楊在林， 王　耀， 黑寶平， 李志東

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱　150001)

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基于等效轉(zhuǎn)化關(guān)系的一維非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題解析方法研究

楊在林， 王耀， 黑寶平， 李志東

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱150001)

摘要：基于波動(dòng)方程與位移場解答等效思路，獲得非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題與均勻介質(zhì)柱面波等效轉(zhuǎn)化關(guān)系。分析發(fā)現(xiàn)兩類問題模型間可相互轉(zhuǎn)化，問題解答可相互等效。等效轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)為幾何形狀與材料參數(shù)的等效關(guān)系。利用等效轉(zhuǎn)化關(guān)系獲得兩個(gè)一維非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題算例的解析解。

關(guān)鍵詞：非均勻介質(zhì)；波動(dòng)；等效轉(zhuǎn)化

生產(chǎn)實(shí)踐中均勻介質(zhì)的柱面波較常見，一般由直線源引起，如受時(shí)變均布內(nèi)壓作用的直孔結(jié)構(gòu)[1]。對(duì)常見的標(biāo)量波如線性淺水波[2]在一定條件下也可視為類似情形。均勻線彈性介質(zhì)中波速是恒定的，即單位時(shí)間內(nèi)波傳播距離不變。均勻介質(zhì)中傳播的平面波波速、波幅均為恒定的，而柱面波波幅則隨傳播距離增加逐漸遞減。非均勻介質(zhì)則有所不同[3-4]。由于材料參數(shù)分布不均勻，傳播過程中波幅一般隨時(shí)間變化，且波速也會(huì)隨波的位置不同而不斷變化。

Virieux[5-6]采用速度-應(yīng)力有限差分法分別模擬、研究SH波、P波及SV波在非均勻介質(zhì)中的傳播規(guī)律；Wesoloski[7]研究兩彈性層間夾有彈性模量服從二次多項(xiàng)式分布的過渡層的波傳播規(guī)律，過渡層模量分布是以坐標(biāo)為變量的拋物線，在研究域內(nèi)模量分布函數(shù)完全連續(xù)；Manolis[8]研究波速豎向漸變的非均勻半無限空間中波動(dòng)問題，并引入材料參數(shù)的隨機(jī)性用Green函數(shù)法進(jìn)行分析；Chaix等[9]通過均勻化方法對(duì)混凝土中熱損傷的超聲特性進(jìn)行理論分析，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題解析求解存在較大困難，多采用數(shù)值求解方法[10-13]。由于目前缺乏問題的解析解，數(shù)值解法結(jié)果驗(yàn)證較困難。

本文給出波速恒定(模量與密度非均勻)而波幅在傳播過程中會(huì)發(fā)生改變、且波幅變化規(guī)律與柱面波相同的一維非均勻介質(zhì)等效模型及材料參數(shù)等效轉(zhuǎn)化關(guān)系,并利用此關(guān)系直接獲得非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題的解析解。

1方程等效

本文核心思想為利用問題模型等效轉(zhuǎn)化關(guān)系求解非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題的解析解。為此，建立均勻介質(zhì)中柱面波問題與非均勻介質(zhì)中平面波問題之間等效轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立波動(dòng)方程。

1.1柱面波波動(dòng)方程

各向同性均勻介質(zhì)的無阻尼波動(dòng)方程為

(1)

式中：D為介質(zhì)彈性系數(shù)；ρ為介質(zhì)密度。

柱坐標(biāo)系下式(1)可表示為通式，即

(2)

1.2變截面桿波動(dòng)方程

一維變截面勻質(zhì)桿件波動(dòng)方程為

(3)

式中：A為與坐標(biāo)相關(guān)的桿截面積函數(shù)；c為桿中彈性波傳播速度。

單位高度圓柱形波陣面面積A關(guān)于波陣面半徑r的變化關(guān)系為

A=2πr

(4)

將式(3)中變量x用r代替，并將式(4)代入該式，有

(5)

整理得

(6)

