解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，首先就需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行理解，這種理解不是表面的、膚淺的，而是全方位、多角度、深刻的、靈活的，就是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的洞察與把握，這是解決問(wèn)題的基礎(chǔ).本文著重對(duì)數(shù)學(xué)理解加以探討.

一、數(shù)學(xué)理解的含義

不同學(xué)派的心理學(xué)家持有不同的觀點(diǎn)，巴甫洛夫認(rèn)為，人們是通過(guò)聯(lián)想獲得有關(guān)事物關(guān)系的知識(shí)，理解就是利用舊聯(lián)想形成新聯(lián)想，即聯(lián)想的聯(lián)想；格式塔學(xué)派認(rèn)為理解就是“頓悟”是頭腦中知覺(jué)“完形”的出現(xiàn)，理解就是對(duì)事物間的關(guān)系突然貫通與領(lǐng)悟；以皮亞杰為代表的日內(nèi)瓦學(xué)派認(rèn)為：個(gè)體對(duì)新事物的理解，就是新刺激被個(gè)體已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)同化或順應(yīng)的過(guò)程。認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾則認(rèn)為理解就是將新信息納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，新舊知識(shí)發(fā)生意義同化的過(guò)程。以上種種觀點(diǎn)都各自在一定程度上解釋了理解的含義。我們認(rèn)為，理解就是個(gè)體運(yùn)用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)事物的聯(lián)系、關(guān)系直至其本質(zhì)規(guī)律的思維活動(dòng)。

行為主義認(rèn)為個(gè)體對(duì)知識(shí)的理解就是記憶概念、規(guī)則和方法，并能迅速提取并用于解決問(wèn)題。顯然，行為主義將知識(shí)理解定位在知識(shí)記憶的層面上，而不對(duì)“機(jī)械性記憶”和“在理解基礎(chǔ)上的記憶”加以區(qū)別，事實(shí)上，行為主義只關(guān)注人的外部行為，不研究人的內(nèi)部，因而不可能對(duì)“知識(shí)的理解”作深入思維過(guò)程探討。

二、數(shù)學(xué)理解水平

數(shù)學(xué)理解分為 8 個(gè)水平，即初步了解、產(chǎn)生表象、形成表象、關(guān)注性質(zhì)、形式化、觀察評(píng)述、組織結(jié)構(gòu)和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造。這8 種水平的關(guān)系?？梢杂?個(gè)嵌套的圓來(lái)表示，每一種水平用一個(gè)圓表示，并依水平的增高所表示的圓的半徑依次增大，前一個(gè)圓包含在后一個(gè)圓中，逐步拓廣。

三、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解

認(rèn)知心理學(xué)家將知識(shí)在學(xué)習(xí)者頭腦中的呈現(xiàn)和表達(dá)方式稱為知識(shí)的表征。對(duì)知識(shí)的理解與知識(shí)的表征密切相關(guān)，事實(shí)上，對(duì)一個(gè)事物本質(zhì)的理解，就是指該事物的性質(zhì)以一定的方式在學(xué)習(xí)者頭腦中呈現(xiàn)并能迅速提取?；诖耍覀儗⒗斫饨忉尀閷?duì)知識(shí)的正確、完整、合理的表征。根據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分類，數(shù)學(xué)理解應(yīng)涵蓋對(duì)陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)及過(guò)程性知識(shí)的理解等3個(gè)方面。

（1）對(duì)陳述性知識(shí)的理解

陳述性知識(shí)以命題、表象、線性排序等3種形式作為基本表征單位。命題相當(dāng)于頭腦中的一個(gè)觀念，一個(gè)命題被看作是陳述性知識(shí)的最小單元。一個(gè)命題不是孤立的，它與其它命題相互聯(lián)系組成命題網(wǎng)絡(luò)。表象表征是對(duì)事物的知覺(jué)特征的保留，是一種連續(xù)的，模擬的表征。線性排序是對(duì)一系列元素所作的線性次序的編碼。在人的知識(shí)表征中往往組合了命題、表象及線性排序，從而形成對(duì)知識(shí)的綜合表征——圖式。

