☉浙江省義烏市江東中學　吳月仙

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注重過程啟迪思維落實目標——“多邊形的內角和與外角和（1）”教學感悟與思考

☉浙江省義烏市江東中學吳月仙

一、背景介紹

“多邊形的內角和與外角和（1）”是在學習了三角形內角和定理后，嘗試進一步認識多邊形角的特征的研討探究課.就知識的應用價值來看，本節(jié)課內容既是三角形內角和的自然延伸，也是進一步探究多邊形問題的基礎.通過添加輔助線將多邊形問題轉化為三角形問題進行解決，不僅是探索內角和的關鍵，而且也是今后解決四邊形及多邊形問題的通法，是初中學生數(shù)學邏輯思維發(fā)生、發(fā)展的重要環(huán)節(jié).通過這節(jié)課的學習，一方面培養(yǎng)學生的觀察、探究能力，另一方面讓學生學會轉化思想的應用，從特殊到一般嘗試進行轉化.就內容的人文價值來看，多邊形內角和的探索需要學生猜想、實驗、證明、探索，對學生掌握觀察、比較、類比、轉化、歸納等方法有重要作用，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和探索精神.在本節(jié)課的教學過程中，筆者從三方面入手，即注重過程變化，啟發(fā)學生思維，落實教學目標，希望通過這樣的嘗試，演繹一節(jié)精彩的數(shù)學研討課.

二、教學準備

課前，筆者進行了細致分析，剖析了本堂課可能出現(xiàn)的困難，學生通過對三角形內角和定理和平行四邊形性質的學習，初步具備了一定的分析與歸納能力，為本節(jié)課的學習奠定了基礎，但是學生對新的數(shù)學問題的探究有一定困難，尤其是為什么要轉化，怎么把新問題轉化為已知問題進行解決是現(xiàn)階段學生學習的攔路虎，邏輯推理能力和用數(shù)學工具進行探索和歸納的能力還有待進一步提高，而這節(jié)課探究性較強，學生探究問題和添加輔助線的經(jīng)驗還不夠豐富，本課的學習還可能存在以下困難：

（1）探究四邊形的內角和時，在探究三角形內角和的啟發(fā)下，可能會想到度量法、拼圖法，卻想不到添加輔助線的方法.

（2）學生在探究五邊形、六邊形、七邊形的內角和時，可能出現(xiàn)從不同的點出發(fā)去分割圖形，卻不一定能求出它們的內角和.

（3）學生在探究過程中，很容易發(fā)現(xiàn)多邊形的內角和，如五邊形、六邊形、……卻在得到結論以后歸納規(guī)律時發(fā)生一定的困難.猜想或者歸納n邊形的內角和公式成為難點之一.

三、教學分析

1.創(chuàng)設情境，提出問題

引入：同學們，就像一份快樂，如果兩人分享就會得到更多的快樂一樣，有的事物去掉一部分，剩下的部分反而有可能變得更大、更多，你們相信嗎？也許大家還覺得不可思議，可是，今天我們要學習的多邊形的內角和就是一個典型的例子.

2.實踐探索，去偽存真

實踐：每個組的資料盒里都準備了一些長方形的卡紙，請取出一張，任意剪掉一個角，可以有幾種不同的剪法，剪出可能的圖形，并思考以下問題：剪出的圖形內角和是多少？你是怎么計算的？結果比原來的長方形內角和是增加了還是減少了？剪好的小組請派代表將圖形貼在黑板上，準備交流對以上問題的思考.讓學生進行動手嘗試，以開放性的問題介入這節(jié)課的學習，從而進入本課的主題教學，引起學生興趣的同時，將學生的吸引力自然而然引到多邊形的內角和上來.通過對長方形的剪裁，認識到多邊形內角和會隨著邊數(shù)的變化而變化，建立特殊四邊形與三角形、五邊形的聯(lián)系，為類比研究多邊形進行類比研究打下基礎.

3.轉化探究，初步解惑

探究：對于正方形、長方形、平行四邊形、梯形等特殊的四邊形，我們已經(jīng)能求得其內角和為360°，但畢竟這些都是特殊的四邊形，那對于任意的四邊形能否通過轉化求出內角和？請每個同學都任意畫一個四邊形，嘗試用轉化的方法從不同的角度思考求出它的內角和，做好交流準備.學生可能想到以下添加輔助線的方法，如圖1～圖6.

圖1

圖3

圖4

圖5

圖6

通過多種方式方法的嘗試，任意四邊形求內角和作圖分割的過程中，把研究的對象從特殊引向一般，引導學生把握其內在的規(guī)律，滲透轉化的數(shù)學思想.達成教學目標，讓學生經(jīng)歷了解“從特殊到一般”的研究方法，自然地完成本節(jié)課難點的突破.

