☉廣州市天河區(qū)教育局教研室　劉永東

?

簡(jiǎn)化·簡(jiǎn)至——數(shù)學(xué)小專題復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施策略

☉廣州市天河區(qū)教育局教研室劉永東

一、寫(xiě)在前面

小專題復(fù)習(xí)教學(xué)一直是筆者倡導(dǎo)的一種復(fù)習(xí)教學(xué)方式，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)大基礎(chǔ)復(fù)習(xí)教學(xué)的一種補(bǔ)充，特別是在中考總復(fù)習(xí)中使用，提升學(xué)生思維的效果尤其顯著.學(xué)校流行使用“基礎(chǔ)—專題—模擬”的中考三輪復(fù)習(xí)法，總是以大專題復(fù)習(xí)來(lái)提升學(xué)生的思維，然而，思維不可能在不到一個(gè)月的簡(jiǎn)短時(shí)間內(nèi)得到快速提升，由此，筆者提出專題復(fù)習(xí)需要穿插到日常階段的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中，而且是做小專題設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)施.

小專題指的是：以解決一道中等題目為主基調(diào)，先讓學(xué)生“退”到解決題目的最基本概念或原理的回歸性學(xué)習(xí)，再用一條清晰的主線串聯(lián)這些概念或原理，“進(jìn)”到原題中解決問(wèn)題，即“以退為進(jìn)”；在設(shè)計(jì)上，要求簡(jiǎn)化原題，通過(guò)設(shè)計(jì)在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的簡(jiǎn)單題目，以突出核心知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的思維訓(xùn)練，即“以小見(jiàn)大”.對(duì)此，筆者曾撰兩篇文章做詳細(xì)闡述（詳見(jiàn)文獻(xiàn)1和2）.

然而，事物總是在辯證發(fā)展中得到完善，兩三年的更進(jìn)一步研究，筆者又有新的認(rèn)識(shí)，本文以“相似三角形中的分類問(wèn)題”為例，簡(jiǎn)述更新的理念，與同行交流.

二、以“簡(jiǎn)化”清晰簡(jiǎn)單思維

小專題復(fù)習(xí)是把數(shù)學(xué)思想融入到簡(jiǎn)單題中去深化核心知識(shí)，注重串聯(lián)概括以促進(jìn)思維提升，在簡(jiǎn)化中做到簡(jiǎn)至.簡(jiǎn)至的本意是指治事簡(jiǎn)易，思想通達(dá)，在此意為教學(xué)簡(jiǎn)易，自始至終在數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)下通達(dá)學(xué)生思維.

1.課例設(shè)計(jì)簡(jiǎn)案

環(huán)節(jié)1：以退為進(jìn).

（1）回答下列問(wèn)題：

①如圖1，△ABC與△DEF相似嗎？為什么？

②如圖2，△ABC與△DEF相似嗎？為什么？

（2）如圖3，已知Rt△ABC，BC=2，AB=3，∠B=90°，在網(wǎng)格內(nèi)，畫(huà)一個(gè)Rt△DEF，其中，直角邊DE=6，∠D=90°，且與△ABC相似.

圖1

圖2

圖3

圖4

環(huán)節(jié)2：以小見(jiàn)大.

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，說(shuō)出這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出PA長(zhǎng).

備注：小專題為連堂課，設(shè)置以退為進(jìn)、以小見(jiàn)大、變式遷移和技能訓(xùn)練四個(gè)環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)3、4為第二課時(shí)練習(xí)的內(nèi)容，主要是設(shè)計(jì)新的問(wèn)題情境進(jìn)行變式遷移，鞏固以小見(jiàn)大的思想意識(shí)，讓學(xué)生加深對(duì)思想的領(lǐng)悟，難度也不大.并通過(guò)技能訓(xùn)練讓不同層次的學(xué)生體悟數(shù)學(xué)思想，更進(jìn)一步加強(qiáng)解題經(jīng)驗(yàn)，此處略.

