王 科，陳彧超，施鵬飛，邊 疆

（大連理工大學 工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，工程力學系，遼寧 大連 116024）

可滲透島礁環(huán)境下的波浪運動研究

王 科，陳彧超，施鵬飛，邊 疆

（大連理工大學 工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，工程力學系，遼寧 大連 116024）

文章應用邊界單元法，依據(jù)波浪繞射理論研究了潛淹沒島礁上的波浪運動問題。研究中分析了島礁的滲透性、排布的數(shù)量、環(huán)礁瀉湖的深度等因素對于島礁消波作用的影響，獲得了不同島礁環(huán)境下波浪的透射系數(shù)、反射系數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，可滲透島礁的消波效果比不可滲透島礁差，且孔隙率越大，島礁對于波浪的消波效果越?。粏蝹€島礁對長波有明顯的消波作用，而對中短波幾乎沒有影響；但隨著島礁排布數(shù)量的增加，島礁群對于中波的消波效果增加；環(huán)礁的消波效果受到瀉湖深度的影響，在一定范圍內(nèi)，瀉湖的深度越大，環(huán)礁對于中短波的消波效果越好，但當瀉湖深度達到一定數(shù)值后，繼續(xù)增大深度，消波效果基本沒有提高。

可滲透島礁；邊界單元法；波浪透射及反射系數(shù)；瀉湖

0 引 言

我國的海域面積超過400萬平方公里，南海地區(qū)有許多寬度達數(shù)公里、且潛深較小的珊瑚礁，這些自然島礁與潛式防波堤類似，有一定的消波能力。對于這些島礁，在開發(fā)其漁業(yè)及旅游價值的同時，還可以充分利用其消波和護島功能，在周邊設置浮式結(jié)構(gòu)物，甚至構(gòu)建機場、補給基地等大型設施，來輔助礦產(chǎn)開采、漁業(yè)生產(chǎn)、科研觀測等海洋開發(fā)活動[1]。要實現(xiàn)這些構(gòu)想，對于島礁環(huán)境下的波浪運動研究顯得非常重要。

早期主要通過監(jiān)測及試驗手段來研究島礁環(huán)境下的波浪運動問題，Hardy等人[2]在1990年對澳大利亞大堡礁進行可觀測試驗來研究珊瑚礁與波浪的相互作用，結(jié)果表明島礁的消波作用很大程度上受其礁頂深度的影響。Gourlay（1994）[3]，用模型實驗研究了島礁環(huán)境下不同波浪條件和不同水深條件下的波浪透射特性。Lowe等人（2005）[4]在夏威夷卡內(nèi)奧赫灣的堡礁開展了兩星期的實驗，布置多個測點來監(jiān)測波高、波速，研究了島礁對于波浪的消波作用。

近年來，考慮到島礁有著與潛式防波堤類似的特點，一些水動力計算方法開始被用于島礁波浪的相互作用研究。Hearn等人（1999）[5]引入了深度系數(shù)，用一維模型研究了島礁及瀉湖的水動力特性，分析了深度系數(shù)對島礁水動力特性的影響，并用澳大利亞寧格羅暗礁（Ningaloo reef）和美國卡內(nèi)奧赫灣（Kaneohe Bay）的相關(guān)數(shù)據(jù)檢驗了模型的準確性。丁軍等人（2014）[6]，用Morison公式和Green函數(shù)法研究了島礁環(huán)境下半潛式平臺的運動響應。田超等人（2014）[7-8]通過模型實驗，研究了島礁環(huán)境下波浪變形及浮式結(jié)構(gòu)的運動響應，并通過緩坡方程引入了半潛式平臺在島礁環(huán)境下的島礁影響系數(shù)，提出了一種島礁環(huán)境下浮式結(jié)構(gòu)運動響應的預報方法。Fang等人（2014）[9]用Boussinesq波浪模型并考慮波浪破碎及底部摩擦因素，對不同波浪條件及島礁環(huán)境下的波浪運動特性進行了數(shù)值模擬，結(jié)果與監(jiān)測數(shù)據(jù)吻合較好。

本文依據(jù)波浪繞射理論，發(fā)展了能求解任意復雜邊界的邊界元算法。通過算例驗證，證明了本文采用的邊界元算法對于潛淹沒結(jié)構(gòu)上波浪運動問題的精確性，并對潛淹沒島礁上的波浪運動問題進行了研究。本文計算了不同島礁環(huán)境下波浪的透射系數(shù)、反射系數(shù)，分析了島礁的滲透性、排布的數(shù)量、環(huán)礁瀉湖的深度這幾個因素對于島礁消波作用的影響。