桿中波速公式為

(7)

式中：D為拉壓彈性模量(P波時(shí))或剪切彈性模量(S波時(shí))。

式(6)為式(2)的另一種形式。由此可知，一維變截面均質(zhì)桿件波動(dòng)方程與柱面波問題波動(dòng)方程完全等效。

1.3向一維非均勻介質(zhì)轉(zhuǎn)化

一維非均勻介質(zhì)波動(dòng)方程為

(8)

令

D′=x

(9)

(10)

得

(11)

將式(11)中變量x用r代替，可知材料參數(shù)分布滿足式(9)、(10)形式的一維非均勻介質(zhì)與一維變截面均質(zhì)桿件等效，即與均勻介質(zhì)中柱面波式(2)等效?；蛞暈榘霟o限非均勻介質(zhì)中平面波問題與均勻介質(zhì)中柱面波問題的等效。

2等效解答

由式(7)可知，式(9)、(10)對(duì)應(yīng)的非均勻介質(zhì)波速為cb，與等效均勻介質(zhì)中柱面波速對(duì)應(yīng)且相同?？梢?，均勻介質(zhì)中柱面波問題向非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題的轉(zhuǎn)化在等波速剖面條件下進(jìn)行，故兩者解答也可直接相互移植。因此，以SH波為例進(jìn)行說明。

2.1非均勻介質(zhì)等效剛度

令長度為L的一維非均勻介質(zhì)沿長度方向剪切彈性模量滿足關(guān)系

G′=αx

(12)

式中：α為待定系數(shù)。

則在單位截面積下該介質(zhì)軸向等效柔度系數(shù)為

(13)

即軸向等效剛度系數(shù)為

(14)

2.2均勻介質(zhì)等效剛度

令半徑為L的均勻介質(zhì)剪切彈性模量為

G=μ

(15)

該介質(zhì)徑向等效柔度系數(shù)為

(16)

徑向等效剛度系數(shù)為

(17)

2.3點(diǎn)源SH波位移場

設(shè)波源是簡諧的，則柱面波波動(dòng)方程可寫為

(18)

點(diǎn)源SH波位移場[14]為

(19)

2.4非均勻介質(zhì)中平面波位移場

基于本文等效方法思路，對(duì)等效非均勻介質(zhì)中對(duì)應(yīng)問題，其位移場的解應(yīng)滿足

(20)

式中：λ為待定比例系數(shù)。

由KI=KH，即

(21)

得

α=2πμ

(22)

有

(23)

將式(12)、(23)代入式(20)，得位移場的解為

(24)

3算例

本文等效關(guān)系能用于一維非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題解析解。

3.1算例1

一維半無限長非均勻直桿，在O端入射頻率為ω的諧波，設(shè)波在研究域外傳播時(shí)不產(chǎn)生回波。見圖1。

圖1　模型Fig.1 Model

研究域內(nèi)桿的彈性模量與質(zhì)量密度均呈線性變化，分布函數(shù)分別為

E(x)=a1x+b1

(25)

ρ(x)=a2x+b2

(26)

且滿足關(guān)系

a1b2=a2b1

(27)

(1)ai=0、bi>0時(shí)，桿為均勻介質(zhì)，可直接給出位移場，即

(28)

(2)ai>0、bi≥0時(shí)，用坐標(biāo)變換關(guān)系為

(29)

則材料參數(shù)的分布函數(shù)變?yōu)?/p>

E(x′)=a1x′

(30)

ρ(x′)=a2x′

(31)

在此情形下，問題模型與均勻介質(zhì)中柱面波問題等效，等效模型彈性模量為a1/(2π)，密度為a2/(2π)。見圖2。

圖2　等效模型(ai>0,bi≥0)Fig.2 Equivalent model when ai>0,bi≥0

據(jù)式(19)或式(24)得位移場結(jié)果為

(32)

(3)ai<0、bi>0時(shí)，用坐標(biāo)變換關(guān)系為

(33)

