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解決《平面向量的數(shù)量積》的方法例析

■劉詩(shī)桂

一、知識(shí)梳理

1．平面向量的數(shù)量積。

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a=0。

(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律。

(1)a·b=b·a(交換律)。

(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律)。

(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)。

3．計(jì)算數(shù)量積的三種方法。

定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用。

二、例題解析與方法歸納

1.例題呈現(xiàn)。

深度思考：對(duì)于例2同學(xué)們首先想到的方法是什么？這里提醒同學(xué)們此題可有三種解法：法一，利用定義；法二，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；法三，利用數(shù)量積的幾何意義，你不妨試一試。

圖1

圖2

圖3

2．規(guī)律方法歸納。

求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義。

解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，可先利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算。但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)。

作者單位：湖南省衡東縣第一中學(xué)