☉江蘇省無(wú)錫市港下中學(xué)　程　軍

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常規(guī)思維與個(gè)性思維，孰優(yōu)孰劣——由一道期中復(fù)習(xí)題引發(fā)的思考

☉江蘇省無(wú)錫市港下中學(xué)程軍

一、寫(xiě)在前面

在迎接初三第一次期中考試復(fù)習(xí)期間，碰到以下題目，其中關(guān)于第三問(wèn)中OE的求法，同行教師間展開(kāi)了激烈的討論，呈現(xiàn)不同思路！但學(xué)生的解法八仙過(guò)海，各顯神通，似乎更勝一籌，值得教師反思、總結(jié)！（事后對(duì)兩個(gè)班級(jí)中解法比較典型的學(xué)生進(jìn)行了訪談）

題目：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0）、B（0，6），⊙M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A、B.

（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙M的切線，求直線的解析式；

（3）BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，交⊙M于點(diǎn)E，求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段OE的長(zhǎng).

注：第一、二問(wèn)解法省略，第三問(wèn)中N的坐標(biāo)解法也省略，其中N

圖1

圖2

二、學(xué)生解法面面觀

學(xué)生A——解法1（如圖2）.

思路：連接AE，直接用△BON與△EOA相似，列出比例式，

事后訪談：你是如何想到這樣簡(jiǎn)潔的方法的？

學(xué)生A：求OE，用相似三角形，連接AE，看出△BON與△EOA相似！直覺(jué)告訴我，連接EA，然后就找到這兩個(gè)三角形！

反思：這種解法觸到問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，在圓的背景下，求線段長(zhǎng)度，一般可以考慮通過(guò)相似解決問(wèn)題，這也是初中數(shù)學(xué)中求線段的常見(jiàn)思維方法，不過(guò)看出這樣兩個(gè)三角形是不簡(jiǎn)單的，主要原因是涉及四條線段，找兩個(gè)三角形有點(diǎn)兒難，一次成功，可謂解法精簡(jiǎn)、扼要！

學(xué)生B——解法2（如圖3）.

圖3

思路：連接BE、AE，△ABE是等腰直角三角形，求出BE=

事后訪談：你為什么用到兩次相似？一次不是更簡(jiǎn)單？

學(xué)生B：由OE是角平分線，得AE=BE，可求出AE或BE的長(zhǎng)，圓中△BEN與△OAN定相似（且相似比為，再加上ON已知，可先求BN，NE與AN是對(duì)應(yīng)邊，故要求出AN，最終獲得成功.但沒(méi)有一次看出△BON與△EOA相似，是邊走邊看，先觀察到△ABE，容易發(fā)現(xiàn)△BEN與△OAN相似，求出AN，最終列出與NE相關(guān)的比例線段，是走了點(diǎn)兒彎路.

反思：該學(xué)生的解法也屬情理之中，想到連接BE、AE，并判斷出陰影三角形相似，這兩個(gè)三角形相似比學(xué)生A看出的兩三角形相似要簡(jiǎn)單，思維量相對(duì)較小，通過(guò)求出NE最終求得OE的長(zhǎng)，是屬于典型的小步子，快節(jié)奏，腳踏實(shí)地，逐步成功的例子.應(yīng)該講這樣的思維是常規(guī)思維，值得學(xué)習(xí).

圖4

圖5

學(xué)生C——解法3（如圖4）.

思路：過(guò)E作ET⊥OA，過(guò)M作MP⊥ET，連接ME，設(shè)ET=a，則EP=a-3，MP=a-4，

由勾股定理得（a-3）2+（a-4）2=25，解得a=7，故OE=

事后訪談：你為什么想到作ET⊥OA和MP⊥ET？

學(xué)生C：求OE的長(zhǎng)，聯(lián)想到OE是角平分線，故作ET⊥OA，△ETO是等腰直角三角形，只要求出ET即可，由于M的坐標(biāo)已知，故過(guò)M再作MP⊥ET，最后利用勾股定理.

反思：求線段OE的長(zhǎng)，作垂線，構(gòu)造直角三角形也是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的基本方法.利用半徑、弦心距等構(gòu)造直角三角形并很好地利用勾股定理解決問(wèn)題，也是初中數(shù)學(xué)中求線段常見(jiàn)的思維方法，值得學(xué)習(xí).

學(xué)生D——解法4（如圖5）.

思路：過(guò)E作ER⊥OA，EK⊥OB，利用OE是角平分線，得四邊形EKOR是正方形.

由EA=EB，得△ERA與△EKB全等，則RA=KB.設(shè) ER=x，則8-x=x-6，解得x=7，故

事后訪談：為什么你能看出RA=KB來(lái)？

學(xué)生D：完全是直覺(jué)！OE是角平分線，結(jié)合求OE，作ER⊥OA，EK⊥OB，利用AR=BK，求出ER，這里看出AR= KB十分關(guān)鍵！全等三角形顯神威！

反思：作垂線ER應(yīng)該能想到，但再作一條EK就不太容易了，能看出AR=KB來(lái)，沒(méi)有一定的靈感恐怕較難，利用全等知識(shí)（幾何知識(shí)）證明之，不失為一種巧妙的方法，得到8-x=x-6這一簡(jiǎn)潔式子更是石破天驚！學(xué)生的思路是何等開(kāi)闊，個(gè)性化思維精妙絕倫！

學(xué)生E——解法5（如圖6）.