4.類比探究，概括公式

類比：同學們通過不同角度的思考，充分地證明了四邊形內角和為360°，那么五邊形、六邊形、七邊形、…，甚至n邊形的內角和又是多少度呢？請大家運用自己學到的辦法，寫出你的結論.教師參與小組探究，傾聽學生討論，組織小組代表匯報探究成果，總結數(shù)學思想和方法.以任意四邊形內角和的研究方法做類比，繼續(xù)深化學生對本節(jié)課知識的理解，尋找多邊形內角和隨著邊數(shù)的變化而變化的規(guī)律，從不同的角度理解多邊形的內角和公式，以此進一步鍛煉學生分析和解決問題的能力，實現(xiàn)本節(jié)課重、難點的第二次突破.這樣不僅掌握了公式，而且還總結出了類似數(shù)學問題的研究方法，進而完成新知識的建構與內化.

5.隨堂鞏固，提煉方法

鞏固：（1）試求20邊形的內角和；

（2）已知一個多邊形的每一個內角都是156°，試求它的邊數(shù)；

（3）把一張五邊形的紙片剪掉一個角后，得到的多邊形內角和是多少度？

學生嘗試練習，用本節(jié)課學到的多邊形內角和公式解決已知邊數(shù)求內角和、已知內角和求邊數(shù)等問題；掌握了多邊形內角和公式：（n-2）·180°；轉化的思想；由特殊到一般的研究方法；從不同的角度思考同一個問題會有不同的收獲.

四、教后反思

1.過程設計以問題為驅動

從總體而言，本課的設計實施思路是在教學中充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，采用“問題驅動”的教學方式，運用問題逐步引導，給學生創(chuàng)造一種具體問題情境、思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，使學生在開放、民主、愉悅、和諧的教學氛圍中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，獲取新知識，提高能力，促進思維發(fā)展.本節(jié)課從開始為學生創(chuàng)設情境，從提出問題——實驗猜想——轉化探究——類比歸納——得出結論——解決問題，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和應用過程，突出轉化和從特殊到一般的數(shù)學思想.使學生成為知識的發(fā)現(xiàn)者，讓他們在實踐中發(fā)現(xiàn)知識，再將知識運用于實踐，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力.

2.啟迪學生思維注意情境的導入作用

在創(chuàng)設情景中，以蘊含哲理的數(shù)學問題抓住學生的興趣，快速調動學生學習本節(jié)課的熱情和激情，形成學生愿意參與的心態(tài).在解決問題過程中遇到困難時，將學生的獨立思考、自主探究和表達交流結合起來，通過老師由淺入深的“問題驅動”，讓學生經(jīng)歷“不會—會—熟—巧”的學習歷程，并通過問題的創(chuàng)設形成教師與學生，學生與學生的多向交流、多角思考，促進思維火花不斷閃現(xiàn)，通過第2、3、4、5教學環(huán)節(jié)內容的解決，探索求多邊形內角和的途徑與方法，并從中總結出其核心方法（通法）是把多邊形轉化為三角形.根據(jù)學生的實際情況，設計探索活動，讓學生自己動手嘗試不同的方法，讓數(shù)學經(jīng)驗不斷累積，從易到難，也真正使學生形成認識規(guī)律，從而順利得到多邊形的內角和定理.

3.落實目標中注意深度挖掘

學習多邊形內角和的過程其實是知識的內化和加深的過程，通過轉化思想，讓學生感受解決和探索數(shù)學問題的樂趣；同時，體會類比的方法.而歸納、猜想n邊形的內角和如何表示，教師則指導學生從數(shù)的角度去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，或者用同一種較簡單的方法去探究.學生在討論多邊形的內角和時各持己見，展開了積極的交流，交流是學生之間相互學習、相互提高、思維相互碰撞的過程，盡管交流中發(fā)現(xiàn)學生的想法有錯誤，還沒有討論出最正確的結果，這樣的教學等待是我們教師應該提供給學生的.教師甘心沉默才會有后來學生的精彩發(fā)言，這樣的“沉默”還有好幾處，同時筆者真擔心執(zhí)教教師在這個環(huán)節(jié)后進行總結，得出結論有些操之過急了，會把這個難得的精彩扼殺了.筆者注重實際的把握，在課堂教學中，全面的信息反饋、給學生充分發(fā)表自己意見的機會是非常重要的，這也充分地說明此節(jié)課為高效的課堂，有深度和廣度的課堂.教學作為一門藝術，在教會學生基礎知識和基本技能的同時，也應注重過程、把握課標、啟迪思維的整體引導下，數(shù)學課堂教學一定會呈現(xiàn)冰冷的思考下的火熱思維的迸發(fā)，從而真正促進學生數(shù)學能力和數(shù)學水平的提高.