1 數(shù)學理論及基本計算公式

圖1 計算示意圖Fig.1 Calculation sketch

1.1 邊界值問題基本公式

如圖1所示，一個拋物線形的島礁位于水底，水深H，島礁寬度為B=2a，其頂部距水面距離為HS。建立如圖所示的笛卡爾坐標系，取原點o位于水面，波浪沿著x軸正方向入射。考慮不可壓縮、無粘性理想流體，則流速可以用速度勢函數(shù)的梯度表示，流體速度勢可以表示為：

在自由表面SF上，速度勢滿足線性自由表面條件：

若水底為不可滲透邊界，則在水底滿足：

若物面S0可滲透，則可將流場分成兩個區(qū)域：外流域Φ1和可滲透結(jié)構(gòu)內(nèi)流域Φ2，兩個流域的速度勢都滿足拉普拉斯方程?？紤]到相鄰流域必須在交界面上滿足連續(xù)性方程，則速度勢函數(shù)滿足：

其中：ε表示可滲透結(jié)構(gòu)的孔隙率，S為慣性系數(shù)，f為線性阻尼系數(shù)（Sollitt and Cross,1972），f可以通過下列公式求得[10]：

其中：ν為運動粘度，Cf為湍流阻力系數(shù)，KP為滲透介質(zhì)的固有滲透系數(shù)，q表示滲流速度的實部。Cf和KP是滲透介質(zhì)的本身特性，需要由實驗測得，f則需要迭代求解得到。

計算邊界離島礁足夠遠時（大于5倍水深），可認為反射和透射波浪達到定常狀態(tài)，速度勢滿足：

基于線性假設，可以將速度勢分解為入射勢φI與繞射勢φD：

其中：φI為微幅波入射勢，可表示為：

其中：A為入射波振幅。

1.2 邊界積分方程

對于波浪繞射問題，根據(jù)格林定理得到如下邊界積分方程：

如取格林函數(shù)基本解為下式，則可采用鏡像方法消除水底邊界積分：

當物面邊界不可滲透時，將邊界條件（4）、（5）、（6）和（10)代入（15）式，得到：

1.3 透射系數(shù)與反射系數(shù)

透、反射系數(shù)可以計算如下，定義：

其中：eHR，eHI分別為eH的實部和虛部，相位α1為：

類似地，定義：

其中：eSR，eSI分別為eS的實部和虛部，相位α2為：

反射系數(shù)RF和透射系數(shù)RT可表示為：

1.4 可滲透島礁波浪運動研究

圖2 可滲透結(jié)構(gòu)計算示意圖Fig.2 Sketch of permeable structure

對于物面邊界不可滲透的情況，只存在一個流域，只需對外域的積分方程進行求解，計算速度勢。而當物面邊界為可滲透邊界時，流場分為外部流域和滲透結(jié)構(gòu)的內(nèi)部流域，見圖2，物面邊界條件變?yōu)閮?nèi)外速度勢φ1，φ2及其導數(shù)的相互關(guān)系，此時需對內(nèi)外流域進行迭代求解，來計算內(nèi)外速度勢。

一般采用如下迭代步驟：

（5）具體程序執(zhí)行框圖見圖3。

圖3 迭代計算示意圖Fig.3 Sketch of iterative computation

2 結(jié)果與分析

2.1 算例驗證

為了驗證本文采用邊界元算法的精確性，本文對潛淹沒矩形防波堤的波浪運動問題進行了研究，計算了其反射系數(shù)，并將結(jié)果與Cho和Lee（2004）[11]的實驗數(shù)據(jù)進行了比較。如圖4所示，考慮一組不可滲透的矩形結(jié)構(gòu)，在水下依次排布，其尺寸為寬度la=高度lb=0.4 m，潛深Hs=0.4 m，矩形結(jié)構(gòu)的間距d為2.0 m，水深H為0.8 m，波高h為0.04 m。

圖4 潛沒式矩形防波堤的示意圖Fig.4 Sketch of submerged rectangular breakwater

圖5 N=1時反射系數(shù)計算結(jié)果比較Fig.5 Comparison of reflection coefficient when N=1

Cho和Lee（2004）[11]對此問題進行了實驗研究，分別測得矩形個數(shù)N=1～3情況下的反射系數(shù)，并與特征函數(shù)展開法的計算結(jié)果進行了比較。本文通過邊界元方法對此算例進行計算，對于每個潛淹沒矩形結(jié)構(gòu)劃分180個邊界單元，得到反射系數(shù)結(jié)果如圖5～7所示，圖中橫坐標為無因次化波數(shù)KH?？梢钥吹剑吔缭ǖ挠嬎憬Y(jié)果與Cho和Lee（2004）[11]的實驗數(shù)據(jù)吻合較好，與特征函數(shù)展開法的結(jié)果接近但也存在一定差異：邊界元法的結(jié)果曲線在前半段略小于特征函數(shù)展開法，而在后半段則略大于特征函數(shù)展開法，但是總體上兩者的計算結(jié)果比較接近。這說明對于波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的問題，邊界元方法有較高的計算精度。