對(duì)數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)的理解是從知識(shí)的基本單元表征，到形成命題網(wǎng)絡(luò)，再到獲得圖式的過(guò)程，對(duì)一個(gè)陳述性數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，是指學(xué)習(xí)者獲得了該對(duì)象的圖式。

（2）對(duì)程序性知識(shí)的理解

程序性知識(shí)是由陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的，是陳述性知識(shí)的動(dòng)態(tài)成分。與靜態(tài)的陳述性知識(shí)不同，程序性知識(shí)以“產(chǎn)生式”這種動(dòng)態(tài)形式來(lái)表征。所謂產(chǎn)生式指一條“條件——行動(dòng)”規(guī)則，即一個(gè)產(chǎn)生式總是對(duì)某一或某些特定的條件滿足時(shí)才發(fā)生的某種行為的一種程序。當(dāng)一個(gè)產(chǎn)生式的行動(dòng)成為另一個(gè)產(chǎn)生式的條件時(shí)，這2個(gè)產(chǎn)生式便建立了相互的聯(lián)系，若一組產(chǎn)生式有這種相互聯(lián)系，便形成一個(gè)產(chǎn)生式系統(tǒng)。產(chǎn)生式系統(tǒng)代表了人從事某一復(fù)雜行為的程序性知識(shí)。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)而言，其二重性表現(xiàn)得尤為突出，這種二重性或稱為概念性知識(shí)和方法性知識(shí)，或稱為對(duì)象和過(guò)程，其本質(zhì)就是陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)，一個(gè)數(shù)學(xué)概念既包含結(jié)果也包含過(guò)程。

四、數(shù)學(xué)理解的策略

對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解應(yīng)該包括三個(gè)方面，對(duì)條件的理解；對(duì)結(jié)論的理解；對(duì)條件與結(jié)論關(guān)系的理解。這里的理解不僅是表面的，更重要的應(yīng)該是本質(zhì)的，不僅是工具性的，更應(yīng)該是關(guān)系性的，不僅是特征性的理解，更應(yīng)是功能性的理解——對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的洞察與把握。因此，可以從三個(gè)方面去理解。

（1）數(shù)學(xué)語(yǔ)言角度

數(shù)學(xué)家斯托利亞爾早就說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言”。數(shù)學(xué)首先是一種語(yǔ)言，這是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特征。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是從數(shù)學(xué)的角度對(duì)世界認(rèn)識(shí)的一種表述。因此，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解首先應(yīng)該是對(duì)構(gòu)成該問(wèn)題的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解。

（2）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)角度

很大程度上講，數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)。這里的“結(jié)構(gòu)”不同于布爾巴基學(xué)派的“結(jié)構(gòu)主義”，那里的“結(jié)構(gòu)”我們不妨稱之為“廣義的結(jié)構(gòu)”，我們這里的“結(jié)構(gòu)”不妨稱為“狹義的結(jié)構(gòu)”。

所謂“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”是指構(gòu)成該數(shù)學(xué)問(wèn)題的各個(gè)要素以及它們之間的相互聯(lián)系。根據(jù)初等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，我們可以將數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分為：代數(shù)結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)和數(shù)形結(jié)構(gòu)等等。狹義的結(jié)構(gòu)主義的基本思想：數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)；結(jié)構(gòu)決定著方法、結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著方法、結(jié)構(gòu)提示著方法；結(jié)構(gòu)的豐富性決定著方法的多樣性；結(jié)構(gòu)的特殊性決定著方法的奇特性。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的方法不是從天上掉下來(lái)的，而是由該數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)所決定的。

總之，數(shù)學(xué)理解是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵之一，加強(qiáng)數(shù)學(xué)理解的理論研究與教育實(shí)踐研究，是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究的重要方面，這對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革，特別是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題教育，提高學(xué)生的素質(zhì)、發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)和能力都具有十分重要的理論意義與實(shí)踐意義。