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拓展遷移事半功倍
——談一道課本例題的變式

■丁華干

朱熹在《觀書有感》寫道：“問渠哪得清如許,為有源頭活水來！”人民教育出版社蔡上鶴先生，在《重視數(shù)學(xué)經(jīng)典的傳播》一文中也曾指出，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書是教材編者根據(jù)數(shù)學(xué)課程標準或者大綱編寫的，也是高考命題、組卷的主要參照之一。數(shù)學(xué)教科書里包含大量典型問題及其適度的延伸。在應(yīng)用時，要留時間讓學(xué)生用典、說典、評典、拓典。[1]

為了加深對數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用，往往需要借助一些典型例題的變式拓展，分析求解，讓學(xué)生對概念的掌握和理解轉(zhuǎn)化為解決實際問題的技能，形成知識遷移，從而獲得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

下面，本文結(jié)合蘇教版必修4第三章第3節(jié)“兩角和與差的正切”的例題4，談一點初淺的思考，借以拋磚引玉。

例題在斜三角形ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

分析：這是一個輪換對稱的優(yōu)美的三角恒等式，將所求證的等式與兩角和(差)的正切公式比較，都含有正切的和與積，因此，我們可考慮運用兩角和的正切公式。

反思與探究：從上述的證明過程我們可以看到，等式成立的關(guān)健是A+B+C=π，當然，還必須保證tanA、tanB、tanC都有意義。那么，一般地，當角A、B、C滿足什么條件時，能使等式tanA+tanB+tanC=tanA·tanBtanC成立？通過觀察，同學(xué)們很容易回答一個特殊情況，即A=B=C=0時等式成立。

結(jié)論：tanA+tanB+tanC=tanA·tanBtanC成立的充要條件A+B+C=nπ(n∈Z)。

變式拓展1：在斜三角形ABC中，求證：

(1)tan(nA)+tan(nB)+tan(nC)=tan(nA)tan(nB)tan(nC)。

變式拓展2：在△ABC中，tanA+tanB+tanC>0是△ABC為銳角三角形的()。

A．既不充分也不必要條件

B．充分必要條件

C．必要不充分條件

D．充分不必要條件

分析：首先證明充分性。

由例題的證明可知：在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

①若△ABC中有一個鈍角，tanA、tanB、tanC必有一個值為負值。即tanAtanBtanC<0，不合條件。

②若三角形有一個為直角，則tanA·tanBtanC無意義。所以當tanA+tanB+tanC>0時,三個角為銳角，故tanA+tanB+tanC>0時，△ABC是銳角三角形。

再證明必要性。因為△ABC是銳角三角形，所以tanA>0,tanB>0，tanC>0。又在△ABC中，tanA+tanB+tanC>0，故正確答案選：B。

變式拓展3：在銳角△ABC中,求證tanAtanBtanC>1。

方法1：由例題的證明可知,在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。要證明tanAtanBtanC>1，只要證明tanA+tanB+tanC>1即可。

總之，對課本中的例題如果能夠做到合理變式拓展與研究設(shè)計，讓不同基礎(chǔ)，不同能力層次的學(xué)生，獲得數(shù)學(xué)情感的積極體驗，一定會讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到深層次的訓(xùn)練，同時，還能夠促進學(xué)生自主知識與方法體系的有效建構(gòu)。這種舉一反三的探究過程，也必然會更加激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)收到事半功倍的效果。

參考文獻：

1.蔡上鶴.重視數(shù)學(xué)經(jīng)典的傳播[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上),2008(12).

作者單位：江蘇省東臺市安豐中學(xué)