在了解了認知數(shù)學內容的元要素后，我們需要對“數(shù)學”這個概念做一下基本的界定。

為什么還要對“數(shù)學”做概念界定呢？這是因為：第一，雖然都叫做“數(shù)學”，但各個歷史時期的“數(shù)學”，實質并不相同。第二，我們每個人心目中的“數(shù)學”概念，也都不相同。

比如，現(xiàn)代數(shù)學，與近代數(shù)學，基本是兩碼事。古代數(shù)學，與近代數(shù)學、現(xiàn)代數(shù)學，更是不同。特別是遠古的數(shù)學——原始數(shù)學，更不相同。而且原始數(shù)學能否叫做數(shù)學都是問題。

對人類數(shù)學發(fā)展史，目前大致有個認識上的界定，權威的數(shù)學史大致是這么寫的：

“數(shù)學是一門最古老學科，它的起源可以上溯到一萬多年以前。但是，公元1000年以前的資料留存下來的極少。迄今所知，只有在古代埃及和巴比倫發(fā)現(xiàn)了比較系統(tǒng)的數(shù)學文獻。遠在15000年前人類就已經能相當逼真地描繪出人和動物的形象。這是萌發(fā)圖形意識的最早證據(jù)。后來就逐漸開始了對圓形和直線形的追求，因而成為數(shù)學圖形的最早的原型。在日常生活和生產實踐中又逐漸產生了計數(shù)意識和計數(shù)系統(tǒng)，人類摸索過多種記數(shù)方法，有開始的結繩記數(shù)，用石塊記數(shù)，語言點數(shù)進一步用符號，逐步發(fā)展到今天我們所用的數(shù)字。古希臘人在數(shù)學中引進了名稱、概念和自我思考，他們很早就開始猜測數(shù)學是如何產生的……”

通過這段文字，我們可以看得出，人類數(shù)學從萌芽到現(xiàn)在，經歷了數(shù)個漫長的歷史時期，在各個歷史時期，“數(shù)學”并不相同，而是經歷了諸多的變化，當然也做出了積累。

史學家和數(shù)學家們，從多種標準對數(shù)學發(fā)展做了發(fā)展期的劃分，但這種劃分并不是針對數(shù)學教育所提出。因此，我們從學習和教學的角度來閱讀理解數(shù)學史，還是比較困難的。

我們知道，在1萬多年前至今的數(shù)學發(fā)展史中，各個歷史時期的“數(shù)學”并不一樣，雖然都稱之為“數(shù)學”。所以，我們有必要回溯歷史，并結合人類的認知與思維發(fā)展史，從各個歷史時期數(shù)學建立的基礎（建立的基本邏輯）和同步時期的人類認知與思維發(fā)展的角度，來重新劃分一下數(shù)學。

我個人認為，可以劃分為如下幾個階段：

1.遠古數(shù)學：人類感覺時期的數(shù)學 —— 即量感、形感、質感

時期；

2.原始數(shù)學：人類感知、認知時期的數(shù)學 —— 即計量、測量、估量和數(shù)字、圖形、文字時期。

這個時期，主要是由計數(shù)、測量、估量等產生了數(shù)字、測繪圖形、自然科學萌芽等。大致相當于古埃及、古印度、古兩河文明

時期。

3.古代數(shù)學：人類探知時期開始的數(shù)學——即初等數(shù)學形成時期的數(shù)學。這個時期主要是產生了概念、邏輯、形而上、Logos等，把數(shù)學逐步建立在了形而上思維、Logos理念、概念和形式邏輯基礎上，產生了公理體系的幾何學，嚴格的證明和算法等。人類開始以數(shù)學、語言學、形而上學、詩歌神話的眼光來認知和理解世界。“萬物皆數(shù)”“人是萬物的尺度”等，便是例證。這也是近現(xiàn)代數(shù)學奠定基礎的歷史時期。這個時期大致相當于古希臘時期公元前600年至滅亡。

4.近代數(shù)學：笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學，把變量引進了數(shù)學，成為數(shù)學中的轉折點。數(shù)學進入一個新的以變數(shù)為主要研究對象的領域，稱為“高等數(shù)學”。近代數(shù)學本質上可以說是變量數(shù)學。微積分、函數(shù)、解析幾何、數(shù)論等是這個時代的主角。

5.現(xiàn)代數(shù)學：現(xiàn)代數(shù)學時期是指由19世紀20年代至今，這一時期數(shù)學主要研究的是最一般的數(shù)量關系和空間形式，數(shù)和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數(shù)、拓撲學、泛函分析是整個現(xiàn)代數(shù)學科學的主體部分。

19世紀前半葉，數(shù)學上出現(xiàn)三項革命性的發(fā)現(xiàn)：非歐幾何、不可交換代數(shù)、分析的算術化。這導致了現(xiàn)代數(shù)學的突破和奠基。

拓撲學開始是幾何學的一個分支，但是直到20世紀的第二個1/4世紀，它才得到了推廣。拓撲學可以粗略地定義為對于連續(xù)性的數(shù)學研究?？茖W家們認識到：任何事物的集合，不管是點的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學對象的集合，都能在某種意義上構成拓撲空間。拓撲學的概念和理論，已經成功地應用于電磁學和物理學的

研究。

20世紀有許多數(shù)學著作曾致力于仔細考查數(shù)學的邏輯基礎和結構，這反過來導致公理學的產生，即對于公設集合及其性質的研究。許多數(shù)學概念經受了重大的變革和推廣，并且像集合論、近世代數(shù)學和拓撲學這樣深奧的基礎學科也得到廣泛發(fā)展。一般（或抽象）集合論導致的一些意義深遠而困擾人們的悖論，迫切需要得到處理。邏輯本身作為在數(shù)學上以承認的前提去得出結論的工具，被認真地檢查，從而產生了數(shù)理邏輯。邏輯與哲學的多種關系，導致數(shù)學哲學的各種不同學派的出現(xiàn)。

從整個數(shù)學發(fā)展史來看，數(shù)學成立的基礎是：概念、邏輯。

以上引用的都是比較權威的數(shù)學史、自然科學史上的資料和說法，而且在不同的版本之間做過比對。

大家可以看到：我們今天的初等數(shù)學等于古代數(shù)學，常量數(shù)學；我們今天的高等數(shù)學等于近代數(shù)學，變量數(shù)學；我們今天的抽象數(shù)學等于現(xiàn)代數(shù)學，分析數(shù)學。

古代數(shù)學就是初等數(shù)學，那么初等數(shù)學之前，是什么數(shù)學呢？所以，如果硬要叫做數(shù)學的話，只能叫做原始數(shù)學了。

（作者單位：公眾教育研究院）