滕曉艷， 江旭東， 鄒廣平， 史冬巖

(1.哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱　150001； 2.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱　150001；3.哈爾濱理工大學 機械動力工程學院，哈爾濱　150080)

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簡諧激勵下板殼結構加強筋仿生布局降噪方法

滕曉艷1,2， 江旭東1,3， 鄒廣平2， 史冬巖1

(1.哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱150001； 2.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱150001；3.哈爾濱理工大學 機械動力工程學院，哈爾濱150080)

摘要：分析葉脈脈序形態(tài)的形成機理及構型規(guī)律，提取葉脈脈序生長的結構力學準則。以最小彈性應變能與抑制最大剪應力為主及次脈生長準則、以矢量平衡方程為脈序分歧準則建立具有葉脈分枝結構特征的板殼加強結構仿生設計模型。以降低諧振結構聲輻射為目標，利用相似原理提出適合板殼結構加強筋布局設計的仿生脈序生長算法。并用典型薄板結構進行加強筋分布設計，驗證板殼加強結構仿生布局方法在降噪中的可行性及有效性。

關鍵詞：板殼結構；仿生脈序；簡諧激勵；加強筋布局；降噪

板殼結構作為汽車、船舶、飛行器等裝備的基本組成部件，也是產(chǎn)生、傳遞振動的主要載體。板殼加筋可增強機械系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性，減少振動產(chǎn)生的聲輻射，降低噪聲。加強筋布局形式對結構輻射噪聲水平影響顯著，通過對結構質量、剛度及阻尼進行布局優(yōu)化可改善其聲振性能，因而頗受關注。

隨拓撲優(yōu)化方法逐漸成熟，通過數(shù)學規(guī)劃法進行加強筋布局優(yōu)化研究，可降低指定區(qū)域聲壓或結構的輻射聲功率水平。杜建鑌等[1-2]針對兩種不同力學性能材料組成的薄板結構，以結構聲輻射功率或聲場中指定區(qū)域場點聲壓最小化為優(yōu)化目標，通過變密度法獲得薄板結構材料的最優(yōu)分布形式。Bojczuk等[3-4]將Kirchhoff板布局優(yōu)化問題轉化為非自伴隨問題，通過拓撲導數(shù)法對直線加強筋與B樣條曲線形狀加強筋進行拓撲優(yōu)化設計。Liu等[5]利用材料導數(shù)法及伴隨變量法構造Hilbert空間內形狀梯度函數(shù)，優(yōu)化加強筋自由邊界的輪廓形狀。張衛(wèi)紅等[6]研究面向非規(guī)則有限元模型的薄壁結構加筋布局設計方法，提出實現(xiàn)平面與曲面加筋結構拉伸方向約束定義的新方法，探討幾何背景網(wǎng)格與加筋設計有限元網(wǎng)格尺寸關系。劉海等[7]以最小輻射聲功率為優(yōu)化目標，利用變密度拓撲優(yōu)化方法獲得簡諧激勵下板殼結構加強筋的最優(yōu)布局。而將生物進化方法與拓撲優(yōu)化方法融合，已有基于準則法的加強筋仿生布局優(yōu)化方法。丁曉紅等[8-9]在對根系分枝系統(tǒng)形態(tài)最優(yōu)性及成長機理研究基礎上提出薄板結構加強筋自適應成長設計方法，分別求解結構布局的剛度與頻率優(yōu)化問題。季金等[10]對啟發(fā)式優(yōu)化算法進行改進，通過優(yōu)化準則建立滿足KKT條件的板殼結構加強筋自適應成長設計方法。岑海堂等[11-12]通過分析植物葉脈構型規(guī)律，采用結構仿生方法提出仿生型飛機蓋板筋板及機翼結構，確定加強筋最佳分布位置。薛開等[13]根據(jù)雙子葉植物葉脈脈序形成的結構力說提出仿生脈序生長算法，并對板殼結構進行加強筋分布設計。

