周炳海，陶紅玉，綦法群

(同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，201804上海)

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帶隨機(jī)突變的兩階段退化系統(tǒng)視情維修建模

周炳海，陶紅玉，綦法群

(同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，201804上海)

摘要:為深入研究系統(tǒng)兩階段隨機(jī)退化及環(huán)境變化對(duì)退化過(guò)程的影響，構(gòu)建兩階段退化模型．將系統(tǒng)的退化過(guò)程分為退化點(diǎn)的產(chǎn)生與退化點(diǎn)的生長(zhǎng)兩個(gè)階段，分別采用非齊次Poisson過(guò)程和非定態(tài)Gamma過(guò)程進(jìn)行建模．引入環(huán)境影響因子，研究環(huán)境變化對(duì)系統(tǒng)退化過(guò)程的影響，建立帶隨機(jī)突變的兩階段退化模型，對(duì)視情維修進(jìn)行建模研究．實(shí)驗(yàn)分析單階段與兩階段退化模型在不同環(huán)境影響因子下，系統(tǒng)期望成本與檢測(cè)間隔時(shí)間之間的關(guān)系以及壽命分布．結(jié)果表明，提出的建模方法對(duì)解決隨機(jī)退化系統(tǒng)維修決策問(wèn)題有效、實(shí)用．

關(guān)鍵詞:視情維護(hù);隨機(jī)突變; gamma過(guò)程; Poisson過(guò)程;隨機(jī)退化;兩階段退化

隨著核電系統(tǒng)、輸油管道系統(tǒng)等隨機(jī)退化系統(tǒng)的安全性受到越來(lái)越多的重視，目前隨機(jī)退化系統(tǒng)維護(hù)建模問(wèn)題已成為工業(yè)界和學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn)．

在進(jìn)行系統(tǒng)視情維修建模時(shí)，通常需要根據(jù)系統(tǒng)的退化特征采用科學(xué)合理的方法對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變化過(guò)程進(jìn)行描述．針對(duì)隨機(jī)退化系統(tǒng)，許多學(xué)者［1－3］利用隨機(jī)過(guò)程對(duì)系統(tǒng)的退化過(guò)程進(jìn)行描述，并在此基礎(chǔ)上提出視情維修策略．目前，文獻(xiàn)中基于隨機(jī)過(guò)程的退化模型主要分為3類:連續(xù)退化模型、隨機(jī)沖擊模型及多競(jìng)爭(zhēng)風(fēng)險(xiǎn)模型．連續(xù)退化模型通常采用Markov決策過(guò)程、Gamma過(guò)程等對(duì)系統(tǒng)的退化過(guò)程進(jìn)行描述．文獻(xiàn)［4］利用Markov決策過(guò)程對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)退化過(guò)程進(jìn)行描述．文獻(xiàn)［5］通過(guò)對(duì)檢測(cè)間隔時(shí)間和維護(hù)策略聯(lián)合優(yōu)化，建立了半Markov決策模型．文獻(xiàn)［6］和［7］運(yùn)用Gamma過(guò)程對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)退化過(guò)程進(jìn)行建模．隨機(jī)沖擊模型［8－9］主要是針對(duì)受隨機(jī)沖擊影響的系統(tǒng)，通常采用Poisson過(guò)程來(lái)建模．文獻(xiàn)［10］和［11］分別運(yùn)用Poisson過(guò)程對(duì)受隨機(jī)沖擊影響的系統(tǒng)進(jìn)行建模研究．考慮到系統(tǒng)在工作過(guò)程中退化路徑并不是唯一的，一些學(xué)者提出了多競(jìng)爭(zhēng)風(fēng)險(xiǎn)模型．該類模型最常見(jiàn)的是DTS (degradation-threshold-shock)模型．文獻(xiàn)［12］首次對(duì)DTS模型進(jìn)行了分析．文獻(xiàn)［13］在退化過(guò)程和沖擊過(guò)程相互獨(dú)立的假設(shè)之下，采用DTS模型對(duì)系統(tǒng)退化過(guò)程進(jìn)行建模．文獻(xiàn)［14］通過(guò)引入加性和乘性退化模型，針對(duì)帶隨機(jī)退化和隨機(jī)沖擊的單部件系統(tǒng)，提出了不完全維護(hù)策略．文獻(xiàn)［15］針對(duì)單機(jī)可修系統(tǒng)，建立了隨機(jī)退化和隨機(jī)沖擊競(jìng)爭(zhēng)失效模型．上述文獻(xiàn)中所建立的系統(tǒng)退化模型均假設(shè)系統(tǒng)一旦啟動(dòng)就立即開(kāi)始退化，這對(duì)某些具有多階段退化特征的情況并不適用，例如點(diǎn)蝕過(guò)程、裂紋產(chǎn)生與生長(zhǎng)過(guò)程等．此外，該類模型通常假設(shè)系統(tǒng)的退化過(guò)程是平穩(wěn)的，并不考慮環(huán)境變化對(duì)系統(tǒng)退化過(guò)程的影響，這與實(shí)際有一定的差距．

