☉北京市中關村中學　楊愛青

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一道幾何壓軸題的解法探究及亮點賞析——2016年北京市海淀區(qū)初三第一學期期末試題第28題

☉北京市中關村中學楊愛青

一、原題呈現(xiàn)

題目（1）如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD.若AC=2，BC=1，則△BCD的周長為_______；

（2）O為正方形ABCD的中心，E為CD邊上一點，F(xiàn)為AD邊上一點，且△EDF的周長等于AD的長.

①在圖2中求作△EDF（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

②在圖3中補全圖形，求∠EOF的度數(shù)；

圖1

圖2

圖3

二、解法探究

幾何題，我們首先看到的就是它的圖，題中的圖2、圖3給出了正方形，圖3還給出了正方形的中心，感覺很熟悉，很親切，正方形的性質無外乎兩點，第一點是旋轉，也就是繞著它的中心旋轉90°、180°、270°與自身重合，第二點就是軸對稱，它有四條對稱軸.圖1說的是什么？它跟正方形有什么聯(lián)系？帶著這個問題我們一起走進這道題.

先解決第（1）問、第（2）問的①.

根據(jù)垂直平分線的性質可以得到AD=BD，這樣就有BD+CD=AD+CD=AC，因此△BCD的周長等于AC+BC，等于3.

了解了圖1，但是它跟圖2、圖3中的正方形有什么聯(lián)系還不知道，繼續(xù)往下看第（2）問的①.

看我們要作的△EDF，它是直角三角形，其周長一定，為正方形的邊長，一條直角邊DE圖中已給定，它的斜邊EF與另一條直角邊DF的和應該等于CE的長；再看圖1中的△BCD，也是直角三角形，它的周長為3，一條直角邊BC的長為1，另一條直角邊CD與斜邊BD的和為2.

我們完全可以仿照圖1解決△EDF的作圖問題.能夠想到△EDF的作圖與圖1有聯(lián)系，并且能夠正確建立這個聯(lián)系，是解決這一問的關鍵.題目中明確了：“F為AD邊上一點”，仿照圖1，把斜邊EF與直角邊DF的和CE，搬到DG處（作AF=CE或AG=DE），連接EG，作EG的中垂線，EG的中垂線與DG的交點即為點F，如圖4所示.

圖4

然后解決第（2）問的②.

方法1：由學生熟知的“基本圖形”遷移得到.

有了前面作圖的鋪墊，嘗試度量∠EOF的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)是45°，聯(lián)想到圖5（學生對這個圖非常熟悉），把“△EDF的周長等于AD的長”這個條件轉化為“△EDF的周長=DH+DG”，進而轉化為“EF=FH+EG”，如圖6所示，然后按照“成題”的思路解決問題就可以了.

方法2：由△EDF的作圖方法遷移得到.

如圖7，在AD上截取AG，使得AG=DE，連接OA、OD、OG.由△ODE≌△OAG，可以證明∠EOG=90°，OE=OG，由“△EDF的周長等于AD的長”，AG=DE，容易得到EF= FG，再通過△OEF≌△OGF得到∠EOF=45°，也可以通過OF為EG的中垂線和等腰三角形的性質得到∠EOF=45°.

圖7

方法3：由圖1和圖2的聯(lián)系“勾股弦圖”聯(lián)想得到.

圖8可以看做是將圖1放入正方形ABCD中得到的，將圖8中的△GED繞點O逆時針旋轉90°、180°、270°，就得到了我們熟悉的“弦圖”，如圖9所示，借助這個“弦圖”可以求得∠EOF=45°.借助“弦圖”求∠EOF的度數(shù)，應特別注意書寫規(guī)范，首先可以借助全等證明四邊形EGHM為正方形，然后借助平行四邊形BEDH的對角線互相平分，證明O也是正方形EGHM的中心，得到∠EOG=90°，進而得到∠EOF=45°.

再解決第（2）問的③.

第一類方法：利用相似.

如圖10，由AF、CE、OF、OE，我們順藤摸瓜找到了△COE和△AFO，易知∠1=∠2=∠EOF=45°，圖11是圖10中的一部分，這個圖我們熟悉嗎？

圖10

圖11

圖12

如圖12，∠1+∠2=180°-α，∠3+∠2=180°-α，所以∠1=∠3.

方法3：如圖10，不難證明，∠CEO=∠FEO，∠EFO= ∠AFO，因此，△COE∽△OFE∽△AFO，所以OE2=EF· CE，OF2=EF·AF，也可得到

第二類方法：利用勾股定理計算得到.

方法4：利用勾股定理構造方程求解.

如圖6，設OE=x，則正方形邊長為9k+x，由AF=8k可知DF=k+x，EF=8k-x，由勾股定理可得x2+（k+x）2=（8k-x）2，求得DE=3k，DF=4k，EF=5k，所以AD=12k，進而得到OG= OH=6k，GE=3k，F(xiàn)H=2k，再用勾股定理算出OF=2OE=3，得到

方法5：利用“勾股弦圖”求解.