2.2 島礁的滲透性對于波浪運動的影響分析

對于島礁計算模型，經(jīng)反復試算，將圖2中流域邊界沿水平方向劃分成840個邊界單元，垂直方向劃分140個邊界單元，將每個島礁邊界劃分為180個邊界單元進行計算。可滲透島礁潛沒于水面下，物面邊界S0為可滲透邊界，計算中具體取值如下：單個島礁寬度B=2a=2.0 m，水深H=4.0 m，潛深HS=0.5 m，取湍流阻力系數(shù)Cf=0.295，固有滲透系數(shù)KP=1.057 2×10-7m2（Hsu和Wu，1999）[12]，運動粘度ν=1.0126×10-6m2/s[13]。取平均孔隙率ε分別為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5。下圖中橫坐標為無因次化波數(shù)Ka，入射波浪振幅均為單位值。

圖6 N=2時反射系數(shù)計算結(jié)果比較Fig.6 Comparison of reflection coefficient when N=2

圖7 N=3時反射系數(shù)計算結(jié)果比較Fig.7 Comparison of reflection coefficient when N=3

圖8 可滲透島礁的透射系數(shù)Fig.8 Transmission coefficient of a permeable reef with different porosity

圖9 可滲透島礁的反射系數(shù)Fig.9 Reflection coefficient of a permeable reef with different porosity

圖8～9中ε=0的透、反射系數(shù)曲線為不可滲透島礁的計算結(jié)果?？梢钥吹?，滲透性并不影響曲線隨著相對波數(shù)Ka的增減變化趨勢，以及峰值出現(xiàn)的相應位置；但隨著平均孔隙率ε的增大，反射系數(shù)逐漸減小，透射系數(shù)逐漸增大。當島礁不可滲透時，反射系數(shù)在Ka=0.17處達到最大值，此時反射系數(shù)為0.63；而當孔隙率ε達到0.5時，反射系數(shù)的最大值僅為0.50。

根據(jù)王新志等人（2008）[14]的實驗結(jié)果，我國南沙群島的礁灰?guī)r孔隙率為45%～55%；本文的計算結(jié)果顯示，ε=0.5時的反射系數(shù)峰值約為不可滲透情況下80% ，可見，礁灰?guī)r島礁的防浪作用要明顯差于不可滲透島礁。

2.3 島礁排布數(shù)量對于波浪運動的影響

考慮一組不可滲透的島礁，在水下連續(xù)排布，單個島礁寬度仍然取為B=2a=2.0 m，水深為H=4.0 m，潛深HS=1.0 m，取島礁間距d=B=2.0 m，計算島礁排布數(shù)量N分別為1，2，3時的相關(guān)參數(shù)，圖10為多島礁的計算示意圖，計算結(jié)果如圖11～12所示。

單個島礁的透、反射系數(shù)曲線呈拋物線狀，反射曲線的最大值約為0.45，透射曲線的最小值約為0.9；當N=2時，透、反射系數(shù)曲線出現(xiàn)兩處峰值：在Ka=0.05處，反射系數(shù)約為0.45，透射系數(shù)為0.89，在Ka=0.45處，反射系數(shù)達到0.5，透射系數(shù)減小到0.86；當N=3時，結(jié)果曲線的變化更為劇烈，有3處比較明顯的波峰：在Ka=0.02和Ka=0.2處，透射、反射系數(shù)達到峰值，反射系數(shù)為0.45，透射系數(shù)為0.9，在Ka=0.55處，反射系數(shù)達到最大值，約為0.62，透射系數(shù)則減小為0.78。

隨著島礁排布數(shù)量N的增大，透射、反射系數(shù)曲線的變化愈發(fā)劇烈。以反射系數(shù)為例，隨著N的增大，出現(xiàn)了更多的波峰。雙島礁情況下產(chǎn)生的第一個波峰，和三個島礁情況下產(chǎn)生的前兩個波峰，其峰值和單個島礁情況下的最大值基本相同，約為0.45，且都出現(xiàn)在0＜Ka＜0.3的長波范圍內(nèi)，這表明島礁數(shù)量的增加不影響島礁對于長波的作用，其對于長波的消波效果和單個島礁基本相同；而在0.3＜Ka＜0.8的中波范圍內(nèi)產(chǎn)生的波峰，其峰值明顯大于其他波峰，且隨著島礁數(shù)量的增加而增大：N=2時反射系數(shù)為0.5，N=3時，反射系數(shù)達到0.62，這表明島礁數(shù)量的增加能加強島礁對中波的消波作用。當Ka＞0.8時，不同島礁對波浪的反射系數(shù)在0.2以下。