本文通過(guò)引入環(huán)境影響因子來(lái)描述環(huán)境變化對(duì)系統(tǒng)退化過(guò)程的影響，針對(duì)具有兩退化階段的隨機(jī)退化系統(tǒng)，建立了基于隨機(jī)過(guò)程的帶有隨機(jī)突變的兩階段退化模型，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了視情維護(hù)模型．

1　退化過(guò)程建模

任何系統(tǒng)都具有一定的自愈能力，使其在開(kāi)始運(yùn)行的一段時(shí)間內(nèi)保持全新?tīng)顟B(tài)．隨著系統(tǒng)工作時(shí)間的增加以及外部環(huán)境變化的影響，系統(tǒng)自愈能力逐漸下降，系統(tǒng)中某些點(diǎn)或區(qū)域開(kāi)始退化．將系統(tǒng)中最初開(kāi)始退化的點(diǎn)或區(qū)域稱為退化點(diǎn)，則系統(tǒng)的退化過(guò)程可分為退化點(diǎn)的產(chǎn)生和生長(zhǎng)兩個(gè)過(guò)程．系統(tǒng)并不是孤立存在的，系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中必然要受到周圍環(huán)境的影響．例如，濕度及酸堿度等因素對(duì)管道腐蝕過(guò)程的影響．本文考慮環(huán)境變化對(duì)系統(tǒng)退化過(guò)程的影響，對(duì)兩階段退化系統(tǒng)的退化過(guò)程進(jìn)行分析．用Mi表示系統(tǒng)中第i個(gè)退化點(diǎn)的退化過(guò)程，hi表示第i次環(huán)境變化，系統(tǒng)的退化過(guò)程及第i個(gè)退化點(diǎn)的生長(zhǎng)過(guò)程如圖1和圖2所示．

圖1　系統(tǒng)退化過(guò)程

為有效描述問(wèn)題，做如下假設(shè): 1)系統(tǒng)不可修，每次對(duì)系統(tǒng)的維護(hù)都對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更換; 2) t時(shí)刻系統(tǒng)的退化狀態(tài)可由周期性檢測(cè)完全獲得，且數(shù)據(jù)可靠; 3)環(huán)境變化對(duì)退化點(diǎn)產(chǎn)生過(guò)程的影響為ρi(i=0，1，2，…)，對(duì)退化點(diǎn)生長(zhǎng)過(guò)程的影響為qi(i=0，1，2，…) ; 4)環(huán)境一旦發(fā)生變化，可立刻被觀察到．

圖2　退化點(diǎn)生長(zhǎng)過(guò)程

由于環(huán)境變化具有隨機(jī)性．假設(shè)在時(shí)間t上，環(huán)境變化的次數(shù)服從強(qiáng)度因子為λh的泊松過(guò)程，環(huán)境變化發(fā)生的時(shí)間序列為Sh，則第i次環(huán)境變化的時(shí)刻為為一計(jì)數(shù)過(guò)程且有，則在［0，t］內(nèi)，環(huán)境變化n次的概率可以表示為