2.設(shè)計(jì)實(shí)施簡(jiǎn)析

從設(shè)計(jì)上看，前兩個(gè)環(huán)節(jié)體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的四個(gè)目標(biāo)層次，第（1）題的第①問(wèn)是了解層次，第1題的第②問(wèn)是理解層次，第（2）題是掌握層次，第（3）題則是應(yīng)用層次，突出了進(jìn)退分明的目標(biāo)層次要求，筆者曾以一對(duì)全等三角形的模型組成四組圖形（圖5）表示對(duì)四個(gè)目標(biāo)層次的判斷標(biāo)準(zhǔn)，這三題與之完全相吻合.而第（3）題難度雖小，卻蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想.例如，抽象思想中的分類、數(shù)形結(jié)合，推理思想中的計(jì)算與證明，模型思想中的方程思想等，同時(shí)還包含了幾何直觀等核心概念.三道題目并不難解決，對(duì)于成績(jī)不理想的學(xué)校，也可以上出精彩的數(shù)學(xué)味.筆者聽(tīng)了兩個(gè)不同層次班級(jí)的教學(xué)實(shí)施，有差異性，本文就中上層次班級(jí)的教學(xué)實(shí)施談?wù)効捶?，中等或偏下層次可做參考并做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整即可.

圖5

從實(shí)施上看，串聯(lián)概括和問(wèn)題拓展是第一課時(shí)的主題，獨(dú)立練習(xí)和局部點(diǎn)撥是第二課時(shí)的核心.第一課時(shí)如何上？

首先，第（1）題的教學(xué)處理.本題解決了相似三角形中的基礎(chǔ)核心問(wèn)題，即相似三角形的判定方法，原題表面上在于“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”的判定方法復(fù)習(xí)，但教學(xué)上還應(yīng)兼顧整體，先學(xué)后問(wèn)，以問(wèn)題引出相似的核心基礎(chǔ)知識(shí)，做進(jìn)一步的思考深化.例如，第1題的第①問(wèn)中，可以增加問(wèn)題1：如果把直角這個(gè)已知條件刪去，則添加一個(gè)怎樣的已知條件可證明兩三角形相似.這里復(fù)習(xí)“三邊對(duì)應(yīng)成比例”的判定方法.又如，第1題的第②問(wèn)中，可以增加問(wèn)題2：如果去掉四條邊長(zhǎng)度的已知條件，則添加一個(gè)怎樣的已知條件可證明兩三角形相似.由此來(lái)復(fù)習(xí)“兩角對(duì)應(yīng)相等”的判定方法.與此同時(shí)，通過(guò)圖形的變換來(lái)引導(dǎo)提升學(xué)生認(rèn)知基本圖形的能力，或讓學(xué)生動(dòng)手操作畫(huà)草圖，或教師通過(guò)圖形的平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換，以識(shí)別一些基本圖形（圖6）來(lái)鞏固相關(guān)知識(shí).

圖6

其次，第（2）題的處理.本題是開(kāi)拓學(xué)生思維的核心.學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)多種情況，有畫(huà)出一個(gè)圖形的，有兩個(gè)的，甚至都畫(huà)出四個(gè)（圖7），教師需結(jié)合學(xué)生的成品進(jìn)行有針對(duì)性的拓展，讓學(xué)生明白，看似簡(jiǎn)單的題目，也應(yīng)進(jìn)行多層次的思考.例如學(xué)生比較熟知的圖8，可證明最大的三角形是直角三角形.又如圖9，可做兩種變化：在線段DF1上是否存在一點(diǎn)F2，使得△DEF1和△DEF2相似，若存在，求出DF2的長(zhǎng)；繼續(xù)提出，在過(guò)點(diǎn)D作DE的垂線上，存在幾個(gè)點(diǎn)F，使得△DEF與△ABC相似.以此結(jié)合圖形的全等變換來(lái)引導(dǎo)學(xué)生去尋找滿足條件的一些圖形，讓學(xué)生領(lǐng)悟復(fù)雜圖形是由一些基本圖形通過(guò)變換得到的，抓住圖形的變換可以避免分類的遺漏.在最后，還可進(jìn)一步拓展：如果不限定DE是直角邊，則畫(huà)出的△DEF與原△ABC相似，又有多少個(gè)？該問(wèn)題讓學(xué)生在新情景中加強(qiáng)圖形辨析思考，鞏固相似三角形的性質(zhì)和判定方法，以及分類討論思想的進(jìn)一步滲透.

