CUIChun-qiang

【Abstract】In this section， Our intention is to give a generalization of an extension of the Cayley-Hamilton theorem in the case of two n×n matrices in the formal matrix ring Mn（R； s）.

【Key words】formal matrix ring； the Cayley-Hamilton theorem； extension； integral domain.

1. Introduction

The Cayley-Hamilton theorem and its extensions have many applications in con-trol systems， electric circuit and many other areas （see [3， 6]）. The Cayley-Hamilton theorem has been extended to rectangular matrices， block matrices and to pairs of commuting matrices （see [1， 3， 2]）.

The classical Cayley-Hamilton theorem states that every square matrix over a com-mutative ring satis?es its own characteristic equation. Precisely， if A is an n×n matrix over a commutative ring， then P（A）=0 where P （λ）= det（λIn-A） is the character-istic polynomial of A. The Cayley-Hamilton theorem has been extended to matrices over the formal matrix ring Mn（R； s） in [5].

The Jacobson radical， the center， the set of zero-divisors and the group of units of a ring R are denoted by J（R）， C（R）， Z（R），and U（R） respectively.

2. Extension of the Cayley-Hamilton theorem

First， we begin with some auxiliary de?nitions and lemmas.

De?ne δijk=1+δik-δij-δjk where δik，δij，δjk are the Kronecker delta symbols. For s ∈ C（R）， de?ne sijk=sδijk for all 1 ≤ i， j， k ≤ n. Note that

De?nition 2.1. （[5]， Def.2） Let R be a ring with s∈C（R） and let n ≥ 2. The set of all n×n matrices over R will be denoted by Mn（R； s）， with usual addition of matrices and with multiplication de?ne below， for any A =（aij）， B =（bij） ∈ Mn（R； s），

We could prove that Mn（R； s） forms a ring， and Mn（R； s） is called a formal matrix ring over R de?ned by s. For instances，

in M2（R； s）， and

in M3（R； s）.

De?nition 2.2. （[5]， p.4685） Let x be an indeterminate over R and let R[x] be the poly-nomial ring. Then there exists a ring homomorphism Φx ： Mn（R[x]； x）Mn（R[x]） given by （rij（x）） （x1-δij rij（x））.

Given A =（aij） ∈ Mn（R； s）， there is a matrix of Mn（R[x]； x）， denoted by A，whose （i， j）-entry is aij. Then Φx（A） ∈ Mn（R[x]）. Let adj（Φx（A）） be the adjoint matrix of Φx（A） in Mn（R[x]） and write adj（Φx（A）） = （fij（x）） . Since x is a non zero-divisor of R[x]， one easily sees that there exists a unique gij（x） ∈ R[x] such that fij（x）= x1-δij gij（x）. Denote adjx（A）=（gij（x）） ∈ Mn（R[x]； x） and call it the x-adjoint matrix of A. The matrix adjs（A） ：= （gij（s）） ∈ Mn（R； s） is called the s-adjoint matrix of A in Mn（R； s）.

Lemma 2.3. （[5]， Prop.32） Let A， B ∈ Mn（R； s）.Then：

（1）dets（A · B）= dets（A）dets（B）.

（2）A · adjs（A）= adjs（A） · A = dets（A） · In = dets（A）In.

（3）A is invertible if and only if dets（A） ∈ U（R）.

De?nition 2.4. （[5]， Def.33） We de?ne the s-characteristic polynomial of A ∈ Mn（R； s） to be the characteristic polynomial of Φs（A） in Mn（R）.

Lemma 2.5. （[5]， Th.34） （Cayley-Hamilton theorem） Let A ∈ Mn（R； s）. If f（λ） ∈ R[λ] is the s-characteristic polynomial of A， then f（A）=0 in Mn（R； s）.

Theorem 2.6. Let A， B ∈ Mn（R； s） and let PA，B（x， y）= dets（xA - yB）. If A · B = B · A， then PA，B（B， A）=0.

Proof： Note that PA，B（x， y） is a homogeneous polynomial of degree n in the two variables x and y. So we can assume that

PA，B（x， y）= anxn+ an-1xyn-1 + ··· + a1xyn-1+ a0yn.

Let N be the s-adjoint matrix of the matrix xA - yB， that is N = adjs（xA - yB）. Clearly， N can be written in the form

N= Nn-1xn-1+ Nn-2xn-2y + ··· + N1xyn-2+N0yn-1，

where Nn-1，Nn-2 ··· ，N1，N0 ∈ Mn（R； s）.

Now， for any A ∈ Mn（R； s）， we have A · adjs（A）= dets（A）In from lemma 2.3 （2）. Thus

（xA - yB） · N = PA，B（x， y）In.

Expanding the left-hand side and comparing the coe?cients of xiyj in both sides， we obtain the following n + 1 equations：

Multiplying these equations to the left by Bn ， Bn-1 · A， Bn-2 · A2 ， ··· ， An respec-tively， and using the fact that A and B commute， we obtain the following equations：

Hence， the terms on the left-hand side will cancel out leaving the zero matrix. The terms on the right-hand side add up to

anBn + an-1Bn-1 · A + an-2Bn-2 · A2 + ··· + a1B · An-1 + a0An = PA，B（B， A）=0

The theorem is established.

Remark 2.7. In the above theorem， if y =1 and A = In， then we obtain the classical Cayley-Hamilton theorem over formal matrix ring Mn（R； s）.

References：

[1]F.R Chang.and C.N.Chan，The generalized Cayley-Hamilton theorem for stan-dard pencils； System and Control Lett.，vol.18（1992），179-182.

[2]T.Kaczorek，An existence of the Cayley-Hamilton theorem for nonsquare block matrices and computation of the left and right inverses； Bull.Pol.Acad.Techn.Sci.，vol.43（1）（1995），49-56.

[3]T.Kaczorek，New extensions of the Cayley-Hamilton theorem with applications； Proceeding of the 19th European Conference on Modelling and Simulation，2005.

[4]I.Kaddoura and B.Mourad，A Not on a Generalization of an Extension of the Cayley-Hamilton Theorem，Intel.Math.Forum，3（17）（2008），829-836.

[5]G.Tang，Y.Zhou，A class of formal matrix rings，Linear Algebra Appl.438（12）（2013），4672-4688.

[6]L.F.Urrutia and N.Morales，The Cayley-Hamilton theorem for supermatrices，J.Phys.A：Math.Gen.，27（1994），1981-1997.