☉江蘇省江陰市南閘實(shí)驗(yàn)學(xué)校　李　雷

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透過(guò)數(shù)學(xué)現(xiàn)象抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)

☉江蘇省江陰市南閘實(shí)驗(yàn)學(xué)校李雷

在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，不要被表面現(xiàn)象所迷惑.要注意能夠透過(guò)數(shù)學(xué)現(xiàn)象揭示其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，并利用揭示的數(shù)學(xué)規(guī)律解決問(wèn)題，方能以一擋十，以不變應(yīng)萬(wàn)變.下面以一道中考題的解決為例進(jìn)行說(shuō)明.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

題目（2013年湖北武漢）已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G.

（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：

（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形.試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得成立？并證明你的結(jié)論.

（3）如圖3，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°， DE⊥CF.請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.

圖1

圖2

圖3

二、解法探究

分析：（1）線段DE、AD在Rt△ADE中，CF、CD在Rt△CDF中，結(jié)合圖形可證明Rt△ADE和Rt△CDF這兩個(gè)直角三角形相似.（2）圖2與圖1相比，四邊形的形狀發(fā)生了變化（矩形變成平行四邊形），而兩個(gè)圖形中的結(jié)論相同，因此在探求∠B與∠EGC滿足的關(guān)系式時(shí)，可以借助圖1尋找.而圖1中∠B=90°，∠EGC=90°，因此∠B與∠EGC既滿足∠B=∠EGC，又滿足∠B+∠EGC=180°.而“∠B+∠EGC=180°”更具有一般性（∠B=∠EGC包含在∠B+∠EGC=180°這個(gè)關(guān)系式中），于是我們猜想當(dāng)∠B與∠EGC滿足“∠B+∠EGC=180°”時(shí)成立.在證明時(shí)，雖然DE、AD在△ADE中，CF、CD在△CDF中，但從已知條件無(wú)法證明這兩個(gè)三角形相似，需要另辟蹊徑.而從已知條件我們可以快速得到兩對(duì)相似三角形：△ADE∽△GDF，△DCG∽△FCD.這兩對(duì)相似三角形中出現(xiàn)了待證比例式中有關(guān)的線段和公共線段DG、DF，可以通過(guò)公共（線段）比的轉(zhuǎn)換進(jìn)行證明.如果再能注意到雖然從已知條件無(wú)法證明△ADE與△CDF這兩個(gè)三角形相似，但這兩個(gè)三角形中的角具有如下關(guān)系：∠AED=∠DFC，∠A+∠ADC=180°.因此可采用翻折的方法構(gòu)造與△ADE或△CDF相似的三角形；（3）四邊形ABCD是不規(guī)則的四邊形，需要將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的四邊形.注意到∠BAD=90°，DE⊥CF，將這些條件與圖1發(fā)生聯(lián)系，可過(guò)點(diǎn)C分別作AB、AD的垂線，也可過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線，通過(guò)構(gòu)造矩形求解.

解：（1）由已知條件易證∠ADE=∠DCF.而∠A=∠CDF=90°，所以△ADE∽△DCF，所以

證法1：由∠B+∠EGC=180°，∠B+∠A=180°，∠EGC=∠DGF，得∠A=∠DGF.而∠ADE=∠FDG，所以△ADE∽△GDF，所以.由∠B+∠EGC=180°，∠DGC+∠EGC=180°，∠B=∠CDF，得∠DGC=∠CDF.而∠DCG=∠DCF，所以△DCG∽△FCD，所以.所以

圖4

證法2：在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使CM=CF，如圖4，則∠CFM= ∠M.由∠B +∠EGC =180°，得∠BCF+∠BEG=180°.又∠AED+∠BEG=180°，∠BCF= ∠CFM，所以∠AED=∠CFM=∠M.而∠A=∠CDM，所以△ADE∽△DCM.所以

證法3：在AB的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N，使DE=DN，如圖5，證明過(guò)程留給讀者完成.

