毛紅艷, 曹 慧, 藺小林

(陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021)

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具有指數(shù)型發(fā)生率的離散SIS模型的動力學研究

毛紅艷, 曹 慧, 藺小林

(陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021)

研究了一類具有指數(shù)發(fā)生率的離散SIS傳染病模型的動力學性態(tài).利用再生矩陣的方法定義了模型的基本再生數(shù)；對模型進行分析得到平衡點的存在性和穩(wěn)定性，同時也得到了模型的持久性；通過參數(shù)賦值，利用數(shù)值模擬方法對平衡解的相關結(jié)果進行了驗證.

SIS模型; 差分方程; 平衡點; 漸近穩(wěn)定性

0 引言

近些年來，傳染病模型已經(jīng)成為生物數(shù)學研究的一個熱門話題.傳染病的發(fā)展過程與時間緊密相關，從統(tǒng)計學的觀點來看，使用離散時間替代連續(xù)時間(采集數(shù)據(jù)是在離散的時間段收集的)更符合客觀實際，特別對具有較慢傳播率的傳染病更是如此.

1 SIS模型建立及分析

本文討論治愈后還會再次感染的傳染病模型，即離散SIS傳染病模型.離散SIS傳染病模型是在倉室模型[3]的基礎上，把總?cè)丝诜譃橐赘姓吆透腥菊邇蓚€倉室，記t時刻易感者的人口數(shù)量為S(t)，感染者人口數(shù)量為I(t)，總?cè)丝跀?shù)量為N(t)，滿足N(t)=S(t)+I(t).

本文在研究疾病傳播過程中，做三個假設：

(1)易感者患病不存在潛伏期，也就是疾病的潛伏期比較短可以忽略不計；

(2)一個染病者一旦與易感者接觸就必然具有一定的感染力；

(3)每一個新入人口都是易感者，包括新生兒和遷入人口，且新入人口記為常數(shù)Λ.

當單位時間內(nèi)易感者個體成為感染者概率是1-G(I)，其中G:[0,∞]→[0,1]是一個單調(diào)函數(shù)[4]，滿足：

G(0)=1,G′(x)<0,G″(x)≥0,?x∈[0,∞]

圖1 SIS模型

運用差分方程[5]表示此模型，則相應的數(shù)學模型為：

(1)

Ω={(S,I)|S≥0,I≥0,S+I≤N*}

下面將在條件S(t)+I(t)≤N*下，研究與模型(1)的極限狀態(tài)模型(2)解的性態(tài).

(2)

為了下面討論方便起見，先給出離散線性系穩(wěn)定性判據(jù).

對線性系統(tǒng)

X(t+1)=AX(t)

(*)

其零解的漸近穩(wěn)定性有如下判據(jù).

引理2[6](Jury判據(jù))設系統(tǒng)(*)的特征多項式為

Pn(λ)=|λI-A|=a0λ″+a1λn-1+…+an-1λ+an

則系統(tǒng)(*)的零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件為

m=2,3,…,n-1;i=0,1,…,m.

2 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)[7]表示在發(fā)病初期，當所有人均為易感者時，一個染病者在其平均染病期內(nèi)所傳染的人數(shù).R0=1往往是系統(tǒng)的一個閾值，通常可用R0討論傳染病的性態(tài).當R0<1時，疾病會最終消失，當R0>1時，疾病會在人群中持續(xù)存在.當R0>1且比較大時，表示該傳染病很難控制，并可能在該地區(qū)爆發(fā)大規(guī)模的流行病.

對模型(1)，根據(jù)再生矩陣[8]的方法，可寫出矩陣生育矩陣F和過渡矩陣V，其中

V=[p(1-γ)I(t)]

根據(jù)基本再生數(shù)的計算方法可知：

因此

運用參考文獻[9]中的迭代方法，使用數(shù)學軟件matlab進行數(shù)值模擬，可以得到感染者I(t)與三個參數(shù)p，β，γ的關系.給定初值，I(0)=25，S(0)=75在滿足00，0<γ<1的條件下，得到感染者I(t)與三個參數(shù)p，β，γ的關系如圖2所示.

