李陽騰龍，岑敏儀，白 璇，易思蓉

(西南交通大學(xué) 高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031)

客運專線列車的高速運行要求軌道具有高平順性，軌道幾何狀態(tài)的平順性檢測和評價主要由軌道測量儀[1,2]完成。軌道測量儀通過同時獲取軌道里程、軌距、超高、扭曲等相關(guān)幾何尺寸和空間三維信息，評價軌道的短波(10 m弦)、中波(30 m弦)和長波(300 m弦)等平順性指標(biāo)，是高速鐵路軌道施工精調(diào)和運營維護中軌道靜態(tài)檢測的計量工具和重要設(shè)備。目前，無論國外引進還是國內(nèi)生產(chǎn)，軌道測量儀檢測軌道數(shù)據(jù)的處理方法尚未完全公開，為滿足我國高速鐵路建設(shè)和運營維護的需要，文獻[3-5]進行了有益的研究探討。為確保上道檢測軌道計量工具的精確度，需要通過標(biāo)準(zhǔn)軌道檢驗場的方式檢測軌道測量儀，分析其檢測軌道的精度[6]。軌道平順性評價主要包括短波、中波和長波指標(biāo)，其優(yōu)劣直接影響到軌道的空間位置定位精度。平面平順性評價模型的核心是橫向偏差，它是軌道測點與對應(yīng)中線點的水平距離，可通過軌道點實測坐標(biāo)值與其對應(yīng)中線點設(shè)計坐標(biāo)值計算獲得[7,8]。

軌道測點的橫向偏差在直線段的計算比較簡單，可通過平面解析幾何中點到直線距離的數(shù)學(xué)模型[9]求得軌道點到線路中線的橫向偏差。鐵路曲線包含緩和曲線和圓曲線，曲線方程較直線段復(fù)雜，精確確定曲線段軌道測點對應(yīng)的中線點到曲線起點的曲線長，才能精確確定中線點坐標(biāo)值，從而準(zhǔn)確計算橫向偏差。因此，確定鐵路曲線段軌道測點對應(yīng)中線點到曲線起點的長度，是高效、精確確定軌道檢測點橫向偏差及其平面平順性的基礎(chǔ)。

快速精確獲取地面任意測點對應(yīng)線路中線點到曲線起點長度的算法，在線路施工放樣中應(yīng)用廣泛。文獻[10]針對傳統(tǒng)逐漸趨近法計算速度慢、誤差大的缺點提出截面二點解析法，可求解線路放樣中加樁的里程，提高計算精度。文獻[11]提出首先判斷加樁位置、滿足法線方位角與切線方位角垂直條件的逐步搜索算法，它僅需加樁坐標(biāo)，即可確定加樁對應(yīng)中線的里程，算法簡單、方便高效。文獻[12，13]在上述算法基礎(chǔ)上改進，提出以緩和曲線上任意點處法線與切線斜率的乘積等于-1為約束條件，建立牛頓法數(shù)學(xué)模型，進一步提高求解緩和曲線上中線加樁里程的速度和精度。文獻[14]通過構(gòu)造距離微分函數(shù)，用牛頓法求解緩和曲線段中樁里程。文獻[15，16]提出通過復(fù)合Simpson公式，計算測點到設(shè)計點法線的垂直距離，迭代修正曲線長，獲取測點橫向偏差。

在高速鐵路軌道平順性檢測中，鐵路曲線半徑大，軌道測點密集、量大且與設(shè)計中線偏差小，檢測精度要求高，因此對計算橫向偏差的精度和效率要求嚴(yán)格。為檢驗軌道測量儀檢測精度和性能而建立的標(biāo)準(zhǔn)軌道檢驗場，也需要選取最優(yōu)橫向偏差算法。因此，有必要對線路橫向偏差計算方法進行研究，以提高高速鐵路軌道平順性精密檢測的可靠性和實用性。

1 縱向偏差模型算法

設(shè)轉(zhuǎn)向角右偏的鐵路，其緩和曲線長為l0，圓曲線半徑為R。實測點Mi與對應(yīng)線路中線點Ni的關(guān)系如圖1所示。圖1中，點S、點E分別為實測點對應(yīng)中線點所在曲線區(qū)間的起終點；Di為點Mi與Ni的平面最短間距；li為點Ni到曲線區(qū)間起點S的弧長。

圖1 實測點與中線點關(guān)系圖

該算法[15,16]將實測點Mi對應(yīng)中線點Ni的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于點Ni到曲線起點S弧長li的復(fù)化辛普森公式函數(shù)，并迭代計算Mi到Ni法線的垂距，直到垂距小于某設(shè)定閾值時，獲得Mi對應(yīng)的線路中線點Ni，此時Mi與Ni的水平距離Di即是Mi的橫向偏差。