引入環(huán)境變化系數(shù)φ(φ∈{－1，1} )來(lái)表示環(huán)境惡化或改善，即，當(dāng)φ=－1時(shí)，表示環(huán)境改善，一定程度減緩系統(tǒng)的退化;當(dāng)φ=1時(shí)，表示環(huán)境的惡化，加快系統(tǒng)的退化．

根據(jù)文獻(xiàn)［16］，采用非齊次泊松過(guò)程(nohomogeneous Poisson Process NHPP)對(duì)退化點(diǎn)的產(chǎn)生過(guò)程進(jìn)行建模．N={ N(t)，t≥0}為一計(jì)數(shù)過(guò)程，表示t時(shí)刻退化點(diǎn)的數(shù)目．假設(shè)在時(shí)間t上退化點(diǎn)的數(shù)目N(t)服從以λ(t)=λtδ－1為強(qiáng)度因子的NHPP，時(shí)間段［0，t］內(nèi)退化點(diǎn)的數(shù)目為E［N(t)］，則時(shí)間區(qū)間［t1，t2］內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)退化點(diǎn)的概率為

由于環(huán)境變化對(duì)退化點(diǎn)產(chǎn)生過(guò)程的影響，在相同的時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的退化點(diǎn)的數(shù)目發(fā)生變化，假設(shè)

因此有

令P［N(t1)，N(t2)，n］=P{N(t2)－N(t2)=n}，t時(shí)刻產(chǎn)生退化點(diǎn)數(shù)目的均值為則t時(shí)刻，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)退化點(diǎn)的概率為

根據(jù)文獻(xiàn)［16］，采用非定態(tài)伽馬過(guò)程(nonstationary gamma process)對(duì)退化點(diǎn)的生長(zhǎng)過(guò)程進(jìn)行建模．令αi(t)=αitqi，由于受環(huán)境變化的影響，變化前后退化點(diǎn)的退化速率發(fā)生變化，本文引入環(huán)境變化系數(shù)及環(huán)境影響因子進(jìn)行描述，即用di(t)表示t時(shí)刻第i個(gè)退化點(diǎn)的退化量，則其概率密度函數(shù)為

在周期性檢測(cè)策略下，對(duì)系統(tǒng)的退化過(guò)程進(jìn)行建模．當(dāng)?shù)趎個(gè)檢測(cè)周期到達(dá)時(shí)，退化點(diǎn)i的退化量為Di(nδ)．假設(shè)退化點(diǎn)i的產(chǎn)生時(shí)間為t0i，到達(dá)第n個(gè)檢測(cè)周期時(shí)，已經(jīng)歷過(guò)Nih(nδ)次環(huán)境變化，沖擊發(fā)生的時(shí)刻為可得

式中: Wi(nδ)表示退化點(diǎn)在n次沖擊作用后產(chǎn)生的損傷累計(jì)，Xi(nδ)表示內(nèi)退化點(diǎn)的退化量，且有

將式(2)和(3)代入式(1)可得

式中I－1［*］為L(zhǎng)aplace變換的逆運(yùn)算．若系統(tǒng)允許的最大退化量為H，則t時(shí)刻，退化點(diǎn)i的可靠度為Ri(t)=P{ Di(t)≤H}=

假設(shè)t時(shí)刻，系統(tǒng)內(nèi)存在n個(gè)退化點(diǎn)，系統(tǒng)的退化量由退化情況最嚴(yán)重的退化點(diǎn)的退化量來(lái)表示，即有

式中:

Pmaxi=P［Di(t)＞D1(t)∩Di(t)＞D2(t)∩…］，則t時(shí)刻系統(tǒng)的可靠度為

2　視情維修建模

假設(shè)系統(tǒng)允許的最大退化量為hf，當(dāng)系統(tǒng)退化量一旦達(dá)到hf，系統(tǒng)發(fā)生突發(fā)性故障，系統(tǒng)立即停機(jī)，此時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行故障替換;當(dāng)系統(tǒng)退化量達(dá)到hcm時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生潛在失效，潛在失效不能被立即發(fā)現(xiàn)，此時(shí)系統(tǒng)仍可以繼續(xù)運(yùn)行，直到下一個(gè)檢測(cè)周期到達(dá)．在第n個(gè)檢測(cè)周期，系統(tǒng)發(fā)生潛在失效，此時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行修復(fù)性維護(hù)，則其概率為

系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中出現(xiàn)突發(fā)故障的概率為

由式(4)可得到t時(shí)刻系統(tǒng)進(jìn)行維護(hù)的概率為

每次維護(hù)結(jié)束記為一個(gè)維護(hù)周期，cin為每次檢測(cè)的檢測(cè)成本，ccm為每次修復(fù)性維護(hù)的成本，cf為每次故障性維護(hù)的成本，且有ccm＜cf，則有期望維護(hù)成本:

C(t)表示系統(tǒng)在時(shí)間t內(nèi)產(chǎn)生的維修成本，由更新定理可得單位維修成本:

3　實(shí)驗(yàn)分析

核電系統(tǒng)中的蒸汽發(fā)生器傳熱管工作環(huán)境復(fù)雜多變，其腐蝕過(guò)程可分為腐蝕點(diǎn)的萌發(fā)和點(diǎn)蝕坑深的增長(zhǎng)兩個(gè)過(guò)程，可采用非齊次Poisson分布和非定態(tài)Gamma分布對(duì)其進(jìn)行描述［16］．假設(shè)管道壁厚為df=3．0 mm的傳熱管，當(dāng)某一腐蝕坑深度達(dá)到3．0 mm時(shí)，整個(gè)管道立即失效;當(dāng)某一腐蝕坑深度達(dá)到2．5 mm時(shí)，對(duì)管道進(jìn)行替換．管道故障后的維護(hù)成本為cf=18 000元，管道達(dá)到替換閾值時(shí)，對(duì)其進(jìn)行替換的成本為ccm=12 000元，每次檢測(cè)的成本cin=200元．為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)所有的退化點(diǎn)產(chǎn)生后，在不受環(huán)境變化影響的情況下其退化率相同．各參數(shù)設(shè)置如下α0=5，β0=8，q=1．6，λ0=0．08，δ=0．5年．經(jīng)過(guò)Monte-Carlo仿真，對(duì)單階段與兩階段退化模型下管道的維護(hù)成本和退化水平進(jìn)行分析，可得到圖3、4．

圖3　λh=0時(shí)期望成本與退化量隨時(shí)間的變化趨勢(shì)

由圖3和圖4對(duì)比可知，在λh=0和λh=8時(shí)，管道的維護(hù)成本隨時(shí)間逐漸增加，同時(shí)呈階梯式增長(zhǎng)．由于每次對(duì)管道檢測(cè)都會(huì)產(chǎn)生一定的檢測(cè)費(fèi)用，因此維護(hù)成本以一定的速率逐漸增加，而當(dāng)管道達(dá)到維護(hù)閾值對(duì)管道進(jìn)行維護(hù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的維護(hù)成本，此時(shí)維護(hù)成本增長(zhǎng)較快．由圖3(c)、(d)和圖4(c)、(d)可以看出，單階段退化模型中，管道從0時(shí)刻就開(kāi)始退化，而兩階段退化模型中，在系統(tǒng)運(yùn)行一段時(shí)間后，管道內(nèi)產(chǎn)生退化點(diǎn)，此時(shí)管道開(kāi)始退化，并且在退化過(guò)程中不斷有新的退化點(diǎn)產(chǎn)生并持續(xù)增長(zhǎng)．由圖3和圖4中還可以看出，管道中不斷產(chǎn)生新的退化點(diǎn)，且t時(shí)刻管道系統(tǒng)的退化情況并不由最早產(chǎn)生的退化點(diǎn)的退化情況決定，而是由該時(shí)刻退化情況最嚴(yán)重的退化點(diǎn)決定．根據(jù)模型可知，退化點(diǎn)的生長(zhǎng)過(guò)程服從非定態(tài)Gamma分布，且受環(huán)境變化的影響，因此各退化點(diǎn)生長(zhǎng)過(guò)程具有一定的隨機(jī)性．在某一時(shí)刻，產(chǎn)生較晚的退化點(diǎn)的退化情況可能比產(chǎn)生較早的退化點(diǎn)的退化情況更嚴(yán)重．對(duì)λh=0和λh=8時(shí)整個(gè)管道退化速率進(jìn)行了分析，由圖3和圖4中系統(tǒng)退化曲線坡度的變化可知，當(dāng)λh=0時(shí)，管道的退化過(guò)程相對(duì)比較平穩(wěn);當(dāng)λh=8時(shí)，管道內(nèi)各退化點(diǎn)的退化速率隨時(shí)間發(fā)生變化．

