白海峰，唐永成，黃志斌，李文波，林爽拿，錢 靜，薛 迅

（華東師范大學(xué)物理系，上海200241）

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高度線性增加的多米諾依次傾倒后能量的傳遞

白海峰，唐永成，黃志斌，李文波，林爽拿，錢 靜，薛 迅

（華東師范大學(xué)物理系，上海200241）

摘 要：近似認(rèn)為多米諾之間相互碰撞系統(tǒng)的角動量守恒，并且在各多米諾倒下的過程中，由于每塊多米諾繞其支點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度很小，因此而忽略在此過程中相互的作用力所做的功.由于能量傳遞與各多米諾的轉(zhuǎn)動角速度相關(guān)，故可以推出高度線性增加的多米諾傾倒后能量的傳遞情況.多次實(shí)驗(yàn)角速度的實(shí)驗(yàn)值都大于理論值，但是實(shí)驗(yàn)值與理論值隨多米諾的序數(shù)增加下降趨勢與幅度大致相同.

關(guān)鍵詞：多米諾；能量傳遞；傾倒；線性

本文所研究的問題由2011年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽（International Young Physicists’Tournament，簡稱IYPT）的比賽題目給出：

8.Domino amplifier

A row of dominoes falling in sequence after the first is displaced is a well known phenomenon.If a row of“dominoes”gradually increases in height，investigate how the energy transfer takes place and determine any limitations to the size of the dominoes.

多米諾骨牌是一種風(fēng)靡一時(shí)的游戲，受到國內(nèi)外廣大游戲愛好者的歡迎.它是一款集趣味性、智慧性、實(shí)踐性于一體的游戲.在傾倒的多米諾相互聯(lián)系的系統(tǒng)中，很小的初始能量就產(chǎn)生一連串的連鎖反應(yīng)，人們把這種效應(yīng)稱為多米諾骨牌效應(yīng)或多米諾效應(yīng)（Domino effect）.

我們注意到，國內(nèi)外有關(guān)多米諾傾倒后能量傳遞問題的研究成果很多，但是有關(guān)高度逐漸增加的多米諾傾倒的研究成果較少.因此，我們認(rèn)為這是一個很好的研究課題.

2011年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽的這道題目中，“gradually increases in height”并未說明多米諾的高度是否隨著多米諾的序數(shù)線性增加，另外也可能被理解成圖1（a）和（b）的2種情形.

由于多米諾高度增加有多種情形，考慮到各種情形能量傳遞并不完全相同，在這里只討論多米諾高度隨序數(shù)線性增加的情況.

圖1 多米諾的高度增加形式

第一塊多米諾在受到微小的力的作用后，撞擊下一塊多米諾并使其傾倒，這樣循環(huán)往復(fù)，對于等高的多米諾而言，其傾倒的速度會與其所用多米諾的幾何尺寸、各多米諾之間的距離以及傾倒角度有關(guān).在研究中建立了新的理論模型，并進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)對理論模型進(jìn)行了驗(yàn)證，得出了較為滿意的結(jié)果.

1 理論模型

為了使計(jì)算簡單，考慮多米諾高度與其序數(shù)成正比的情形.設(shè)第1塊多米諾的高度為h，質(zhì)量為m，多米諾的序數(shù)為i（i＝1，2，3…），多米諾厚均為d，寬均為w，多米諾之間的距離均為s，則第i塊多米諾的高度為

質(zhì)量為

做出如下假設(shè)：

1）假設(shè)每塊多米諾與地面間的摩擦力足夠大，以至于它們和地面間都不會發(fā)生相對滑動.

2）忽略傾倒過程中多米諾相互間的摩擦.

3）近似認(rèn)為整個多米諾系統(tǒng)在碰撞過程中角動量守恒.認(rèn)為在多米諾相互碰撞的過程中相互間的作用力產(chǎn)生的力矩要遠(yuǎn)大于外力（比如重力）的力矩，因此忽略系統(tǒng)外力力矩.

對于已經(jīng)相互接觸的第N－1塊與第N塊多米諾之間，有幾何關(guān)系（圖2）如下：

對（3）式兩邊全微分有

即

圖2 第N－1與第N塊多米諾間的幾何關(guān)系

由（3）式和（5）式可得

令

易知φ（N，0，h，s，d）＝1.則此時(shí)所有已經(jīng)倒下的多米諾的動能總和為

對于第N－1塊與第N塊多米諾之間的碰撞過程，角動量守恒，則有

聯(lián)立（5）式有

令

注意（9）式中ω′N－1為2塊多米諾碰撞前瞬間第N－1塊的角速度，前面所說的ωN－1為碰撞后的角速度.

由此，在這次碰撞中損失的能量為

即

令

傾倒的全部N塊多米諾由于碰撞損失的能量為

第N－1塊多米諾傾倒過程中機(jī)械能守恒，則有

得

這就是傾倒初角速度的遞推公式，其中有ω10＝0.