圖7

圖8

圖9

至于第（3）題的處理，應(yīng)該涉及以下幾個(gè)方面.第一，呈現(xiàn)學(xué)生只用一種方式來(lái)求解，讓學(xué)生去辨析分類不全的原因，并由此得到判斷三角形相似的一種分類方法，即可從已知的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角去尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果不明確，可通過(guò)一對(duì)相等角的兩邊去尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是說(shuō)要點(diǎn)明尋找的方法，只是相似三角形的三種判定方法的另一種說(shuō)法.第二，當(dāng)學(xué)生得出三個(gè)位置點(diǎn)的結(jié)論后，要把這些圖形畫(huà)出來(lái)，讓學(xué)生去感悟這三種圖形的特殊位置特征，抓住時(shí)機(jī)，前呼后應(yīng)，不斷滲透對(duì)圖6中一些基本圖形的認(rèn)知，感受到所求位置點(diǎn)的合理性.第三，進(jìn)一步拓展，把原題條件“在線段AB上尋找點(diǎn)P”拓展到“在直線AB上尋找點(diǎn)P”，通過(guò)擴(kuò)散范圍，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)本題的認(rèn)知，以此提升學(xué)生的審題和解題能力，并探索和呈現(xiàn)“增加了幾個(gè)點(diǎn)？這幾個(gè)點(diǎn)形成的圖形特征，又是怎么樣”等問(wèn)題，來(lái)體現(xiàn)其中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想.

總之，設(shè)計(jì)這樣的小專題，從最簡(jiǎn)單層次的題目開(kāi)始，兼顧復(fù)習(xí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，鞏固基本技能，再通過(guò)一道開(kāi)放的題目拓展學(xué)生思維，讓學(xué)生在新背景下進(jìn)一步熟悉相關(guān)知識(shí)和應(yīng)用，最后回到一道中等難度問(wèn)題的解決與拓展，三道題之間是有聯(lián)系的，它們從易到難，從基礎(chǔ)認(rèn)知到高級(jí)思維的不斷發(fā)展，呈現(xiàn)一條清晰的數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)下的學(xué)習(xí)主線，不僅夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)，而且拓展學(xué)生的解題思維，做到了整體的有聯(lián)系的去看待“相似”這一章節(jié)的核心內(nèi)容復(fù)習(xí)，體現(xiàn)了交替呈現(xiàn)思維的“以退為進(jìn)”設(shè)計(jì)，以及串點(diǎn)成線概括的“以小見(jiàn)大”策略.

三、以“簡(jiǎn)至”抓住題根本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)什么？筆者認(rèn)為：除了所謂的數(shù)學(xué)知識(shí)技能，最重要的就是數(shù)學(xué)智慧，主要是數(shù)學(xué)抽象力和數(shù)學(xué)想象力兩個(gè)方面，前者是由繁入簡(jiǎn)，后者是由簡(jiǎn)馭繁！這好比根與枝葉的關(guān)系，根為簡(jiǎn)，葉為繁，根輸養(yǎng)份經(jīng)干入葉，是由簡(jiǎn)馭繁！而葉的光合作用經(jīng)干入根，是由繁入簡(jiǎn)！大道至簡(jiǎn)，基本而重要的東西應(yīng)該是簡(jiǎn)易的，抓根就能挖掘和學(xué)習(xí)其他知識(shí)，抓到的根越深越粗，則越簡(jiǎn)，由此生長(zhǎng)出來(lái)的枝越壯，葉越茂！就能擁有更超能的數(shù)學(xué)智慧，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就容易了.抓根的過(guò)程就是為了做到“熟悉的就容易，簡(jiǎn)單的就容易，想通的就容易”.