對(duì)單階段和兩階段退化模型的維護(hù)成本率進(jìn)行分析，得如圖5所示曲線．

圖5　期望成本與檢測(cè)間隔時(shí)間關(guān)系曲線

由圖5可知，無(wú)論單階段還是兩階段退化模型，期望成本率隨檢測(cè)間隔時(shí)間的增加，呈現(xiàn)出先減小后增加的趨勢(shì)，并且總體上兩階段退化模型下系統(tǒng)的期望成本率高于單階段退化模型下系統(tǒng)的期望成本率．對(duì)于單階段退化模型，管道從0時(shí)刻就開(kāi)始退化，但在退化過(guò)程中，整個(gè)管道的退化情況由唯一的退化過(guò)程來(lái)描述，而對(duì)于兩階段退化模型，在t時(shí)刻，系統(tǒng)的退化情況由已產(chǎn)生的退化點(diǎn)中退化最嚴(yán)重退化點(diǎn)的退化情況來(lái)決定．根據(jù)圖3和圖4分析，各退化點(diǎn)退化量的增長(zhǎng)具有隨機(jī)性，系統(tǒng)中較晚產(chǎn)生的退化點(diǎn)的退化情況可能比系統(tǒng)中最初產(chǎn)生的退化點(diǎn)的退化情況更嚴(yán)重，這使得在兩階段退化情況下，系統(tǒng)總的退化速率比單階段模型下系統(tǒng)的退化速率大，相應(yīng)的維護(hù)成本率也比單階段退化情況下的維護(hù)成本高．

由于系統(tǒng)在退化過(guò)程中還受到環(huán)境變化的影響，在不同的環(huán)境變化情況下，對(duì)系統(tǒng)的期望成本率進(jìn)行分析，可得到圖6和圖7．

圖6　單階段退化系統(tǒng)期望成本率與檢測(cè)間隔時(shí)間關(guān)系曲線

圖7　兩階段退化系統(tǒng)期望成本率與檢測(cè)間隔時(shí)間關(guān)系曲線

由圖6和圖7可知，隨著檢測(cè)周期的增大，單階段退化管道和兩階段退化管道的期望成本都呈現(xiàn)出先減小后增大的特點(diǎn)．因此，可以得到使成本最低的檢測(cè)間隔時(shí)間，即每條曲線的最低點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的檢測(cè)間隔時(shí)間．當(dāng)檢測(cè)間隔時(shí)間一定時(shí)，分析了對(duì)環(huán)境變化因子對(duì)成本的影響．分析結(jié)果表明，單階段退化模型和兩階段退化模型中，期望成本并不隨λh的增大而增大．在該試驗(yàn)中，隨著λh的增大，期望成本先增大后減小再增大．由于系統(tǒng)退化受系統(tǒng)內(nèi)因及環(huán)境變化的影響，當(dāng)系統(tǒng)退化的隨機(jī)性與環(huán)境變化的隨機(jī)性相互作用，內(nèi)外因?qū)ο到y(tǒng)退化的影響減弱時(shí)，系統(tǒng)的退化率減小，最終表現(xiàn)為維護(hù)成本降低．相反當(dāng)內(nèi)外因?qū)ο到y(tǒng)退化的影響加強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)的退化率增加，系統(tǒng)的維護(hù)成本增加．

