☉江蘇省太倉市第一中學(xué)　李　婧

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運用動態(tài)定位分析解決中考運動問題

☉江蘇省太倉市第一中學(xué)李婧

運動類問題作為中考中的一類常見的壓軸問題，具有變化多、思維要求高、區(qū)分度好的特點，一直受到中考命題者的歡迎和喜愛.在解決此類問題的時候，需要變動為靜，對動態(tài)問題進行定位分析，畫出相關(guān)的靜態(tài)圖形，確定相關(guān)的等量關(guān)系，從而有效地進行解決.下面筆者以2015年中考運動試題為例，加以分析，供大家欣賞與研究.

一、基本圖形為模板，考查遷移能力

此類問題的圖形是學(xué)生經(jīng)常見到的，但是進行了一系列的補充，在原問題的基礎(chǔ)上就有了新意.學(xué)生在嘗試解決此類問題時，容易從原本的記憶庫中找到對應(yīng)的圖形，從而便于找到問題的突破口和解決途徑.

例1（2015年山東聊城）如圖1，在直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3.動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發(fā)，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動.當兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，解答下列問題：

圖1

（1）求點N的坐標（用含x的代數(shù)式表示）.

（2）設(shè)△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達式.當x為何值時，S有最大值？最大值是多少？

（3）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

分析：（1）由勾股定理求出OB=5，作NP⊥OA于點P，則NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出點N的坐標.

（2）由三角形的面積公式得出S是x的二次函數(shù)，即可得出S的最大值.

（3）分兩種情況：①若∠OMN=90°，則MN∥AB，由平行線得出△OMN∽△OAB，得出比例式；②若∠ONM= 90°，則∠ONM=∠OAB，證出△OMN∽△OBA，得出比例式.

點評：本題是相似形綜合題目，圖形較為常見，屬于學(xué)生熟悉的題型，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標與圖形特征、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計算、求二次函數(shù)的解析式及最值等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是第（3）問，需要進行分類討論，通過證明三角形相似才能得出結(jié)果.

二、猜想與歸納先行，考查學(xué)生思維能力

此類問題首先要根據(jù)問題情境進行一定的猜想與歸納，然后對猜想的問題進行有效的驗證與解決，對學(xué)生的推理和解決問題的能力提出了較高的要求.

例2（2015年浙江湖州）在直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，C為線段AB的中點，現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+ bx+c（a≠0）經(jīng)過點D.

①求點D的坐標及該拋物線的解析式；

②連接CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖2

圖3

（2）如圖3，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，若符合條件的Q點有4個，請直接寫出a的取值范圍.

分析：（1）①過點D作DF⊥x軸于點F，可證△AOB與△BFD全等，求得D點的坐標，把a=-與點D的坐標代入拋物線即可求拋物線的解析式.②由C、D兩點的縱坐標都為1可知CD∥x軸，所以∠BCD=∠ABO.又因∠BAO與∠BCD互余，若要使得∠POB與∠BCD互余，則需滿足∠POB=∠BAO.分兩種情況：第一種情況，當點P在x軸上方時；第二種情況，當點P在x軸下方時，利用同樣的方法可求點P的坐標.

（2）拋物線y=ax2+bx+c過點E、D，代入可得，分兩種情況：①當拋物線y=ax2+bx+c開口向下時，滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點有4個，②當拋物線y=ax2+ bx+c開口向上時，滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點有4個，點Q在x軸的上、下方各有兩個，當點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q有兩個.當點Q在x軸的下方時，直線OQ必須與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q才有兩個.

點評：對于存在性問題的解答，需要學(xué)生首先對問題進行分析和猜想，然后進行適當?shù)姆诸愑懻?，從而完整地解決問題.

三、運動中找到關(guān)鍵位置，靜態(tài)中定位動態(tài)問題

幾何問題的完美解決，需要在解題中畫出相對應(yīng)的圖形，在靜態(tài)的過程中解決動態(tài)的問題，于是定位、作圖、解決成為解題的關(guān)鍵.

例3（2015年四川自貢）在△ABC中，AB=AC=5， cos∠ABC=，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C.

（1）如圖4，當點B1在線段BA的延長線上時.①求證：BB1∥CA；②求△AB1C的面積.

圖4

圖5

圖6

圖7

（2）如圖5，E是BC的中點，F(xiàn)為線段AB上的動點，在△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點F的對應(yīng)點是F1，求線段EF1長度的最大值與最小值的差.

分析：如圖6，要使BB1∥CA1，根據(jù)本題的條件通過這兩線所截得的內(nèi)錯角∠1=∠2來證得.根據(jù)AB=AC可以得出∠B=∠ACB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征可以得出B1C=BC，所以∠1=∠B，而∠2=∠ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），所以∠1= ∠2.②求△AB1C的面積可以把AB1作為底邊，其高在B1A的延長線上，恰好落在等腰△ABC的邊AB上；在等腰△ABC和△BB1C中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及勾股定理可以求出AB、BB1、CE，而AB1=BB1-AB，△AB1C的面積可以通過AB1×CE求出.

（2）如圖7，點C到AB的垂線段最短，過點C作CF⊥AB于點F；點F的對應(yīng)點是F1，若以點C為圓心、CF為半徑畫圓，EF1有最小值；根據(jù)（1）的CA=AB=5和求出的BC= 6，當點F在線段AB上移到端點A時CA最長，此時其對應(yīng)點F′移動到A1時CA1也就最長；如圖7，以點C為圓心、BC為半徑畫圓，EF1有最大值，EF1有最小值和最大值都可以利用同圓的半徑相等和在圓的同一條直徑上來獲得解決.

點評：這是2015年中考命題中較為少見的優(yōu)質(zhì)試題，背景非常簡單，但對思維的要求卻比較高，只有在運動中準確定位，才是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

四、變化中進行動態(tài)分析，解決幾何變式問題

幾何問題的運動，是近年來中考非常關(guān)注的考查點之一，在此類問題的考查過程中，變式研究成為命題的一個常見的方向.

例4（2015年湖南岳陽）已知直線m∥n，C是直線m上一點，D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，P為線段CD的中點.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當點A與點C重合時（如圖8所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：____________ .

（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖9的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（3）延伸探究：在圖9的情況下，把直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖10所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k.求證：PA·PB=k·AB.

圖8

圖9

圖10

分析：（1）根據(jù)三角形CBD是直角三角形，而且P為線段CD的中點，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，可得PA=PB，據(jù)此解答即可.（2）過點C作CE⊥n于點E，連接PE，然后分別判斷出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法判斷出PA=PB成立.（3）首先，延長AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，然后，根據(jù)相似三角形判定的方法可判斷出AF·BP=AE·BF，再由AF=2PA，AE= 2k，BF=AB，可得2PA·PB=2k·AB，所以PA·PB=k·AB.

點評：此題為幾何變換綜合題，幾何變換本質(zhì)上就是圖形的運動.本題考查了分類討論思想的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用、從圖像中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)問題的能力.另外，此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，是一個非常不錯的綜合問題.

綜上所述，運動問題與一般試題相比，問題的立意更高，綜合性更強，考查的知識點更加密集，對學(xué)生的思維要求也相對更高.在解決此類問題時，需要關(guān)注運動中的不變要素，化“運動”為“靜止”，在運動中定位搜尋解決問題的相關(guān)條件.當然，在解決問題的同時，關(guān)注學(xué)生作圖能力的培養(yǎng)也非常重要，綜合問題只有把正確的圖形作出來，才有可能完全解決一類問題，從而在解決問題的過程中也能有所收獲，真正做到入寶山而尋寶歸的最佳效果.

參考文獻：

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