圖5

圖6

（3）連接BD，由BA=BC，DA=DC，易證△BAD≌△BCD，所以∠BCD=90°.

過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，CN⊥AD于點(diǎn)N，如圖6，則四邊形AMCN是矩形.易證△CMB∽△CND，所以.設(shè)CM=3k，則CN=4k，所以BM=AM-AB=CN-AB=4k-6.在Rt△CBM中，由勾股定理，得（4k-6）2+（3k）2=62，解得k=，所以CN=4×由∠BAD+∠EGF=180°，得∠AED+∠AFC=180°.又∠DFC+ ∠AFC=180°，所以∠AED=∠DFC.又∠BAD=∠CNF= 90°，所以△AED∽△NFC.所以

點(diǎn)評(píng)：本例是一道變式題，從問(wèn)題（1）到問(wèn)題（3），問(wèn)題設(shè)置難度呈梯度上升，解答下一問(wèn)要充分利用上一問(wèn)的解答思路或結(jié)論.實(shí)際上，本題的雛形問(wèn)題為：如圖7，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的兩點(diǎn)，且AE⊥BF，AE、BF相交于點(diǎn)O.求證：AE=BF.問(wèn)題（1）實(shí)際是將雛形問(wèn)題中的正方形弱化成矩形，問(wèn)題（2）將矩形進(jìn)一步弱化成平行四邊形，問(wèn)題（3）則是對(duì)線段比例關(guān)系式的應(yīng)用.

圖7

三、抽象數(shù)學(xué)本質(zhì)（數(shù)學(xué)規(guī)律）

變式題應(yīng)關(guān)注在變化中不變的本質(zhì)，在變化中發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律，從而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，提升問(wèn)題解決能力.

圖8

原中考題揭示這樣一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律：如圖8，在平行四邊形ABCD中，E、F是AB、CD邊上的點(diǎn)，M、N分別是AD、BC邊上的點(diǎn)，EF與MN交于點(diǎn)G.如果∠B與∠EGN滿足關(guān)系式∠B+∠EGN=180°，則.結(jié)合圖2和線段的平移知識(shí)這個(gè)規(guī)律不難理解.

四、利用數(shù)學(xué)規(guī)律解釋數(shù)學(xué)現(xiàn)象（或解決問(wèn)題）

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了應(yīng)用.其中利用數(shù)學(xué)規(guī)律解釋一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象，或者解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的一種有效途徑.

問(wèn)題（3）的解法說(shuō)明這樣一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象：如圖9，在矩形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，M是AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EM⊥CF，則.利用線段的平移（如圖10）和上面的數(shù)學(xué)規(guī)律不難解釋.

圖9

圖10

圖11

問(wèn)題（3）也可以這樣作輔助線：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交MC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，如圖11.利用上面的規(guī)律立刻可得

如圖12，在正方形ABCD中，E、F在邊AB、CD上，M、N在邊AD、BC上，則EF=MN.這可作為上面數(shù)學(xué)規(guī)律的一個(gè)特例.

圖12

圖13

圖14

如圖13，點(diǎn)P是長(zhǎng)方形ABCD對(duì)角線上任意一點(diǎn)，PQ⊥PC交直線AB于點(diǎn)Q.求證：

本題若按常規(guī)方法，需要連接CQ，證明B、C、P、Q四點(diǎn)共圓.然后利用圓周角定理得∠CQP=∠CBP.而∠CBP=∠ADB，所以∠CQP=∠ADB.而tan∠CQP=tan∠ADB=，所以.由于四點(diǎn)共圓的知識(shí)初中教材沒(méi)有涉及，學(xué)生不易想到.而利用上面的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行證明非常簡(jiǎn)單.

如圖14，延長(zhǎng)CP交AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)QP交CD于點(diǎn)F，則.所以.利用上面的規(guī)律，得