取檢測(cè)間隔時(shí)間為0．7年，分別對(duì)單階段退化系統(tǒng)與兩階段退化系統(tǒng)的壽命分布受環(huán)境變化因素影響情況進(jìn)行分析．采用Bootstrap估計(jì)法對(duì)管道的壽命分布及95%置信區(qū)間進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如圖8和圖9所示．

由圖8和圖9可知，當(dāng)管道所處相同環(huán)境條件下時(shí)，單階段退化模型下管道的壽命明顯比兩階段退化情況下的管道壽命要長(zhǎng)，這與圖3、圖4呈現(xiàn)出的特點(diǎn)是一致的．由此可知，運(yùn)用單階段退化模型來(lái)對(duì)該類系統(tǒng)退化情況進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，沒(méi)有充分考慮系統(tǒng)內(nèi)其他退化點(diǎn)的退化情況，并不能準(zhǔn)確的描述系統(tǒng)的退化情況，可能會(huì)造成對(duì)系統(tǒng)退化情況的樂(lè)觀估計(jì)．對(duì)于單階段或兩階段退化情況下，隨著環(huán)境變動(dòng)性的增加，管道的壽命分布范圍也增大，且隨著λh的增加，管道的壽命呈縮短趨勢(shì)．對(duì)于受環(huán)境影響較大的系統(tǒng)來(lái)講，外部環(huán)境的變動(dòng)性直接影響到系統(tǒng)壽命，對(duì)系統(tǒng)退化情況的合理預(yù)測(cè)以及有效的檢測(cè)和維護(hù)措施是保證系統(tǒng)正常運(yùn)行的重要手段．

圖8　單階段退化系統(tǒng)壽命概率分布及其95%置信區(qū)間的估計(jì)

圖9　兩階段退化系統(tǒng)壽命概率分布及其95%置信區(qū)間估計(jì)

4　結(jié)　論

1)對(duì)退化系統(tǒng)的維護(hù)，通常將系統(tǒng)的退化過(guò)程看作是一個(gè)單階段的隨機(jī)退化過(guò)程，并且系統(tǒng)的退化路徑也是唯一的．本文針對(duì)具有兩階段退化的系統(tǒng)建立了兩階段退化系統(tǒng)視情維修模型，可為該類系統(tǒng)的維護(hù)決策問(wèn)題提供有效的解決方法;

2)本文在建立兩階段退化模型時(shí)進(jìn)一步考慮環(huán)境變化對(duì)系統(tǒng)退化過(guò)程的影響，這對(duì)減少由于對(duì)系統(tǒng)退化情況估計(jì)不準(zhǔn)造成的不合理維護(hù)及保證系統(tǒng)安全運(yùn)行具有重要意義;

3)本文結(jié)合Bootstrap法得到的退化系統(tǒng)壽命分布的95%置信區(qū)間，可以為實(shí)際系統(tǒng)的檢修以及維護(hù)方案的制定提供有價(jià)值的信息．

參考文獻(xiàn)

［1］HONG H P，ZHOU W，ZHANG S，et al．Optimal conditionbased maintenance decisions for systems with dependent stochastic degradation of components［J］．ReliabilityEngineering＆System Safety，2014，121(1) : 276－288．

［2］陶紅玉，周炳海．基于隨機(jī)過(guò)程的風(fēng)力機(jī)狀態(tài)維護(hù)建模［J］．計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2014，20(6) : 1416－1423．

［3］XIANG Y，F(xiàn)ENG Q M，COIT D W．Accelerated burn-in and condition-based maintenance for n－subpopulations subject to stochastic degradation［J］．IIE Transactions Institute of Industrial Engineers，2014，46(10) : 1093－1106．

［4］SOPIE B M．A preventive maintenance policy with sequential checking procedure for a Markov deteriorating system［J］．European Journal of Operational Research，2002，142(3) : 548－576．

