在函數(shù)的教學(xué)中，復(fù)合函數(shù)是一個(gè)教材不講、理解困難、考試要考的老大難問題。本文將從函數(shù)定義出發(fā)考慮復(fù)合函數(shù)的定義域、解析式和值域，希望能為讀者理解復(fù)合函數(shù)提供幫助。

最新的人教版教材函數(shù)定義是：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于？坌x∈A，在集合B中都有唯一確定的數(shù)？堝y=f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。由這個(gè)定義，我們可以建立一個(gè)對(duì)應(yīng)的圖形來方便我們理解復(fù)合函數(shù)，如下圖：

一、看定義域

在函數(shù)定義中，我們用x表示A中所有元素，那么能否用字母t表示A中所有元素呢？當(dāng)然可以。那能否用表達(dá)式x+1表示A中所有元素呢？也是可以的。那能否用一般的表達(dá)式g（x）表示A中所有的元素呢？也是可以的（注：這個(gè)說法是不嚴(yán)密的，因?yàn)間（x）的范圍不一定就能把A中所有元素取完。但高中只考查g（x）的范圍是R的時(shí)候，所以在高中是可以的）。由此，我們可以得到：同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f下，定義域A中的元素用哪一個(gè)表達(dá)式表示并不能改變A的范圍，它們的范圍都是A。所以可得結(jié)論：f[g（x）]中g(shù)（x）的范圍和f（x）中x的范圍相同。舉例如下：

例1.①已知f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，求f（x+1）的定義域；②已知f（x+1）定義域?yàn)閇-1，1]，求f（x）的定義域；③已知f（x-1）定義域?yàn)閇-1，1]，求f（x+1）的定義域

解：①∵f（x）中x∈[-1，1]，∴f（x+1）中x+1∈[-1，1]，解得，∴-2≤x≤0，∴f（x+1）的定義域?yàn)閇-2，0]

②∵f（x+1）中x∈[-1，1]，解得0≤x+1≤2，∴f（x）中x∈[0，2]，∴f（x+1）的定義域?yàn)閇0，2]

③∵f（x-1）中x∈[-1，1]，解得-2≤x≤0，∴f（x+1）中x+1∈[-2，0]，解得-3≤x≤-1，∴f（x+1）的定義域?yàn)閇-3，-1]

點(diǎn)評(píng)：從本題可以看出f（x）與f[g（x）]是兩個(gè)不同的函數(shù)，x是不同的意思。兩個(gè)函數(shù)的唯一聯(lián)系就是f[g（x）]中g(shù)（x）的范圍和f（x）中x的范圍相同。

二、看解析式f

在定義中明確說了f（x）叫函數(shù)值，由此得到f（x）的兩層意思。第一層，當(dāng)x確定時(shí)，f（x）是一個(gè)確定的函數(shù)值；第二層，當(dāng)x任意變化時(shí)，f（x）是函數(shù)。而要求復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的解析式，我們完全可以從函數(shù)值的角度理解和求f[g（x）]。用g（x）整體替換f（x）中的x就可以得到f[g（x）]的解析式了。

三、看值域

由定義可知，f（x）的值域是由x的范圍A通過對(duì)應(yīng)法則f（也就是解析式）求出。而f[g（x）]的值域求解由上圖可知，先將f[g（x）]拆成f（t）和t=g（x），然后由x范圍通過對(duì)應(yīng)法則g求出t=g（x）的范圍，最后由t通過對(duì)應(yīng)法則f求出f[g（x）]的范圍。

點(diǎn)評(píng)：復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的值域求解難點(diǎn)就是要能將一個(gè)函數(shù)拆成多個(gè)常見函數(shù)，從而依次求范圍即可。

綜上所述，可知從函數(shù)定義理解復(fù)合函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)是可行的。加之現(xiàn)在復(fù)合函數(shù)的考查已偏簡單，所以，讀者只需要能理解上面的結(jié)論，基本上求解和應(yīng)用都不在話下。

編輯 楊國蓉