圖2 感染者I(t)隨三個參數(shù)變化趨勢圖

3 平衡點的存在性和穩(wěn)定性

證明：首先討論模型(2)的無病平衡點的存在性.

當p(1-γ+β)>1時，討論地方病平衡點的存在性，分析模型(2)，取f:[0,1]→[0,1]，則

f(y)=p(1-e-βy)(1-y)+p(1-γ)y

(3)

f′(y)=pe-βy(β(1-y)+1)-pγ

(4)

f″(y)=-pβe-βy(β(1-y)+2)

(5)

(6)

代入p0

其特征多項式為：

|λI-J0|=(λ-p)(λ-p(1+β-γ))，

可得J0的特征多項式的根為λ1=p，λ2=p(1+β-γ)，利用Jury判據(jù)可以知道，當p(1-γ+β)<1，模型(2)的無病平衡點p0為局部漸近穩(wěn)定的.

p(1+β-γ)I(t)

以下運用數(shù)學軟件matlab數(shù)值模擬來驗證地方病平衡點的穩(wěn)定性.

當p(1-γ+β)>1時,參數(shù)Λ=10,p=0.9，β=0.3，γ=0.05,即R0=1.862 07>1，給定初值：

I(0)=25,S(0)=75,

I(0)=50,S(0)=50,

I(0)=75,S(0)=25,

可得到地方病平衡點的數(shù)值模擬結(jié)果,如圖3所示.

圖3 易感者隨時間變化趨勢

4 持久性

下面我們討論模型在R0>1時，模型(2)是持久[10]的.

定理3 當R0>1時，模型(2)是持久的.

設M?={(S(0),I(0))∈?X0|Φt(S(0),I(t))∈?X0,?t≥0,t∈N}，則M?={(S,0)∈?X0|S≥0}.事實上，{(S,0)∈?X0|S≥0}?M?，對于?(S(0),I(0))∈M?，可以判定I(t)=0,?t≥0,t∈N恒成立.否則，存在T≥0，使I(t)>0,t≥T,t∈N.也就是，當取初值(S(0),I(0))∈M?，則(S(t),I(t))?M?.根據(jù)以上分析，M?={(S,0)∈?X0|S≥0}成立，M?中僅包含一個平衡點p0，且p0是漸近穩(wěn)定的.

S1(t+1)=Λ+pS1(t)+pγε

(7)

對于給定的參數(shù)數(shù)值可得到地方病平衡點p1，且p1是集合X中的孤立不變集，并滿足Ws(p1)∩X0=?，則集合M?中的每一條軌道都趨近p1，并且p1在集合M?中是非循環(huán)的.故存在δ>0，對?(S(0),I(0))∈X0，滿足：

5 小結(jié)

本文依據(jù)多個傳染病模型[10-14]研究結(jié)果，給出了合理的模型假設，并對模型進行了分析和研究，得到SIS模型的無病平衡點和地方病平衡點，對無病平衡點和地方病平衡點的穩(wěn)定性給出了判斷.而由于方程求解的局限性，只能給出地方病平衡點存在唯一性.本文利用再生矩陣的方法，定義了基本再生數(shù)R0.當R0=1是系統(tǒng)的閾值，會根據(jù)分支理論再進一步討論.本文主要論證系統(tǒng)的無病平衡點和地方病平衡點在R0>1和R0<1時的存在性和穩(wěn)定性.

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【責任編輯：蔣亞儒】

The dynamics of discrete-time SIS model with exponential occurrence rate

MAO Hong-yan, CAO Hui, LIN Xiao-lin

(School of Arts and Sciences， Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

In this paper,the discrete-time SIS epidemic model with exponential occurrence rate is investigated.Using the renewable matrix method,we defined the basic reproductive number;The existence and stability conditions of equilibria and the persistence of SIS model are discussed.Numerical simulations are conducted to demonstrate our theoretical results.

SIS model; differential equation; equilibrium point; asymptotic stability

2016-03-11

國家自然科學基金項目(11301314); 陜西省科技廳自然科學基金項目(2014JQ1025); 陜西科技大學學術團隊計劃項目(2013XSD39)

毛紅艷(1989-)，女，河南葉縣人，在讀碩士研究生，研究方向：生物數(shù)學理論及應用

1000-5811(2016)05-0174-05

O151.21

A