新課固然如此，復(fù)習(xí)課亦然.簡(jiǎn)化題目，就是以簡(jiǎn)至抓根.萬(wàn)爾遐老師曾說(shuō)：“抓住了一個(gè)題根，就等于抓住了這個(gè)題族、這個(gè)題群、這個(gè)題系.”他說(shuō)的題根是一個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題規(guī)范化后就是一個(gè)題目，題根是題目的根基，具有生長(zhǎng)性、滲透性、實(shí)用性和可接受性.舉一例說(shuō)明.題組1中，第（1）題是兩條靜態(tài)的線，只能判定有無(wú)交點(diǎn)或直接求交點(diǎn)坐標(biāo)，第（2）～（4）題中，由于參數(shù)m的作用，有一條線在做平移或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，即m的取值范圍可能會(huì)影響交點(diǎn)的變化，由此產(chǎn)生一系列的題目變化.進(jìn)一步講，把直線固定為坐標(biāo)軸，讓拋物線動(dòng)起來(lái)，由此產(chǎn)生了題組2，從簡(jiǎn)單的平移到復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，涉及分類等問(wèn)題.

題組1：

（1）求拋物線y=x2+2x-3和直線y=2x+1的交點(diǎn)坐標(biāo).

（2）若拋物線y=x2+2x+m與直線y=2x+1有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.

（3）若拋物線y=x2+2x-3與直線y=2x+m沒(méi)有交點(diǎn)，求m的取值范圍.

（4）證明：無(wú)論m取何值，拋物線y=x2+2x+3與直線y= mx+2總有交點(diǎn).

題組2：

（5）已知函數(shù)y=x2-3x+m與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.（或：試判斷函數(shù)y=x2-3x+m與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)）

（6）函數(shù)y=x2+（m-1）x-m與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.

（7）函數(shù)y=mx2+（m-1）x-1與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.（m-1）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

事實(shí)上，以上題目都是涉及拋物線與一條直線或兩條直線的相交問(wèn)題，皆用一元二次方程根的判別式的知識(shí)解決，但學(xué)生熟悉卻不能通達(dá)思維.筆者曾經(jīng)對(duì)我區(qū)層次較好的三所學(xué)校的初三學(xué)生做過(guò)抽測(cè)，第（6）題在某一學(xué)校74人的測(cè)試中，全對(duì)的占24.5%，部分對(duì)的占38%，全錯(cuò)或不會(huì)做的占36%.第（7）題在一個(gè)層次很好的班級(jí)測(cè)試，竟無(wú)一人全對(duì).第（8）題在某校前150人的測(cè)試中，僅有10人全對(duì).問(wèn)題出在哪？學(xué)習(xí)中注重技巧而不注重概念導(dǎo)致.題根的本質(zhì)就是反映數(shù)學(xué)概念，技巧是建立在概念基礎(chǔ)之上，玩好概念才能玩技巧，如“雜技演員先練好基本功，才玩驚心動(dòng)魄的雜技”一樣.小專題復(fù)習(xí)，就是要做到“簡(jiǎn)至”，抓住題根本質(zhì)，讓學(xué)生在辯證認(rèn)識(shí)中，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間有聯(lián)系的內(nèi)涵與特性.

由此說(shuō)來(lái)，一課講三題和三課講一題，各有各的精彩，均是做到勿因簡(jiǎn)單而放棄思考，只要設(shè)計(jì)與實(shí)施能堅(jiān)持簡(jiǎn)化、簡(jiǎn)至即可.

（8）試判斷函數(shù)y=mx2+（m-2）x+

四、結(jié)束語(yǔ)

如何做到簡(jiǎn)化、簡(jiǎn)至？那就從公理化知識(shí)入手，融入數(shù)學(xué)思想，通過(guò)“故中有新，新中有故”的“溫故知新”小專題設(shè)計(jì)，通過(guò)對(duì)概念知識(shí)的縱向挖掘與橫向拓展，通過(guò)學(xué)生的思考和體驗(yàn)，在引申、推廣、演變的問(wèn)題中去發(fā)現(xiàn)新概念新方法，深入問(wèn)題的本質(zhì)與核心，并把數(shù)學(xué)思維外顯出來(lái)，由此改變學(xué)生的視野.

參考文獻(xiàn)：

1.劉永東.例談數(shù)學(xué)小專題復(fù)習(xí)中的策略與應(yīng)用［J］.教育導(dǎo)刊，2013（1）.

2.劉永東，朱平.再談數(shù)學(xué)小專題復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施——以“規(guī)律探究”問(wèn)題為例［J］.教育導(dǎo)刊，2013（6）.H