中線點Ni坐標(biāo)關(guān)于弧長li的復(fù)化Simpson公式為

( 1 )

式中：(XS，YS)為曲線區(qū)間起點S的坐標(biāo)；M為點到曲線元起點弧長li的積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)；αS、αE分別為點S、點E的方位角；α(l2j)、α(l2j-1)為分段節(jié)點的方位角，見式( 2 )。

( 2 )

根據(jù)式( 1 )和式( 2 )可以看出，點到曲線元起點的弧長li在積分過程中被分成了M段，不同的M值對積分結(jié)果精度明顯存在影響，因此，在算法精度分析時，需要考慮M取值與計算結(jié)果之間的關(guān)系。

上述模型被稱為具有復(fù)化辛普森法則的縱向偏差模型，通過該模型計算線路中線里程和橫向偏差的縱向偏差模型算法(Lateral Deviation Algorithm of Composite Simpson，LDACS)描述如下：

2 距離函數(shù)模型算法

設(shè)有右轉(zhuǎn)鐵路，圓曲線半徑為R，緩和曲線長為l0，如圖2所示。

圖2 中線偏差示意圖

以ZH點為原點，切線方向為x軸，垂直切線方向指向圓心為y軸，建立左手直角坐標(biāo)系，簡稱切線坐標(biāo)系。圖2中，測點Mi與對應(yīng)線路中線點Ni的距離Di在過Ni點切線上投影長為縱向偏差，在垂直于Ni切線方向上投影長為橫向偏差。測點Mi對應(yīng)中線點Ni在緩和曲線上的切線坐標(biāo)[17,18]為

( 3 )

式中：C=Rl0；li為中線點Ni到ZH(HZ)點曲線長。

測點Mi對應(yīng)中線點Ni在圓曲線的切線坐標(biāo)[17]為

( 4 )

式中：αi=180°(li-l0)(Rπ)-1+β0。

如圖2所示，設(shè)切線坐標(biāo)系中測點Mi(xMi,yMi)與中線點Ni(xNi,yNi)的距離

( 5 )

距離函數(shù)模型算法(Distance Function Model Algorithm，簡稱DFA)原理是當(dāng)測點Mi與Ni距離最短時，Ni點即為Mi對應(yīng)中線點，其里程即為測點Mi對應(yīng)中線點里程。它把求取軌道測點Mi的橫向偏差問題轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)點Ni的曲線長li使Ni與測點Mi最近。

2.1 緩和曲線段

牛頓迭代公式

( 6 )

將式( 3 )簡化并代入式( 5 )中，得到關(guān)于緩和曲線長li的函數(shù)f(li)，分別求其對li的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，并代入式( 6 )中，有

( 7 )

2.2 圓曲線段

將式( 4 )代入式( 5 )中，得到曲線長li的函數(shù)f(li)，求f(li)對li的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，有

mcosαi-xMicosαi+Rsinαi+
psinαi-yMisinαi=0

( 8 )

整理得測點對應(yīng)曲線長

( 9 )

根據(jù)式( 3 )及滿足閾值條件的式( 7 )或者式( 4 )及式( 9 )，可計算緩和曲線或圓曲線上Mi的橫向偏差

(10)

3 法切線垂直模型算法

法切線垂直模型算法(Normal Perpendicular to Tangent Model Algorithm，NPTA)的原理是曲線上任意點的法線與過該點的切線相互垂直，且測點位于對應(yīng)中線點的法線上。

3.1 緩和曲線段

根據(jù)文獻[12,13]中的法線與切線垂直函數(shù)模型，可用牛頓法求解測點對應(yīng)中線點緩和曲線長，再由式( 3 )和式(10)計算測點橫向偏差。

3.2 圓曲線段

根據(jù)測點對應(yīng)中線點處法線與切線垂直的原理，存在以下關(guān)系

(11)

對式( 5 )求曲線長li的一階偏導(dǎo)后，代入式(11)中整理得式( 9 )，即法切線垂直模型與距離函數(shù)模型在圓曲線段處求解測點Mi的橫向偏差fh算式相同，因此，兩種模型算法計算圓曲線段的結(jié)果等價。

現(xiàn)給出距離函數(shù)模型算法(簡稱DFA)和法切線垂直模型算法(簡稱NPTA)的步驟：

(1)判斷點Mi的位置(a=第1緩和曲線段；b=圓曲線段；c=第2緩和曲線段)；

(2)將點Mi的測量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到以ZH(HZ)為原點的切線坐標(biāo)系，得Mi(xMi,yMi)；

