☉海南省華僑中學　王明照

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從間接設(shè)元中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維——以華東師大版教材習題為例

☉海南省華僑中學王明照

筆者剛剛教完華東師大版七年級下冊第六章一元一次方程及第七章方程組，對于其中難點應用題的講授有了更深一步的認識，以前最多教學生要按以下步驟列方程解應用題：審題—找等量關(guān)系—列方程—檢驗—作答，這樣基本就可以把一個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從而也實現(xiàn)了一次數(shù)學建模的過程，同時也強調(diào)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，但在今年的教學中，筆者關(guān)注了學生容易忽略的地方，以往也容易一筆帶過的地方，那就是在審題后，如何設(shè)立適當?shù)奈粗獢?shù)的問題，一般題目都是問什么設(shè)什么，直接設(shè)元，但是設(shè)立適當?shù)奈粗獢?shù)可以使所列的方程大大簡化，就是說當直接設(shè)元很難列方程或列的方程很復雜時，我們可以采用間接設(shè)元，設(shè)對了未知數(shù)會給問題的解決帶來很大的方便.下面以華東師大版教材上的習題為例進行說明.

例1（教材13頁練習1）學校田徑隊的小剛在400米跑測試時，先以6米/秒的速度跑完了大部分路程，最后以8米/秒的速度沖刺到達終點，成績?yōu)?分零5秒，問：小剛在沖刺階段花了多少時間？沖刺的路程是多少米？

分析：這道題里面有兩個等量關(guān)系：大部分的路程+沖刺路程=總路程400米；跑大部分路程的時間+沖刺的時間=65秒.根據(jù)哪個等量關(guān)系都可以，不過有難易之分.

解法1：設(shè)沖刺階段用了x秒，則原先用（65-x）秒，根據(jù)題意可得8x+6（65-x）=400，解得x=5.則沖刺路程為8× 5=40米，經(jīng)檢驗符合題意.

解法2：如果設(shè)沖刺的路程為x米，則大部分路程為（400-x）米，根據(jù)題意可得=65，解得x=40.經(jīng)檢驗符合題意.

點評：從這道題來看，間接設(shè)元列的方程比直接設(shè)元列的方程簡潔得多.

例2（教材22頁復習題B組12題）從甲地到乙地公共汽車原需行駛7個小時，開通高速公路后，路程近了30千米，而車速平均每小時增加了30千米，只需4個小時即可到達.求甲乙兩地之間高速公路的路程.

分析：這里面仍然有兩個等量關(guān)系：高速公路路程=普通公路路程-30；高速公路速度=普通公路速度+30.

解法1：設(shè)原來公共汽車的速度為x千米/小時，根據(jù)題意可得7x=4（x+30）+30，解得x=50.經(jīng)檢驗符合題意.則現(xiàn)在高速公路的長度為4（x+30）=320（千米）.

解法2：設(shè)高速公路路程為x千米，則原路程為（x+ 30）千米，根據(jù)題意可得+30，解得x=320.經(jīng)檢驗符合題意.

例3（教材20頁第4題）一輛汽車從A地駛往B地，前三分之一的路段為普通公路，其余路段為高速公路，已知汽車在普通公路上行駛的速度60km/h，在高速公路上行駛的速度為100km/h，汽車從A地到B地一共行駛了2.2h.請你根據(jù)以上信息，就該汽車行駛的“路程”或“時間”，提出一個用二元一次方程組解決的問題，并寫出解答過程.

分析：這道題就是近年來很流行的開放性問題，可以求高速公路路程，也可以求在高速公路上跑的時間.假設(shè)本道題求高速公路的長度.

解法1：設(shè)在普通公路行駛的時間為xh，則在高速公路上行駛的時間為（2.2-x）h，普通公路的長度為60x，高速公路的長度=100（2.2-x）.

根據(jù)等量關(guān)系：高速公路的長度（占全長三分之二）=普通公路的長度（占全長三分之一）×2，得到2×60x= 100×（2.2-x），解得x=1h.經(jīng)檢驗符合題意故普通公路行駛時間為1h，長度為60km.高速公路的行駛時間為1.2h，長度為1.2×100=120 km.

點評：此題還可以用二元一次方程組來求解..

例4（教材22頁復習題16題）一批樹苗按下列方法依次由各班領(lǐng)?。旱谝话嗳?00棵和余下的，第二班取200棵和余下的，第三班取300棵和余下的，……最后樹苗全部被取完，且各班的樹苗數(shù)都相等.求樹苗總數(shù)和班級數(shù).

解法1：設(shè)樹苗總數(shù)為x棵，則第一班取走的樹苗數(shù)為100+（棵）.

根據(jù)題意中各班的樹苗數(shù)量相等的條件可列式得班級數(shù)為8100÷900=9.即有9個班.

解法2：設(shè)有x個班，則第（x-1）個班取走了100（x-1）棵樹和剩下的，而第x個班剛好取完沒有剩下，于是第x個班一共取走了100x棵樹，剛好是第（x-1）個班取走了100（x-1）棵樹后剩下的，于是根據(jù)每個班取得樹木棵樹相等得到等量關(guān)系，列方程100（x-1）+×100x=100x，解得x=9.每班取走樹苗數(shù)為900.

點評：有時候直接設(shè)元在充分理解題意的基礎(chǔ)上列的方程反而更簡單直接.

例5（教材17頁問題2）某校是三個年級為地震災區(qū)捐款，經(jīng)統(tǒng)計，七年級捐款數(shù)占全校三個年級捐款總數(shù)的，八年級捐款數(shù)是全校三個年級捐款數(shù)的平均數(shù)，已知九年級捐款1964元，求其他兩個年級的捐款數(shù).

解法2：若設(shè)八年級捐款x元，則全年級捐款3x元，七年級捐款×3x=x元，根據(jù)題意可得x+x+1964=3x，解得x=2455.

點評：可以看出，設(shè)未知數(shù)的方法是靈活的，是道訓練思維靈活度的好題.

例6（一道中考題）一次越野賽跑中，當李明跑了1600米時，小剛跑了1450米，此后兩人勻速跑的路程s（米）與時間t（秒）的關(guān)系如圖1所示，結(jié)合圖像解答下列問題：

（1）根據(jù)圖中信息，直接寫出EF與GD的比值：_____；

（2）求圖中s1和s0的值.

圖1

（2）解法1：由圖可知EF∥DG，則△CEF∽△CDG，所以，即3（s0-1600）=s1-1600①.

由①、②得s0=1750（米），s1=2050（米）.

教學反思：從上述的例題不難看出，設(shè)立一個適當?shù)奈粗獢?shù)會給問題的解決帶來很大的方便，另外讓學生在解題結(jié)束后都要反思：能不能設(shè)另外的未知數(shù)求解？能不能有更好的解法？教師一點撥，學生思維一打開，不同的解題思維在交流中碰撞，就會可能產(chǎn)生比教師設(shè)想的最優(yōu)解法還要好，在有時間的情況下大膽讓學生去嘗試，不要怕麻煩，這樣他們的數(shù)學思維會越來越活躍，思考就會越來越深入，對培養(yǎng)他們的發(fā)散思維是個很好的訓練途徑.

所以s1=2050（米）.

s0=1450+