with time delay and a bilinear incidence rate is considered.By choosing time delay as the bifurcation parameter and analyzing the corresponding characteristic equation,the local stability of the positive equilibrium is investigated and the existence of Hopf bifurcations is established.Formulas are derived to determine the direction of bifurcations and the stability of bifurcating periodic solutions by using the normal form theory and center mainfold theorem.Numerical simulations are carried out to illustrate the main theoretical results.

Key words:time delay;Hopf bifurcation;basic reproductive number;stability;direction of bifurcation

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.014

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.12

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-2714(2016)01- 0071- 07

作者簡(jiǎn)介：黃華英(1990—)，女，湖北大冶人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c控制論.

收稿日期：2015—11—19