由此，各塊多米諾傾倒的初角速度只與N，h，s，d有關(guān)，于是有

傾倒的全部N塊多米諾由于碰撞損失的能量可以重新寫成更為簡潔的形式：

另外，從第N－1塊多米諾碰撞第N塊多米諾（稱t1時(shí)刻），到第N塊多米諾碰撞第N＋1塊多米諾（稱t2時(shí)刻）的過程中，θN－1從

變化到

將后續(xù)實(shí)驗(yàn)中的參量代入繪出A（N）與B（N）的散點(diǎn)圖，如圖3所示，圖中所用參量：h＝6cm，s＝4cm，d＝0.8cm.

圖3 A（N）與B（N）的散點(diǎn)圖

由圖3可以看出，從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻，在實(shí)驗(yàn)所給定的參量下θN－1的相對變化極小，因此認(rèn)為在這個過程中，第N－1塊多米諾對第N塊多米諾所做的功可忽略不計(jì).

由此還可以看出，在實(shí)驗(yàn)所給定參量的條件下，兩者間的相對滑動所消耗的能量也很小，所以忽略摩擦力的影響.

再來看對多米諾大小的限制.容易得到：

要使多米諾的連續(xù)碰撞不會中止，那么第N－1塊多米諾對第N塊多米諾的碰撞傳遞給第N塊的能量，應(yīng)至少能使第N塊的重心到達(dá)和其支點(diǎn)的同一豎直平面內(nèi)，情形如圖4所示.則有

即

由（13）式則有

圖4 多米諾的碰撞能量傳遞

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

可以看出，（12）式的導(dǎo)出，既包括了第N－1塊多米諾與第N塊的碰撞過程，又包括了第N－1塊多米諾的傾倒過程，并且ωN0在實(shí)驗(yàn)中較容易測量，所以可以利用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證（12）式遞推關(guān)系.

利用市售的玩具多米諾骨牌進(jìn)行加工后，成為符合實(shí)驗(yàn)要求的多米諾.用不同規(guī)格的多米諾做了多次實(shí)驗(yàn).

用Us－1011型DES光電門傳感器測多米諾剛開始倒下時(shí)的擋光時(shí)間，進(jìn)而計(jì)算出所求ωN0.表1為其中1次測量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論值的比較.第1塊多米諾大小為：3.20cm×0.80cm× 6.00cm，多米諾之間的距離為4.00cm.

根據(jù)表1數(shù)據(jù)繪出的實(shí)驗(yàn)值和理論值的對比圖如圖5所示.

表1 實(shí)驗(yàn)值與理論值的對比

圖5 實(shí)驗(yàn)值與理論值的對比圖

多次實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)值都要比理論值要大，但是實(shí)驗(yàn)值與理論值隨N下降趨勢與幅度大致相同.我們認(rèn)為造成該現(xiàn)象的原因可能是對于第N－1塊向第N塊所做的功估計(jì)不足，導(dǎo)致理論的初角速度小于實(shí)際的初角速度.另外，實(shí)驗(yàn)中用光電門傳感器來測多米諾剛開始倒的擋光時(shí)間，進(jìn)而估算其倒下的初角速度，該方法容易產(chǎn)生誤差.綜上所述，理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)方法都使實(shí)驗(yàn)值大于理論值.但是我們認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)能夠很好地驗(yàn)證了理論模型.

3 結(jié) 論

近似認(rèn)為多米諾之間相互碰撞系統(tǒng)的角動量守恒，并且在各多米諾倒下的過程中，由于每個多米諾繞其支點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度很小，因此忽略在此過程中相互的作用力所做的功.由于能量傳遞與各多米諾的轉(zhuǎn)動角速度相關(guān)，故容易知道高度線性增加的多米諾傾倒后能量的傳遞情況.理論和實(shí)驗(yàn)符合得并不是非常好，我們認(rèn)為造成這一現(xiàn)象的主要原因是對上述兩點(diǎn)的近似處理.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ Stronge W J.The domino effect：a wave of destabilizing collisions in a periodic array［J］.Proc.R.Soc.Lond.A，1987，409：199－208.

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Energy transfer of toppling dominos whose heights increased linearly

BAI Hai－feng，TANG Yong－cheng，HUANG Zhi－bin，LI Wen－bo，LIN Shuang－na，QIAN Jing，XUE Xun
（Department of Physics，East China Normal University，Shanghai 200241，China）

Abstract：The angular momentum of domino collision system was conserved approximately.In the falling process of the dominoes，the turn angle of each domino around the pivot was small，the work of the interaction force could be ignored.The energy transfer among the dominoes whose height increased linearly could be obtained because the energy transfer could be associated with the rotation velocity of the dominos.Experimental results indicated that the angular velocity was greater than the theoretical value，but the trend and range were roughly the same.

Key words：domino；energy transfer；toppling；linearly

通訊作者：薛 迅（1963－），男，山東青島人，華東師范大學(xué)物理系教授，博士，研究方向?yàn)榱Ｗ游锢砼c場論.

作者簡介：白海峰（1990－），男，山西忻州人，華東師范大學(xué)物理系2009級本科生.

收稿日期：2015－12－28

中圖分類號：O313

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1005－4642（2016）03－0024－04

［責(zé)任編輯：任德香］