［5］CHEN D，TRIVEDI K S．Optimization for condition-based maintenance with semi-Markov decision process［J］．Reliability engineering＆system safety，2005，90 (1) : 25－29．

［6］CHENG T，PANDEY M D．An accurate analysis of maintenance cost of structures experiencing stochastic degradation［J］．Structure and Infrastructure Engineering，2012，8(4) : 329－339．

［7］GRALL F M A．Monitoring and condition-based maintenance with abrupt change in a system’s deterioration rate［J］．International Journal of Systems Science，2013，44(10) : 1－12．

［8］PERSONA A，PHAM H，SGARBOSSA F．Age replacement policy in a random environment using system ability［J］．International Journal of Systems Science，2010，41(11) : 1383－1397．

［9］SHEU S H，LI S H，CHANG C C．A generalised maintenance policy with age-dependent minimal repair cost for a system subject to shocks under periodic overhaul［J］．International Journal of Systems Science，2012，43(6) : 1007－1013．

［10］ESARY J D，MARSHALL A W．Shock models and wear processes［J］．The Annals of Probability，1973，1(4) : 627－649．

［11］Van der WEIDER J A M，PANDEY M D．Stochastic analysis of shock process and modeling of condition-based maintenance［J］．Reliability Engineering＆System Safety，2011，96(6) : 619－626．

［12］LEMOINE A J，WENOCUR M L．On failure modeling［J］．Naval Research Logistics Quarterly，1985，32(3) : 497－508．

［13］DELOUX E，CASTANIER B，BERENGUER C．Predictive maintenance policy for a gradually deteriorating system subject to stress［J］．Reliability Engineering＆System Safety，2009，94(2) : 418－431．

［14］WANG Y，PHAM H．Imperfect preventive maintenance policies for two-process cumulative damage model of degradation and random shocks［J］．International Journal of System Assurance Engineering and Management，2011，2 (1) : 66－77．

［15］HUYNK K T，CASTRO I T，BARROS A，et al．Modeling age-based maintenance strategies with minimal repairs for systems subject to competing failure modes due to degradation and shocks［J］．European Journal of Operational Research，2012，218(1) : 140－151．

［16］ZHOU Binghai，ZHAI Ziqing．Failure probabilistic analysis of steam generator heat-transfer tubing with pitting corrosion ［J］．Engineering Failure Analysis，2011，18(5) : 1333－1340．

(編輯楊波)

Condition-based maintenance modeling for two-stage deteriorating systems with random change

ZHOU Binghai，TAO Hongyu，Qi Faqun
(School of Mechanical Engineering，Tongji University，201804 Shanghai，China)

Abstract:To effectively describe stochastic deteriorations and environment effects on a system deterioration process，a two-stage deterioration model was proposed for a two-stage deteriorating system．Deterioration pit was used to denote a deterioration region where is going to suffer a deterioration process．The deterioration process is divided into two stages: the deterioration pit initiation process and the deterioration pit growth process．A nonstationary Gamma process and a non-homogeneous Poison process were introduced to model the deterioration pit initiation process and the deterioration pit growth process respectively．By regarding environment changes as random changes and introducing environment effect factor，a two-stage deterioration model with random changes was developed．Based on the deterioration model，a condition-based maintenance model was presented finally．The optimal inspection intervals of the system can be found by minimizing the expected maintenance cost under single stage deterioration model and two-stage deterioration model as different environment effect factors．Finally simulation experiments were designed．Results show that the proposed model is valid and practical for stochastic deterioration systems of decision-making maintenance actions．

Keywords:condition-based maintenance; random change; stochastic degradation; two-stage deterioration

通信作者:周炳海，bhzhou@ tongji．edu．cn．

作者簡(jiǎn)介:周炳海(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師．

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金(61273035; 71471135)．

收稿日期:2014－12－01．

doi:10．11918/j．issn．0367-6234．2016．01．013

中圖分類號(hào):TP16

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):0367－6234(2016) 01－0087－07