如圖13，設DF=CJ=BL=AK=b，DE=a，EF=c，則AF=a+c，a2+b2=c2.由FK2=2OF2=AF2+AK2=b2+（a+c）2，可得OF2=c·AF.

同理，如圖9，DE=CM=BH=AG=a，則DG=CE=b+c，a2+b2=c2.由EG2=2OE2=DE2+DG2=a2+（b+c）2可得OE2=c·CE.

圖13

最后是解題后對題目的反思.

思考1：圖中周長等于正方形邊長的直角△EDF唯一嗎？如果不唯一，有多少個？點E的運動范圍（DE的取值范圍）是什么？

思考2：在點E的運動過程中，有∠EOF=45°，EO、FO分別為∠CEF、∠AFE的平分線，，這些不變量或不變的關系，還有其他的嗎？

由△COE∽△AFO，還可以得到AF·CE=AO2=AB2，這個結論又說明了什么？它是不是說明在“△EDF的周長等于正方形的一邊長”的條件下，如圖14，矩形BGMH的面積是個定值，始終為正方形ABCD面積的一半？這個結論的證明，還有其他方法嗎？

圖14

我們老師個人的能力是有限的，只要您把分析圖形的方法教給學生，然后把具體地分析這個圖的任務放手交給學生，相信學生一定會給您一個大大的驚喜.

三、亮點賞析

1.問題引導探究，突出研究問題的基本方法和基本活動經(jīng)驗的考查

本題第（2）問的解答過程就是一個典型的數(shù)學問題的探究過程，它很好地體現(xiàn)了研究幾何問題的基本套路和方法.第①小問，在圖2中作出△DEF，第②小問，在圖3中補全圖形并求∠EOF的度數(shù)，第③小問，應用第②小問的結論解決問題，這樣的設置，使學生在解題的過程中，經(jīng)歷了一個動手操作（作圖）——猜想結論（合情推理）——證明結論（演繹推理）——應用結論的過程，并通過這樣的過程，積累如何去研究問題的經(jīng)驗.本題中，對“∠EOF的度數(shù)”這一不變量的認知，是建立在學生自己動手作圖、度量猜想的基礎上的，它具有不可替代的直觀性，對學生認識圖形結構，理解問題、解決問題有著積極的意義.

2.設問層層遞進，注重數(shù)學思想方法的考查

設問層層遞進，這里有兩層含義，一是指試題的幾個問題逐層深入，前一個問題是后一個問題的鋪墊.第（1）問是為第（2）問的第①小問做鋪墊，△EDF的作圖可以仿照圖1來完成；而第（2）問的第②小問求∠EOF的度數(shù)，無論是得出結論還是證明結論的方法，都離不開△EDF的作圖；第（2）問的第③小問的解答，是建立在前面結論的基礎上的.二是難度的遞進.第（1）問，考查線段的中垂線的性質，對學生來說比較容易；第（2）的第①小問的作圖，依賴于在閱讀理解的基礎上，建立△EDF的作圖與圖1的聯(lián)系，考查的是對圖形的遷移能力，相比第（1）問要有些難度；第（2）的第②、③小問，更是綜合了三角形的全等和相似、正方形的性質、勾股定理、旋轉等知識，考查學生分析解決綜合問題的能力，完全答對實屬不易.本題難度層次非常清楚，體現(xiàn)了較好的區(qū)分度.

本題著重數(shù)學思想方法的考查.建立圖1與△EDF作圖之間的聯(lián)系，然后運用類比的思想方法解決△EDF的作圖問題；第（2）問的第③小問，利用勾股定理構造方程求解，考查了方程與建模的思想；第（2）問的第②小問，由于圖2中的點E為一給定的特殊位置，由這一特殊位置度量出∠EOF的度數(shù)去猜想一般性的結論，并從第①小問的作圖中受到啟發(fā)，得到求∠EOF度數(shù)的方法（方法2），這里滲透了特殊化這一探究問題的方法；題目解決的過程中，始終都沒離開化歸、變換的思想方法.

3.打破思維定式，突出對核心內容、數(shù)學本質的考查

由前面的解法探究可知，本題主要涉及三個“基本圖形”，如圖15所示，它們有的來自我們的教材，有的是教材中例習題的變式，三個基本圖形鏈接精巧，環(huán)環(huán)相扣，渾然一體.對這些基本圖形和相應的結論，學生都非常熟悉，可仍感覺這道題并不容易，這是由于題目的考查角度比較新穎，不是記住一些圖形，記住圖形中的一些結論，生搬硬套就可以解決問題的，只有對這些圖形的結構、圖形之間的聯(lián)系有比較透徹的理解，才能正確解答，25.5%的得分率也說明了這一點.考查的核心內容不變，考查的角度新穎獨特，打破思維定式，多思少算是本題的特色之一，也是北京中考改革的一個方向.

圖15

參考文獻：

1.楊春鳥.一道中考幾何壓軸題的解法探究和亮點賞析［J］.中學數(shù)學（下），2015（5）.