☉江蘇省南通市通州區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)　潘紅裕

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基于問題導(dǎo)向的“二次函數(shù)章復(fù)習(xí)”課例及分析

☉江蘇省南通市通州區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)潘紅裕

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，特別是在初三后期的教學(xué)顯得尤為重要.一堂優(yōu)質(zhì)高效的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，不僅能幫助學(xué)生回顧和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，還能使學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，更能夠使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的總結(jié)與提煉、數(shù)學(xué)思維能力的提升、數(shù)學(xué)思想的升華起到促進(jìn)作用.而目前一般復(fù)習(xí)課采用的主線都是先讓學(xué)生回顧基礎(chǔ)知識(shí)或者做幾道簡(jiǎn)單的題目，然后教師再選擇幾道例題和學(xué)生一起進(jìn)行分析，最后找?guī)椎离y題或歷屆中考題進(jìn)行鞏固練習(xí).這種流水線式的固化模式，很難激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更談不上培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.那如何提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效性，再次激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性？在區(qū)2016屆初三數(shù)學(xué)教師上崗培訓(xùn)暨初三期中質(zhì)量分析活動(dòng)中，受教研員的邀請(qǐng)執(zhí)教了一堂“二次函數(shù)章復(fù)習(xí)課”，筆者嘗試以問題驅(qū)動(dòng)帶動(dòng)知識(shí)點(diǎn)、方法的生成，取得了較好的教學(xué)效果.本文整理了該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并整體闡述教學(xué)立意，與同行研討.

一、“二次函數(shù)章復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）了解二次函數(shù)的意義，會(huì)選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠖魏瘮?shù)的解析式，鞏固二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)與技能；

（2）掌握利用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；

（3）在二次函數(shù)綜合題的求解及反思中，提高分析問題和解決問題的能力.

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程及二次函數(shù)的綜合運(yùn)用；

難點(diǎn)：二次函數(shù)綜合運(yùn)用.

（三）教學(xué)過程

1.開課引入

師：同學(xué)們，到目前為止我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種函數(shù)類型？設(shè)計(jì)意圖：從總體上把握初中階段所學(xué)的函數(shù)版塊.生：正比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù).

師：函數(shù)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，函數(shù)思想更是貫穿于初高中數(shù)學(xué)的始終，尤其是二次函數(shù)更是連接初、高中數(shù)學(xué)的橋梁.近幾年二次函數(shù)一直是南通中考命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容.所以學(xué)好本章知識(shí)尤為重要，相信大家通過這堂課的復(fù)習(xí)，一定會(huì)對(duì)本章知識(shí)乃至函數(shù)知識(shí)的理解和運(yùn)用會(huì)更加深刻！

2.合作探究

問題1：觀察如圖1所示的拋物線y=ax2+bx+c，你能根據(jù)圖像得出哪些信息？

圖1

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生觀察函數(shù)圖像，回顧二次函數(shù)圖像的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、x軸交點(diǎn)的情況等與a，b，c的關(guān)系，進(jìn)一步理清函數(shù)圖像的性質(zhì).

問題2：若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），你又能得出哪些結(jié)論呢？

師：（追問）這是利用圖像的什么性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：回顧二次函數(shù)的對(duì)稱性.

問題3：若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），C（0，1），你還可以求出什么？

生：二次函數(shù)的解析式.

師：（追問）可以用哪幾種方法？

設(shè)計(jì)意圖：通過一個(gè)問題把求二次函數(shù)解析式的三種不同方法進(jìn)行了系統(tǒng)復(fù)習(xí).

問題4：若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），C（0，1），根據(jù)圖像解決下列問題：

①方程ax2+bx+c=0的解是______；方程ax2+bx+c=1的解是_______；

②若方程ax2+bx+c=k有實(shí)數(shù)根，則k的范圍是_______；

③不等式ax2+bx+c＜1的解集是________.

師：（追問）我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的一般式和一元二次方程非常類似，那么你能通過二次函數(shù)的圖像來求下面方程的解嗎？你能用類似的方法來求下面不等式的解集嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過幾個(gè)問題的追問，讓學(xué)生能利用數(shù)形結(jié)合的思想來求一元二次方程的解，然后類比其相同的方法求一元二次不等式的解集，相當(dāng)于把一元二次不等式轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值小于1時(shí)自變量的范圍，從而利用圖像找函數(shù)值小于1的部分寫出自變量的范圍，就是不等式的解集，再次滲透函數(shù)中重要的數(shù)形結(jié)合思想.

問題5：若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），C（0，1），通過對(duì)以上函數(shù)知識(shí)的復(fù)習(xí)和回顧，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合此函數(shù)圖像，以小組合作的形式設(shè)計(jì)一個(gè)問題，并解答.

學(xué)生部分成果展示：①求△ABC的面積.②在拋物線BC上是否存在一點(diǎn)D，使得四邊形ACDB的面積最大.③求出該拋物線關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱拋物線的解析式.④在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生自己編題并解答，把與其相關(guān)知識(shí)有機(jī)地融合在一起，即鞏固了本章的基礎(chǔ)知識(shí)，又能讓學(xué)生更加靈活地解決二次函數(shù)的綜合性問題.