圖10 多島礁的計算示意圖Fig.10 Sketch of multiple reefs

圖11 不同數(shù)量島礁的透射系數(shù)Fig.11 Wave transmission coefficients of multiple reefs

圖12 不同數(shù)量島礁的反射系數(shù)Fig.12 Wave reflection coefficients of multiple reefs

圖13 環(huán)礁的計算示意圖Fig.13 Schematic sketch of lagoon reef

綜上所述，當潛深較大時，單個島礁僅對長波有一定的消波作用，但是對中短波幾乎沒有效果；島礁排布數(shù)量的增加，并不會改善島礁對于長波的效果，但能夠顯著增強對于中波的阻礙作用。

2.4 環(huán)礁的波浪運動分析

我國南海的地區(qū)有許多環(huán)礁，例如華光礁、美濟礁、仙娥礁等。珊瑚蟲圍繞島嶼繁殖形成環(huán)狀珊瑚，當發(fā)生地質(zhì)變化，島嶼下沉至海面以下，就形成了環(huán)礁及圍繞其中的瀉湖。

環(huán)礁的計算模型如圖13所示，環(huán)礁潛淹沒于水面以下，水深H=4.0 m，島礁寬度B=2a=4.0 m，瀉湖寬度為b=2.0 m，礁頂潛深HS=0.5 m，分別取瀉湖相對礁頂?shù)纳疃菻C為0.5 m，1.0 m，1.5 m，2.0 m，2.5 m和3.0 m，計算其透射系數(shù)和反射系數(shù)。

從圖14～15可以看到和雙島礁排布的情況類似，環(huán)礁的透射系數(shù)和反射系數(shù)隨著相對寬度Ka的變化出現(xiàn)兩個明顯的波峰：第一個波峰出現(xiàn)在Ka=0.1處，第二個波峰出現(xiàn)在Ka=1.2處。以反射系數(shù)為例，瀉湖相對礁頂?shù)纳疃菻C變化對第一個波峰的峰值影響很小，隨著HC增大，第一個波峰的峰值幾乎不變，約為0.65。HC由0.5增大到1.5的過程中，第二個波峰的峰值開始增大：HC=0.5時，為0.47，HC=1.0時為0.51，HC=1.5時，為0.52，而當HC達到1.5后，瀉湖深度繼續(xù)增大對反射系數(shù)的影響很小，這時環(huán)礁的消波作用不再隨深度變大而增強。

圖14 瀉湖深度不同時環(huán)礁的透射系數(shù)Fig.14 Transmission coefficient of lagoon reef with different lagoon depth

圖15 瀉湖深度不同時環(huán)礁的反射系數(shù)Fig.15 Reflection coefficient of lagoon reef with different lagoon depth

3 結(jié) 論

本文根據(jù)波浪繞射理論，應用邊界元方法，對于島礁環(huán)境下的波浪運動進行了計算，分析了島礁滲透性，排布數(shù)量，環(huán)礁瀉湖的潛深等因素對于波浪運動的影響，得到以下結(jié)果：

（1）可滲透島礁的消波效果差于不可滲透島礁，且孔隙率越大，島礁對于波浪的阻礙越小。

（2）單個島礁的消波作用集中在長波，而對中短波幾乎沒有效果；島礁排布數(shù)量的增加，會增強島礁對于中波的阻礙作用。

（3）環(huán)礁的消波效果受到其瀉湖深度的影響，在一定范圍內(nèi)，瀉湖深度越大，環(huán)礁對于中短波的消波效果越好；但當深度達到一定程度后，繼續(xù)增大，則基本不影響其消波效果。

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Study on wave motion over submerged reefs

WANG Ke,CHEN Yu-chao,SHI Peng-fei,BIAN Jiang
(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Based on wave diffraction theory,boundary element method is applied to study wave motion over submerged reefs.The transmission coefficient,reflection coefficient under different conditions such as permeability,number of arrays and the lagoon’s depth are obtained.It is found that,porous reefs have less wave elimination effect than impermeable reefs.When the porosity of reefs is bigger,their wave elimination ability will become worse.A single reef is only efficient on the wave elimination of long waves,while an array of reefs have an efficient wave elimination effect on medium waves.Lagoon reef’s wave elimination ability is determined by lagoon’s depth.The wave elimination effect of lagoon reef on medium and short waves will get better when lagoon’s depth increases.But the elimination effect will show little change when lagoon’s depth reaches a certain value.

permeable reefs;boundary element method;wave transmission and reflection coefficient; lagoon

U661.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.08.005

1007-7294（2016）08-0964-09

2016-05-09

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（2013CB036101）；國家自然科學基金（51379037）

王 科（1970-），男，副教授，E-mail:kwang@dlut.edu.cn；陳彧超（1990-），男，碩士研究生。