【摘要】應(yīng)用分形維數(shù)理論，給出碾壓土多孔介質(zhì)的三場耦合數(shù)學(xué)模型，該模型應(yīng)用物質(zhì)守恒定律、力學(xué)平衡與能量守恒，這三個方程，相互耦合組成。其中為引入Heaviside階梯函數(shù)，將凍土與未凍土參數(shù)結(jié)合在一起，然后采用COMSOL Multiphysics 軟件進行，溫度場，水分場與應(yīng)力場三場耦合數(shù)值模擬；

【關(guān)鍵詞】分形維數(shù)；三場耦合；COMSOL Multiphysics；數(shù)值模擬

1、引言

寒區(qū)碾壓土是一種特殊土體，與常規(guī)土體比較，它的力學(xué)性質(zhì)符合人們一定的預(yù)期構(gòu)想。所以能采用多孔介質(zhì)理論中的分形維數(shù)理論進行描述。寒區(qū)碾壓土中的凍脹融沉等病害主要是由于，土體內(nèi)水分的遷移與相變。但參數(shù)間復(fù)雜的耦合關(guān)系，使一般計算的精度較低。

本文在傳統(tǒng)的三場耦合的基礎(chǔ)上，首先建立一組以分形維數(shù)理論為基礎(chǔ)的多場耦合方程，并在相變區(qū)考慮heaviside函數(shù)，運用comsol軟件對三場耦合進行求解。Comsol 軟件在求解時會先同一微分方程組，在一場中實現(xiàn)全耦合求解，這種求解方式比松散求解更精確。

2、分形維數(shù)理論在碾壓凍土中的應(yīng)用

2.1 碾壓土的分形模型

從微觀的角度來講，碾壓土是多孔介質(zhì)由大小不一的顆粒逐漸堆積而成，這與分形的構(gòu)造過程十分相似，因此可用分形模型進行定量分析。本文采用Menger 海綿模型來模擬碾壓土多空介質(zhì)材料的孔隙特征。得到menger海綿分形維數(shù)為：D=ln（m3-n）/ln m；帶入可得，孔隙度與分形維數(shù)的關(guān)系為：

2.2 基于分形理論下，碾壓土的滲透率模型

Darcy流體的數(shù)學(xué)表達式為：；達西定律中K值保持不變，表明滲透率K只與多孔介質(zhì)本身的結(jié)構(gòu)特性有關(guān)而與單項牛頓流體的特性無關(guān)。但曾有實驗給出Fanning 摩擦系數(shù)f對雷諾數(shù)Re的關(guān)系曲線由圖可知，f=c/Re帶入達西定律中可得 與式 ，最終可知滲透率 。

3、凍土水熱耦合求解微分方程組

根據(jù)原始傅立葉熱傳導(dǎo)方程，結(jié)合凍土特性，將相變潛熱作為熱源處理，得到溫度場控制方程， 土體中水分的遷移 主要采用達西定律中的 Richards 方程，應(yīng)力場主要采用彈性力學(xué)遠離，應(yīng)滿足平衡方程、物理方程、幾何方程、應(yīng)力邊界條件及位移邊界條件等，最后化簡得到下列偏微分方程：

其中u：土壤溫度 ℃； C：容積熱容量 kJ/m·℃； L：冰水的相變潛熱 ，取334.5kJ/kg；

：土水勢； 分析研究時一般把基質(zhì)勢、溶質(zhì)勢都看成土水壓力所以水土勢簡化為： 為轉(zhuǎn)換系數(shù)，其中水壓力可以用Clapeyron方程求解。

4、方程的化簡及求解

4.1 Heaviside階梯函數(shù)

建立土體凍結(jié)過程的三場耦合模型，可以避免在凍土區(qū)與非凍土區(qū)建立兩套方程及其動態(tài)銜接方程的困難。階梯函數(shù)Heaviside的表達式為

最后得到整個區(qū)域內(nèi)未凍水體積含量與溫度的關(guān)系：

導(dǎo)熱系數(shù)可表示成 ；其它參數(shù)可以類似得到。

5、基于comsol 軟件的水熱力耦合數(shù)值模型

5.2 溫度場模塊的添加

本文選取梯形渠道作為分析對象。熱力學(xué)模塊主要選用多孔介質(zhì)傳熱模塊：該模塊的傳熱方式采用的是對流熱通量傳熱。渠道中溫度場的變化量是由于外界溫度場的改變。

1）上表面邊界溫度，根據(jù)前人的研究，可以簡化統(tǒng)一表示為如下三角函數(shù)

t為時間（h）

兩側(cè)邊界距離足夠遠，可以認為是絕緣熱，沒有熱交換。3）下邊界考慮地?zé)嵊绊?，底部采取恒溫T=276.15K。在模塊中，填入?yún)?shù)，模塊中填入的參數(shù)，都是引入Heaviside函數(shù)后的參數(shù)。經(jīng)過三個周期（三年）后，渠道溫度場趨向穩(wěn)定，圖中顯示了溫度場的等溫線圖。渠道表面的溫度變化明顯，受外部影響較大。

5.2 水分場，與應(yīng)力場模塊的添加

水分場模塊，選擇多孔介質(zhì)和地下水流中的 Richard方程模塊，應(yīng)力場則選擇多孔彈性材料。 結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)垂直向最大位移約0.01m。兩側(cè)位移稍微小一些，在經(jīng)過三個凍融循環(huán)經(jīng)過之后，逐漸趨于穩(wěn)定，不會在發(fā)生嚴重的變形之類的。

本文主要依靠分形理論來描述碾壓土的孔隙結(jié)構(gòu)特征，并給出了碾壓土多孔介質(zhì)滲透率與分形維數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式子。結(jié)合三場耦合模型，該模型由三個物理方程相互耦合組成。耦合過程中將分形維數(shù)得到的結(jié)論應(yīng)用于其中，簡化了實驗成本，增加了效率。

以comsol軟件為基礎(chǔ)了，對本文的數(shù)學(xué)模型就行了全耦合求解，實現(xiàn)了溫度場、水分場、應(yīng)變場三場的耦合，避免了松散耦合帶來的誤差。計算時，未考慮外界荷載，在計算中所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變、位移都是由于凍融產(chǎn)生的。

參考文獻：

[1]安元. “襯砌渠道凍融過程溫度場數(shù)值模擬.” 吉林水利 5（2014）：14-17.