板殼加強結構本質上為具有分枝構型的板梁復合結構，基于數(shù)學規(guī)劃法的加強筋布局優(yōu)化方法雖可獲得薄壁結構沿厚度方向材料的最優(yōu)分布形態(tài)，但缺乏加強筋布局形式與最優(yōu)傳遞路徑間清晰的對應關系。植物葉脈分枝結構與板梁復合結構具有生物相似性，雖有對板殼加強結構靜、動力學特性優(yōu)化的仿生拓撲法，但對抗振板殼結構的仿生拓撲優(yōu)化研究較少。因此，本文借鑒葉脈脈序生長形態(tài)最優(yōu)性原理，以結構聲輻射功率為設計目標，提出簡諧激勵下板殼加強筋結構仿脈序布局的降噪方法。

1板殼加強筋結構振動聲輻射優(yōu)化模型

在結構-聲輻射計算中，設加筋板鑲嵌于無限大障板上，只考慮板殼結構上表面與流體接觸，加強筋僅影響結構振動。在單頻諧振載荷作用下半空間內輻射聲強可表示為

(1)

式中：ω為激振頻率：Is為場點輻射聲強：V(Q)為板殼結構上表面Q處質點振動速度：Vn(R)為上表面R處質點法向振動速度：r為質點Q與R的歐式距離：k，ρ為流體波數(shù)及密度。

板殼振動輻射聲場中，將近場輻射聲強在板殼結構上表面積分，得振動板殼總輻射聲功率為

(2)

考慮輻射聲功率為激振頻率的函數(shù)，將聲輻射功率在一定頻段下的平均值定義為目標函數(shù)，則聲輻射優(yōu)化方程為

(3)

式中：ωn，ω1為頻帶上、下限；Vm，Vs為加強筋主、次脈體積用量；V0為加強筋總體初始體積；ηm，ηs為加強筋主脈、脈體積約束因子。

2板殼結構加強筋布局仿生脈序生長算法

植物葉脈的分布形態(tài)具有等級、網(wǎng)狀結構特征，主、次脈相互傾斜、交錯、分歧以承受環(huán)境載荷作用。一般認為，葉脈的承載能力由三級脈序決定，主脈尺寸最大，承受絕大部分載荷，各級次脈尺寸依次減小，承載能力逐級下降[14]。植物形態(tài)力說認為，葉片內部生長誘發(fā)的彈性應力場能為葉脈生長提供力學環(huán)境，在葉脈形成過程中，由于生物體變形速度遠小于力信號傳播速度，因而認為各級脈序的成長過程近似為準靜態(tài)過程[15]。植物葉脈形成過程包括分化、重塑兩階段，主、次脈等各級脈序在分化階段形成雛形后在黏彈性阻力作用下重塑，形成幾何構型與分布形態(tài)[16]。因此，植物脈序分布形態(tài)、成長機理與加強筋布局設計具有相似性。本文借鑒植物脈序分枝結構特征，提煉加強筋主、次脈生長準則，以諧振結構聲輻射功率為目標進行抗振板殼加強結構的仿生研究。

2.1基于最小彈性應變能的主脈生長準則

在葉片內部黏彈性應力場作用下主脈的平衡構型可理解為脈序細胞在形成層固定通道中能量損耗最小化結果。若將主脈生長過程的能量流理解為結構的彈性變形能，則主脈幾何構型與分布形態(tài)具有能量最優(yōu)性。在單頻簡諧激勵作用下，板梁復合結構速度與位移諧響應關系為V=jωu(ω)ej(ωt+φ)，諧振結構彈性應變能幅值為U(ω)=uT(ω)Ku(ω)/2。諧振結構彈性應變能與輻射聲功率具有正相關關系，因此，以彈性應變能最小化的主脈生長準則作為加強筋主體布局準則更合理。

諧振結構彈性應變能按載荷激振頻率隨時間周期性變化，為有效抑制結構振動、降低聲輻射功率，本文按單頻簡諧激勵作用下彈性應變能幅值計算板梁復合結構的平均彈性應變能，優(yōu)化主脈脈序布局。優(yōu)化頻帶內，板殼加強筋結構平均彈性應變能為

