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        課堂實錄:一個疑問引發(fā)的風波

        2016-04-29 00:00:00楊平
        新課程·下旬 2016年10期

        摘 要:在教學直線與雙曲線的位置關(guān)系時,為了讓學生更直觀地了解直線與雙曲線的交點情況,借用GeoGebra軟件進行演示。在演示中通過一個學生的疑問引導學生通過觀察、大膽質(zhì)疑、自主探究、實踐求證,讓學生在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上深入探討了直線與雙曲線的相關(guān)知識。

        關(guān)鍵詞:直線;雙曲線;數(shù)形結(jié)合;GeoGebra

        GeoGebra是一個結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的動態(tài)數(shù)學軟件,它是由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數(shù)學教授Markus Hohenwarter設(shè)計的,GeoGebra融合了代數(shù)與幾何兩大學科,做到了圖形與代數(shù)方程的同步變化,實現(xiàn)了真正的動態(tài)演示??梢酝ㄟ^在下方的命令輸入框輸入圓錐曲線方程的方式(如輸入“x^ 2+y^ 2=1”)直接畫出圖形,甚至可以用向量運算的方式輸入(A+B+C)/3來直接顯示△ABC的重心點。

        一、波瀾不驚:常規(guī)教學在信息展示中傳授知識

        在介紹直線與雙曲線的位置關(guān)系時,教師可以通過一個思考題來探究:討論直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1的交點個數(shù),并求此時k的取值范圍。

        代數(shù)解析不再贅述。為了讓學生更形象地理解直線與雙曲線的位置關(guān)系,利用GeoGebra軟件進行了下面設(shè)計:

        ①先在“輸入框”中分別輸入并回車:x^ 2-y^ 2=1,y=x,y=-x,得到雙曲線及其漸近線的圖象,可以很清晰地讓學生理解相切與只有一個交點的區(qū)別與聯(lián)系;

        ②在輸入框中輸入:y=kx-1,并回車,此時會彈出“創(chuàng)建滑動條”的對話框,根據(jù)需要產(chǎn)生一個關(guān)于變量k的滑動條(如下圖所示)。拉動滑動條,可讓學生與上面的代數(shù)式進行驗證。

        二、風波乍起:點滴疑問在拓展思維中放飛思想

        1.一個學生的積極歸納:

        2.一個學生的無意提問:是否所有直線與雙曲線的位置關(guān)系都可以利用上面的數(shù)軸來實現(xiàn)呢?

        3.要回答學生提出的問題,結(jié)合學生的嘗試和探討,教師可利用GeoGebra進行如下設(shè)計:

        (1)先實現(xiàn)雙曲線x2-y2=1及其漸近線的圖象;

        (2)在輸入框中輸入:y=tan(a)*(x-p)+q,其中a∈[0,3.14],p∈[-5,5],q∈[-5,5],從而形成過點M(p,q)的動直線d;

        (3)在輸入框中分別輸入:y=(x-p)+q與y=-(x-p)+q,回車后形成過點M(p,q)的兩條與雙曲線漸近線平行的伴隨動直線;

        (4)可以拖動點M,讓它位于不同的位置,再拖動參數(shù)a,觀察動直線d與雙曲線的交點情況。如下圖1所示:

        (I)先研究直線與雙曲線只有一個交點的情形:將雙曲線包含兩個焦點的區(qū)域簡稱為雙曲線內(nèi),含有原點的區(qū)域簡稱為雙曲線外,如上圖2所示。通過定位點M(p,q)在圖2中的不同區(qū)域,可以觀察到下列情形:

        ①當點M在雙曲線內(nèi)時,有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線只有一個交點;

        ②當點M在雙曲線上或點M在雙曲線的漸近線上(除原點)時,有三條直線與雙曲線只有一個交點:兩條與雙曲線漸近線平行的直線和一條與雙曲線相切的直線;

        ③當點M在雙曲線外左(右、上、下)區(qū)域時,有四條直線與雙曲線只有一個交點:兩條與雙曲線漸近線平行的直線和兩條與雙曲線相切的直線;

        ④當點M在原點處時,有兩條與雙曲線漸近線重合的直線與雙曲線只有一個交點。

        (II)利用檢驗直線快速判斷直線與雙曲線的交點個數(shù)及此時所對應(yīng)的直線斜率的變化范圍。下面是點M在雙曲線外左區(qū)域的檢驗圖形及結(jié)論。

        這樣,我們就可以很快得到上面右方的結(jié)論,這也形成了解決直線與雙曲線交點問題的幾何法。

        三、余波陣陣:大膽猜想在細致觀察中迸發(fā)靈感

        四、波光粼粼:興趣探究在自我實踐中彰顯智慧

        1.學生很好奇地利用GeoGebra軟件進行拋物線的自主學習。

        2.學生很成功地利用GeoGebra軟件進行了雙曲線與橢圓等軌跡方程的再探究。

        郭沫若老先生說過:“教育的目的是養(yǎng)成自己學習、自由研究、用自己的頭腦來想、用自己的手來做的這種精神?!闭n堂是老師的生命力所在地,是學生智慧的發(fā)源地。為了讓學生動起來,讓課堂活起來,讓愛充滿整個課堂,讓學生在樸素的課堂生活中去品味自然科學,我們要用師生之間的愛喚起學生的求知欲,用技巧引導學生全面和諧的發(fā)展,給學生創(chuàng)造一個民主和諧的發(fā)展空間?!皵?shù)形結(jié)合拓思維,代數(shù)解析定經(jīng)緯”,這堂課借用學生的疑問,引導學生自主觀察、大膽猜想、實踐求證、合作交流,讓學生真正成為課堂的主人。最有意義的是學生學會了使用數(shù)學工具軟件,并使之成為數(shù)學學習的重要助力。

        參考文獻:

        詹文藝.過定點的直線與雙曲線的公共點問題淺析[J].學法指導,2013(41):95-96.

        作者簡介:楊平,男(1979—),碩士研究生,廣東省肇慶市端州區(qū)肇慶中學高中部數(shù)學教師。

        編輯 楊國蓉

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