◇ 福建 陳美蘭

(作者單位：福建省漳平第一中學(xué))

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看問(wèn)題抓本質(zhì)
———解答絕對(duì)值不等式

◇ 福建 陳美蘭

高考對(duì)絕對(duì)值不等式的考查方式主要有與函數(shù)結(jié)合在一起考查絕對(duì)值的幾何意義、絕對(duì)值不等式的解法．解含有絕對(duì)值的不等式的基本思想就是去絕對(duì)值,只要把握住這一核心,就可以將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.

1 問(wèn)題展示

(1) 解不等式f(x)≥5;

(2)f(x)-a≥0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3) 若不等式f(x)≤ax的解集非空,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

去絕對(duì)值符號(hào)的方法有多種,如定義法、利用絕對(duì)值的幾何意義、平方法、零點(diǎn)分區(qū)間討論法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等．去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí),要注意“轉(zhuǎn)化”過(guò)程中的等價(jià)性．

對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)最值問(wèn)題,可以通過(guò)去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),利用函數(shù)圖象求其最值.另外如果含有2個(gè)以上的絕對(duì)值,也可以聯(lián)想絕對(duì)值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|．

2 多法探究

綜上,原不等式的解集為(-∞,-3]∪[2,+∞).

方法2

圖1

由-2x-1=5,得x=-3,由2x+1=5,得x=2,原不等式解集為(-∞,-3]∪[2,+∞).

(2) 方法1 從f(x)的圖象上來(lái)看,fmin(x)=3,要使得f(x)-a≥0,對(duì)任意x∈R恒成立,應(yīng)該有a≤3．

方法2 由絕對(duì)值三角不等式得

|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,

所以fmin(x)=3,要使得f(x)-a≥0對(duì)任意x∈R恒成立,應(yīng)該有a≤3．

圖2

(3) 在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ax當(dāng)a取不同值時(shí)的圖象,如圖2所示.由圖可知,當(dāng)且僅當(dāng)a≤-3/2或a>2時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=ax的圖象有交點(diǎn),此時(shí)不等式f(x)≤ax的解集非空．所以a的取值范圍是(-∞,-3/2]∪[2,+∞)．

第(1)問(wèn)方法1是利用絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值；方法2是應(yīng)用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合求解是突破口．

第(2)問(wèn)方法1的觀點(diǎn)是化為分段函數(shù),畫出分段函數(shù)的圖象,從圖象上觀察最值；方法2是利用絕對(duì)值三角不等式直接求出最值．

第(3)問(wèn)其中一個(gè)函數(shù)是已知的,另一個(gè)函數(shù)的圖象是變化的,通過(guò)尋找滿足條件的臨界值,確定滿足條件的參數(shù)取值范圍．可見(jiàn)在求解絕對(duì)值問(wèn)題過(guò)程中函數(shù)觀點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合思想的重要性．

(作者單位：福建省漳平第一中學(xué))