龔純浩, 陳伯山, 黃華英, 石棟梁

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,，湖北 黃石　435002)

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一類具有Allee效應(yīng)的食餌-捕食者微分生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分支分析

龔純浩, 陳伯山, 黃華英, 石棟梁

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,，湖北 黃石435002)

摘要：主要研究了一類具有 Allee效應(yīng)的食餌-捕食者微分生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，通過微分代數(shù)系統(tǒng)理論和 Hopf分支理論,得到了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)穩(wěn)定的的條件,然后以經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)為分支參數(shù)得到了系統(tǒng)產(chǎn)生 Hopf分支的條件,最后,數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：Allee效應(yīng);微分生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng); Hopf分支

0引言

種群生物學(xué)是研究生物種群的結(jié)構(gòu)、種群中個(gè)體間的相互關(guān)系、種群與環(huán)境的關(guān)系等.種群生物學(xué)中生態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以分為以下三種:競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)、互利共生系統(tǒng)、食餌-捕食者系統(tǒng).其中食餌-捕食者系統(tǒng)的研究較為廣泛,在 Lotka-volterra模型的基礎(chǔ)上,人們考慮了密度制約, Allee效應(yīng),收獲,經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)等因素的影響,得到了一系列豐富的動(dòng)力學(xué)行為,如Hopf分支,周期解等[1～3].進(jìn)一步,把陳[4]關(guān)于微分代數(shù)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型理論應(yīng)用到生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中,張等人研究了一類帶有收獲的食餌-捕食者微分生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)[5～7].

本文研究的模型基于一類具有Allee 效應(yīng)的食餌-捕食者系統(tǒng)[8]，考慮到經(jīng)濟(jì)效益，利用Gorden提出的經(jīng)濟(jì)理論[9],將食餌具有收獲努力的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)v的代數(shù)方程聯(lián)立得到一個(gè)具有 Allee效應(yīng)的食餌-捕食者微分生態(tài)經(jīng)濟(jì)模型如下

(1)

g(v,X)=E(px-c)-v,X=(x,y,E)T

1局部穩(wěn)定性分析

點(diǎn)X0=(x0,y0,E0)是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)X0滿足下面方程：

(2)

解得

由生態(tài)學(xué)意義,我們只討論內(nèi)平衡點(diǎn)，即食餌，捕食者,人為收獲均存在.因此令

用D 表示導(dǎo)運(yùn)算, DXg表示g對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù)矩陣.考慮以下矩陣

(3)

由上面我們知道

通過計(jì)算得系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)為

下面我們對(duì)系統(tǒng)(3)采用局部參數(shù)化方法

h:R2→R2是一個(gè)光滑映射,則系統(tǒng)(3)的參數(shù)化系統(tǒng)可表示為：

(4)

詳見參考文獻(xiàn)[9].

證參數(shù)化系統(tǒng)(4)在Y=0 處的Jacobian 矩陣 A(v)有以下形式：

所以矩陣A(v) 的特征方程為

λ2+a1(v)λ+a2(v)=0

(5)

其中，

2Hopf分支分析

(6)

其中ω0=ω(v0).可以證明參數(shù)化系統(tǒng)(4)有如下形式:

(7)

下面我們將計(jì)算系統(tǒng)(7)的各項(xiàng)系數(shù).通過計(jì)算我們得到:

(8)

(9)

和標(biāo)準(zhǔn)型(6)比較，利用非奇異的線性變換將參數(shù)化方程(9)標(biāo)準(zhǔn)化,令

(10)

由標(biāo)準(zhǔn)型(10)和 Hopf分支定理[12],我們得到定理2.

定理2對(duì)于系統(tǒng)(1),存在一個(gè)正常數(shù)ε和正平衡點(diǎn)X0(v) 的兩個(gè)足夠小的領(lǐng)域:M 和 N,0<ε?1,M?N

i)當(dāng)v0

i)當(dāng)0-ε

證明從(6)和(10)有

由Hopf 分支定理[12],我們需要計(jì)算出參數(shù)a:

接下來將討論a>0,a<0兩種情況，討論的過程與文獻(xiàn)[12]中的 Hopf分支定理的證明類似，故在此省略.

3數(shù)值模擬

這一部分,利用 Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真,令r=3,a=5,d=2,b=4,h=1,g=1,p=1,c=0.55,則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(11)

易得系統(tǒng)(11)存在一個(gè)正平衡點(diǎn)X0=(1,0.020,0.88) ,分支值v0=0.039375 .

因此,如圖1～3所示,我們驗(yàn)證了定理1和定理2,即當(dāng)v=0.0355 v0時(shí),系統(tǒng)(11)的正平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

圖1　在v=0.0355

圖2　在v=0.0411

圖3　在v=0.0393 >v0,系統(tǒng)(11)的正平衡點(diǎn)X0是不穩(wěn)定的

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Princeton:Springer-Verlag, 1983.

Hopf bifurcation for a predator-prey biological economicsystem with Allee

GONG Chun-hao, CHEN Bo-shan, HUANG Hua-ying, SHI Dong-liang

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002，China)

Abstract:In this paper, we consider a predator-prey biological economic system with Allee.By using the differential-algebraic system theory and Hopf bifurcation theory, the conditions for the existence of the positive equilibrium is obtained. Then,we choose the economic profit as birfurcation parameter and analysis the stability and the Hopf bifurcation. At last, numerical simulations are performed to illustrate the analytical results.

Key words:Allee;differential-algebraic biological economic system; Hopf bifurcation

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.013

中圖分類號(hào)：O175.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-2714(2016)01- 0064- 07

作者簡(jiǎn)介：龔純浩(1990—)，男，湖北黃岡人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c控制論.

收稿日期：2015—12—08