(5)式( 3 )及滿足閾值條件的式( 7 )、式( 4 )及式( 9 )，根據(jù)式(10)計算其橫向偏差fh。

4 仿真數(shù)據(jù)驗證

為驗證上述三種算法計算里程及橫向偏差的可行性，分別對①R=1 000 m，l0=70 m；②R=3 500 m，l0=380 m；③R=5 500 m，l0=280 m三段鐵路線路中線進行仿真試驗，采樣間隔取為0.625 m，分別在各中線點平面坐標(biāo)上隨機加入-15～15 mm的橫向偏差。

4.1 試驗設(shè)計

(1)試驗1

為驗證三種算法的計算效率，試驗分別對各算法完成線路中線點里程和橫向偏差的計算時間做1 000次統(tǒng)計。由于LDACS算法計算精度與復(fù)化辛普森積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M的取值有關(guān)，不同M值對LDACS算法的效率有影響，因此，對第1、2段緩和曲線及圓曲線上的點到對應(yīng)曲線元起點的弧長進行積分區(qū)間的劃分，并取不同等分值M(1～10)的LDACS算法與DFA、NPTA算法的效率做比較。算法檢驗采用HPdv2804TX計算機，操作系統(tǒng)MS Windows XP，Intel Core Duo T5550雙核處理器，內(nèi)存1.00 GB，主頻1.83 GHz，以Microsoft Visual Studio 2010軟件作為試驗程序開發(fā)執(zhí)行平臺。

(2)試驗2

為驗證三種算法計算精度的可行性，試驗分別對各算法求解的各線路中線點里程和橫向偏差結(jié)果與仿真數(shù)據(jù)做比較，統(tǒng)計里程差和橫向偏差較差的相關(guān)精度。由于等分區(qū)間數(shù)M對LDACS算法計算結(jié)果有影響，因此，為深入分析不同M值對應(yīng)結(jié)果的具體差異，以及結(jié)果是否仍然滿足軌道精密檢測的精度要求，試驗仍采用1～10等分區(qū)間數(shù)的LDACS算法、DFA和NPTA算法的計算結(jié)果與仿真數(shù)據(jù)做比較。

4.2 試驗數(shù)據(jù)分析

(1)試驗1

在迭代閾值為0.01 mm時，分別統(tǒng)計三種算法計算三段線路中線點對應(yīng)里程和橫向偏差的效率。線路①共1 196點，線路②共2 737點，線路③共1 401點。每種算法計算各段線路的運行時間統(tǒng)計1 000次，統(tǒng)計結(jié)果分別見表1～表3。表1～表3中，M表示LDACS算法的復(fù)化辛普森積分等分區(qū)間個數(shù)。

表1 線路①的計算時間比較 s

表2 線路②的計算時間比較 s

表3 線路③的計算時間比較 s

通過表1～表3中均值行可以發(fā)現(xiàn)，DFA和NPTA算法的效率基本一致，前者略高于后者；LDACS算法的效率隨著M值的增加逐漸降低。對于線路①、線路③，M=8到M=9之間的效率降低最快，后者比前者分別降低了5.90%和7.75%；對于線路②，M=1到M=2之間的效率降低最快，后者比前者降低了4.36%，說明積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M取值為1和2、8和9時，LDACS算法效率有較大變化。因此，在精度滿足要求的條件下，可根據(jù)實際需要選擇不同M值使LDACS算法適應(yīng)實際軌道精密檢測的需要。DFA、NPTA算法的效率高于LDACS算法。對比表1～表3的均值行，三種算法計算線路②中線點里程和橫向偏差的時間約為線路①和線路③的2倍，計算線路①和線路③的時間基本一致。由于DFA和NPTA算法僅在緩和曲線段需要進行牛頓迭代，通過該試驗結(jié)果并結(jié)合其數(shù)學(xué)模型分析認(rèn)為，緩和曲線長是影響這兩種算法效率的主要因素。

通過表1～表3中中誤差行可以看出，三種算法在1 000次時間統(tǒng)計中，時間中誤差基本一致，說明時間測試試驗中各算法計算線路里程和橫向偏差的穩(wěn)定性一致，且該試驗結(jié)果的可信度較高。

通過試驗1的結(jié)果和分析認(rèn)為，在最耗時的線路②(長約1.71 km，共2737點)的計算中，用時最長的LDACS(M=10)算法的平均時間僅為0.129 s，由此推算若檢測1 000 km高速鐵路，所花費時間也僅需75.439 s。因此，對于高速鐵路精密檢測，三種算法的效率均比較高。