圖6

思路：過(guò)M作直線MS⊥OE，直線MS與x軸的夾角為45°.由 M（4，3），得直線MS的解析式為y=-x+7.S為兩直線l1：y= x、l2：y=-x+7的交點(diǎn)，構(gòu)成方程組，求出點(diǎn)S為OE的中點(diǎn)，故E的坐標(biāo)為（7，7），故OE=

事后訪談：為什么想到作這樣一條漂亮的直線？

學(xué)生E：作直線MS⊥OE，根據(jù)∠EOA=45°，知道該直線與x軸的夾角為特殊角，且M（4，3），所以直線MS的解析式可求，即y=-x+7，結(jié)合直線y=x，快捷求出S點(diǎn).又S為OE的中點(diǎn)，E點(diǎn)也隨之求出，最終求出OE的長(zhǎng).解析法在這里大顯身手！

反思：過(guò)圓心M作MS⊥OE，并不稀奇，可貴的是居然作出這樣的直線來(lái)，竟把S看成是兩直線的交點(diǎn)，更是不可思議，也是妙不可言！利用兩直線的交點(diǎn)（解析法）求出坐標(biāo)，進(jìn)而直接寫(xiě)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，可謂劍走偏鋒，匠心獨(dú)具，這樣的個(gè)性思維有很可貴的創(chuàng)造性，不拘一格，多珍貴的想法啊，小心呵護(hù)才是.

三、關(guān)于通性通法和個(gè)性解法的兩點(diǎn)思考

常規(guī)思維往往涉及通性通法，解題方法具有普遍指導(dǎo)意義，是初學(xué)者學(xué)習(xí)解題的必然選擇.所謂通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)屬于思考型的學(xué)科，在解題過(guò)程中理性思維起主導(dǎo)作用，本題解法眾多，屬“多解歸一”，這里的“一”就是具有普遍意義和廣泛遷移性的、“含金量”較高的那些策略性知識(shí)，也即從題目中“提煉”反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西.

1.常規(guī)方法往往能滲透數(shù)學(xué)思想，觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是解題本色

解法1、解法2、解法3是常規(guī)思維.初中階段，求線段長(zhǎng)一般做法是建立方程，而勾股定理和相似三角形（包括解直角三角形）就是構(gòu)造方程的有力工具！這也是學(xué)生求線段長(zhǎng)的基本方法，是根！它觸及了數(shù)學(xué)中的方程思想.本題中求OE的常規(guī)想法是找相似三角形或構(gòu)造直角三角形，找相似三角形往往比較難，涉及4條線段、兩個(gè)三角形，圖形較復(fù)雜.但一旦找到，解決問(wèn)題很簡(jiǎn)潔！解法1和2都屬于這一類，但顯然解法2是小步子快節(jié)奏，沒(méi)有解法1簡(jiǎn)潔.解法3就是比較典型的構(gòu)造勾股定理的方法，屬常規(guī)思維.這三種解法是基本思路，是初中階段學(xué)生求線段長(zhǎng)的基本方法，具有普遍規(guī)律，即使到高中，求線段長(zhǎng)一般也是歸到三角形相似或直角三角形來(lái)研究，主要是采用方程列等式.這是初學(xué)者解題的必然選擇，上述三種方法歸“一”，這個(gè)“一”就是要建立方程，找到相似（列出比例式）或構(gòu)造直角三角形相似（根據(jù)勾股定理列方程）建立等式.

2.個(gè)性方法往往獨(dú)具匠心，植根于常規(guī)思維，但又高于常規(guī)思維，是解題花色

個(gè)性解法往往給人意想不到的精彩，想法獨(dú)特，富有魅力.但個(gè)性思維也來(lái)源于常規(guī)思維，解法4中作垂線ER、EK就是常用手法，但能看出AR=KB，就是一種獨(dú)到想法，是一種靈感，往往說(shuō)不出為什么，但仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)該做法充分利用OE是角平分線這一條件（ER=EK，EB=EA），想到全等三角形，得出RA=KB這個(gè)結(jié)論，卻石破天驚，學(xué)生利用它建立一元一次方程，輕松求出ER，再利用直角三角形ERO，快速求出OE的長(zhǎng).

可見(jiàn)，這種富有魅力的解法也有先決條件，那就是對(duì)角平分線的性質(zhì)要了熟于心，并用足條件，可以看出，得到全等三角形是最大亮點(diǎn)！從而突破了常規(guī)思維——分步求線段長(zhǎng)，避開(kāi)了煩瑣的計(jì)算，一步到位，實(shí)現(xiàn)了解題的最優(yōu)化.

對(duì)于解法5，有常規(guī)思維的痕跡，例如求直線的解析式（已知直線的傾斜角和已知點(diǎn)）和求直線交點(diǎn)的坐標(biāo)（兩直線的解析式聯(lián)立構(gòu)成方程組求交點(diǎn)的坐標(biāo)），但更有突破常規(guī)之處，那就是：求線段長(zhǎng)，通過(guò)求點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)！本解法的魅力所在就是構(gòu)造直線MS和通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)求線段的長(zhǎng)度，值得回味，但這種做法不具有普遍性！若OE不是角平分線，解析法就未必簡(jiǎn)單，若沒(méi)有S是OE的中點(diǎn)這一條件，求OE的長(zhǎng)就復(fù)雜了！故要看清這種解法的特殊性和局限性.

四、寫(xiě)在后面

常規(guī)思維和個(gè)性思維各有特色.對(duì)于多數(shù)學(xué)生，應(yīng)掌握普遍的解題規(guī)律，這是解題的根，也是一般都適用的基本方法.常規(guī)思維也是解題者適應(yīng)解題的必然選擇，是解題的必然王國(guó).個(gè)性思維不是空中樓閣，它是解題者在常規(guī)思維基礎(chǔ)上的突破，是解題普遍規(guī)律和自身特色的結(jié)合和升華，是解題的自由王國(guó)！常規(guī)思維，解題應(yīng)該有法；個(gè)性思維，解題也能“解無(wú)定法”！