3.拓展提高

例題如圖2，若點(diǎn)E（1，1）是該拋物線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△EDF（E、D、F按順時(shí)針方向排列），當(dāng)點(diǎn)F在拋物線上時(shí)，求OD的長(zhǎng).

圖2

設(shè)計(jì)意圖：以熟悉的圖形為背景，加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，綜合考查學(xué)生在動(dòng)態(tài)背景下處理圖形的應(yīng)用能力，能較好地培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的思想、運(yùn)動(dòng)變化的思想、分類討論的思想，也為學(xué)生較好地掌握幾何基本圖形打下基礎(chǔ).

4.課堂小結(jié)

師：談?wù)剬?duì)本堂課學(xué)習(xí)后的收獲.

設(shè)計(jì)意圖：本堂課自始至終圍繞著同一條拋物線展開，以這條拋物線為主線復(fù)習(xí)了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、待定系數(shù)法求拋物線的解析式、二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系、如何借助圖像求一元二次不等式的解集，在這里向?qū)W生處處滲透數(shù)形結(jié)合的思想.最后通過拓展提高題的解析讓學(xué)生初步掌握如何分析動(dòng)點(diǎn)類型的二次函數(shù)綜合題，

5.課后作業(yè)

完成拓展應(yīng)用中（E、D、F按逆時(shí)針方向排列）“當(dāng)點(diǎn)F在拋物線上時(shí)，求OD的長(zhǎng)”.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固拓展提高題，讓學(xué)生加深對(duì)此類問題的理解.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡述

函數(shù)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，函數(shù)思想更是貫穿于初高中數(shù)學(xué)的始終，尤其是二次函數(shù)在初中函數(shù)教學(xué)中的重要地位，它不僅是初中代數(shù)內(nèi)容的引申，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，更是連接初、高中數(shù)學(xué)的橋梁.近幾年二次函數(shù)一直是南通中考的熱點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容.鑒于初三學(xué)生在新課的學(xué)習(xí)中已掌握二次函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)等基本知識(shí)，而且剛剛經(jīng)過期中考試復(fù)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該對(duì)本章的基礎(chǔ)知識(shí)和方法還是比較熟悉的，所以筆者想通過這堂課的復(fù)習(xí)，在解題方法和數(shù)學(xué)思想這兩方面能夠?qū)W(xué)生有所幫助.

（1）借助拋物線的圖像回顧二次函數(shù)的性質(zhì)向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想和素養(yǎng)的形成起到推動(dòng)作用.主要體現(xiàn)在問題1，2，3中，借助于同一個(gè)圖形設(shè)置不同的問題，避免學(xué)生再花時(shí)間重新認(rèn)識(shí)圖形，提高了學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效率，也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高了課堂的容量.

（2）回顧二次函數(shù)與一元二次方程知識(shí)的聯(lián)系，能利用圖像解決簡(jiǎn)單的一元二次不等式的解集問題，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展提供動(dòng)力.因?yàn)槲覀冎酪阎魏瘮?shù)值的范圍求自變量的范圍其實(shí)就是解一元二次方程，在復(fù)習(xí)課中能向?qū)W生滲透一點(diǎn)，或者說能適當(dāng)?shù)耐卣挂恍?，能為學(xué)生以后的高中學(xué)習(xí)提供一點(diǎn)幫助，一些聯(lián)系，符合學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展原則.

（3）通過開放性問題的設(shè)置，有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主探究、合作交流能力；有利于加深對(duì)重點(diǎn)知識(shí)、重點(diǎn)方法的理解；有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力；有利于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.所以教師應(yīng)在復(fù)習(xí)課中更能深入地鉆研教材，聯(lián)系生活實(shí)際，挖掘一些封閉題中的開放性元素，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)拈_放性問題，使學(xué)生的思維得到發(fā)展，提高復(fù)習(xí)課的有效性.

（4）由于復(fù)習(xí)課并不是教材上所規(guī)定的內(nèi)容，對(duì)復(fù)習(xí)課的整體構(gòu)思，優(yōu)選內(nèi)容就顯得尤為重要，我們不能把復(fù)習(xí)課簡(jiǎn)單地看作知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)和習(xí)題的訓(xùn)練，而是要讓一部分優(yōu)秀的學(xué)生能得到更高層次的發(fā)展，所以在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中借助于拓展題來提高學(xué)生分析和解決綜合題的能力.因?yàn)榻鼛啄昴贤ㄖ锌嫉膲狠S題一直以二次函數(shù)為背景來命題的，而且動(dòng)點(diǎn)類問題也一直是中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，所以在命制這道題時(shí)把點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、直角型基本圖形、分類討論數(shù)學(xué)思想有機(jī)地融合在一起，能促進(jìn)優(yōu)秀學(xué)生深入思考、挑戰(zhàn)高分.