(2)試驗2

仍取迭代閾值0.01mm，三種算法分別計算三段線路中線點對應(yīng)的里程和橫向偏差，并與仿真數(shù)據(jù)的里程和隨機加入各中線點的橫向偏差值做差，分別統(tǒng)計各段線路下各種算法結(jié)果與已知值(仿真里程和隨機橫向偏差)的較差，列入表4～表9中。表4～表9中，M表示LDACS算法的復(fù)化辛普森積分等分區(qū)間個數(shù)。

表4 三種算法計算線路①的里程差 mm

表5 三種算法計算線路②的里程差 mm

表6 三種算法計算線路③的里程差 mm

通過表4～表6的均值行可以看出，DFA、NPTA算法的里程均值與仿真數(shù)據(jù)的差值小于0.01 mm；LDACS算法的計算精度隨著M值增大而提高，且當(dāng)M≥5時里程差均值小于0.01mm。

通過表4～表6的最大值、最小值和均值行可以看出，當(dāng)M值增大后，LDACS算法里程差的最大值、最小值在數(shù)值上基本相等，且均值趨于0，說明隨著M值的增加，LDACS算法計算的里程精度和準(zhǔn)確度逐漸增大。對比表4～表6的最大值、最小值和均值行發(fā)現(xiàn)，當(dāng)緩和曲線長度增大后，DFA和NPTA算法的里程精度和準(zhǔn)確度均有所下降；當(dāng)半徑減小后，LDACS算法的里程精度和準(zhǔn)確度降低。

表7 三種算法計算線路①的橫向偏差較差 μm

表8 三種算法計算線路②的橫向偏差較差 μm

表9 三種算法計算線路③的橫向偏差較差 μm

通過表7～表9的均值行可以看到，DFA、NPTA算法計算的橫向偏差較差均值小于0.1 μm；當(dāng)M≥4時LDACS算法計算的橫向偏差較差均值小于0.01 mm。對比表7～表9的最大值、最小值和均值行發(fā)現(xiàn)，緩和曲線長度影響DFA和NPTA算法橫向偏差的精度和準(zhǔn)確性；曲線半徑影響LDACS算法橫向偏差的精度和準(zhǔn)確性，當(dāng)M逐漸增大時，LDACS算法精度效率逐漸提高。該性質(zhì)在表4～表6的里程差中同樣也有反映。

通過試驗2的結(jié)果分析可知，DFA、NPTA算法計算三段線路中線點的里程和橫向偏差與仿真數(shù)據(jù)相比，差值均小于0.1 mm(最大里程偏差為63.3 μm，最大橫向偏差為44.74 μm)，且較差均值小于0.01 mm(最大里程差均值為2.8 μm，最大橫向偏差均值為0.05 μm)。對于LDACS算法，當(dāng)積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M≥5時里程差小于0.01 mm，當(dāng)M≥4時橫向偏差較差小于0.01 mm。因此，DFA、NPTA及LDACS(M≥5)算法計算的里程和橫向偏差精度滿足高速鐵路軌道精密檢測的技術(shù)要求。

5 結(jié)論

本文針對高速鐵路軌道精密檢測中評價軌道平順性模型橫向偏差的求解問題，通過仿真數(shù)據(jù)試驗分析，得到以下結(jié)論：

(1)DFA、NPTA和LDACS(復(fù)化辛普森的積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M≥5)算法的計算精度能夠達到0.01 mm，滿足高速鐵路軌道精密檢測的精度要求。

(2)DFA和NPTA算法效率基本相同，均高于LDACS。根據(jù)文中式( 1 )和式( 2 )可知，點到曲線元起點的弧長分成M段后的積分精度與M值有明顯關(guān)系，積分區(qū)間劃分越密集，積分精度越高，但是計算越復(fù)雜。通過試驗對比發(fā)現(xiàn)，隨著積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M值的增加，LDACS算法的計算精度增加、效率降低。根據(jù)結(jié)論(1)可知，在M≥5時，里程和橫向偏差的精度均達到了0.01 mm。以M取10等分的LDACS為例，計算1.71 km軌道(共2 737點)的偏差僅需要0.129 s，由此可知，在滿足計算精度的情況下，三種算法效率仍較高，可用于高速鐵路軌道偏差計算。

(3)通過試驗發(fā)現(xiàn)，隨著鐵路線路緩和曲線長度的增加，DFA和NPTA算法的效率和計算精度均降低；鐵路線路半徑越大，LDACS算法的計算精度越高。

由此可以得出：DFA、NPTA以及LDACS算法的效率、計算精度均滿足高速鐵路軌道施工和運營維護的相關(guān)要求。建議在高速鐵路精密檢測和軌道測量儀算法模型中應(yīng)用。

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