則材料參數(shù)的分布函數(shù)變?yōu)?/p>

E(x′)=-a1x′

(34)

ρ(x′)=-a2x′

(35)

等效模型見圖3，其彈性模量為-a1/(2π)，密度為-a2/(2π)。

圖3　等效模型(ai<0，bi>0)Fig.3 Equivalent model when ai<0，bi>0

位移場結(jié)果為

(36)

3.2算例2

一維無限長非均勻介質(zhì)由材料參數(shù)不同的4段組成，見圖4。其中，第1、4段分別向無限遠(yuǎn)處延伸，且材料均勻，兩者性狀相同；第2段長L，材料非均勻，彈性模量與質(zhì)量密度的分布函數(shù)分別滿足式(25)～式(27)；第3段長L，材料非均勻，彈性模量與質(zhì)量密度的分布函數(shù)沿x軸方向線性遞減。

圖4　模型Fig.4 Model

由x=-∞傳來頻率為ω的高頻諧波，設(shè)在x=0處觀測到

u(0,t)=e-i(ωt+φ0)

(37)

則左段(x≤0)位移場為

(38)

參考算例1結(jié)果(式(28)、(32)、(36))知

(1)ai=0時(shí)第2～4段(x>0)位移場結(jié)果為

(39)

(2)當(dāng)ai>0時(shí)第2段(0

(40)

則x=L處位移為

(41)

故第3段(L

(42)

則x=2L處的位移為

(43)

故第4段(x>2L)的位移場結(jié)果為

(44)

(3)當(dāng)ai<0時(shí)第2段(0

(45)

取x=L處位移uL=u(L,t)，則第3段(L

(46)

取x=2L處位移u2L=u(2L,t)，則第4段(x>2L)的位移場結(jié)果為

(47)

4結(jié)論

基于方程與解答的等效方法給出均勻介質(zhì)中柱面波問題與一維非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題間等效轉(zhuǎn)化關(guān)系；利用該關(guān)系獲得材料參數(shù)及彈性模量服從線性分布的一維非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題的算例解析解，結(jié)論如下：

(1)二維柱面波問題解答可與對(duì)應(yīng)的一維波動(dòng)問題解答相互等效。所得轉(zhuǎn)化關(guān)系本質(zhì)是幾何形狀與材料參數(shù)間的等效關(guān)系。

(2)所得解析解為數(shù)值解法研究提供可供對(duì)比的精確結(jié)果；所得等效轉(zhuǎn)化關(guān)系顯示幾種不同類型問題間內(nèi)在聯(lián)系。本文結(jié)果對(duì)非均勻介質(zhì)波動(dòng)問題的研究具有積極意義。

參 考 文 獻(xiàn)

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Analytical solutions to wave motion in a one-dimensional inhomogeneous medium based on an equivalent transformation relationship

YANGZai-lin,WANGYao,HEIBao-ping,LIZhi-dong

(College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract:Based on the idea of the equivalent wave motion equation and the equivalent displacement field solution, the equivalent transformation relationship was obtained between the wave in the 1D inhomogeneous medium and the cylindrical wave in the homogeneous medium. Each model can be transformed equivalently into the other. The solutions of these two problems are equivalent to each other. The nature of the equivalent transformation is the equivalent relationship between geometry and material parameters. According to the relationship, analytic solutions were obtained for two examples of the wave motion problems in the 1D inhomogeneous medium in this work.

Key words:inhomogeneous medium; wave motion; equivalent transformation

中圖分類號(hào):O343.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.028

收稿日期：2014-09-09修改稿收到日期：2015-03-25

基金項(xiàng)目：國家科技支撐計(jì)劃課題(2015BAK17B06)；2015年地震行業(yè)科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目(201508026-02)；黑龍江省自然科學(xué)基金(A201310)；黑龍江省博士后科研啟動(dòng)金(LBH-Q13040)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(HEUCF150203)

第一作者 楊在林 男，博士，教授，1971年5月生