式中：u(ω)為諧振結構節(jié)點位移幅值列陣；K為總體剛度陣。

無阻尼情況下板梁復合結構振動方程為

(K-ω2M)φ=0

(5)

式中：ω，φ為結構固有頻率及歸一化振型；M為質量陣。

設主脈梁候選單元i的生長前后結構各變量下標可分別用0、1表示，略去Δωi二階小量，則式(5)隨結構拓撲改變的增量形式為

(6)

式中：ΔK=K1-K0；ΔM=M1-M0；Δφi=φ1i-φ0i。

據(jù)式(6)，主脈候選梁單元i生長后歸一化振型為

(7)

通過Rayleigh阻尼模型描述板梁耦合結構的黏性阻尼效應，有

C1=αM+βK

(8)

式中：C1為結構阻尼矩陣；α，β為質量、剛度阻尼因子。

鑒于固有振型對剛度、質量及阻尼矩陣的正交性，則有

(9)

式中：ζ1i為與ω1i對應的模態(tài)阻尼比。

由此，將式(9)代入諧振結構動力學方程，得結構的頻響函數(shù)矩陣為

(10)

諧振結構位移列陣表示為

u1(ω)=Hu1(ω)F(ω)

(11)

式中：F(ω)為簡諧外載荷列陣。

主脈候選梁單元i生長后的諧振結構平均彈性應變能為

(12)

聯(lián)合式(4)與式(11)，主脈候選梁單元i生長前后諧振結構平均彈性應變能增量為

(13)

2.2基于抑制最大剪應力的次脈生長準則

植物形態(tài)力說認為，次脈生長類似樹干纖維成長，皆沿釋放剪應力方向，因此采用抑制最大剪應力作為次脈生長準則。在優(yōu)化頻率范圍內，次脈待生長點i的平均最大剪應力可定義為i節(jié)點周圍局部區(qū)域內最大剪應力在頻帶內的平均值，即

(14)

式中：τi(ω)為次脈待生長點i的最大剪應力；m為i節(jié)點周圍單元個數(shù)；n為優(yōu)化頻率區(qū)間平分份數(shù)。

據(jù)加強結構在次脈候選梁單元i生長前后的位移增量Δu，提取次脈待生長點位移增量Δu′，即

(15)

式中：Fv為位移增量Δu′的虛擬外載荷列陣。

據(jù)諧振結構動力學方程，有

(16)

將式(16)代入式(15)，則次脈待生長點位移增量可表示為

[Hu1(ω)F(ω)-Hu0(ω)F(ω)]

(17)

由式(17)，次脈待生長點應力增量為

Δσ=DBΔu′

(18)

式中：D，B為板梁復合結構材料、應變矩陣。

由式(18)，次脈待生長點的平均最大剪應力為

(19)

由于次脈生長用以有效的釋放生長處局部最大剪應力，則可由式(17)、(19)確定次脈待生長點在候選次脈梁單元生長前后的平均最大剪應力變化量，剪應力削減最大待生長點即可確定為次脈的下一生長點。

2.3脈序分歧矢量平衡

葉脈形成的分化階段，主、次脈在生長準則約束下依次生長形成閉環(huán)結構；重塑階段脈絡在分歧處會微調脈序方向及寬度尺寸，脈序分歧調節(jié)原理見圖1。

圖1　脈絡分歧處的矢量平衡Fig.1 Vector equilibrium at junction of leaf veins

由此，脈序在分歧處的矢量平衡方程為

(20)

式中：di為分歧處各段脈序寬度；ei為脈序橫截面單位外法向矢量； fi為分歧處各段脈序寬度矢量。

2.4優(yōu)化流程

加強筋生長算法主要包括程序初始化、主次脈生成子程序及脈序光滑子程序，見圖2。其中，對葉脈生長的分化階段，建立板梁復合結構有限元模型，獲得加強筋脈序生長能量、應力場；根據(jù)載荷作用點與位移邊界條件配置主脈種子位置，利用最小應變能原則確定主脈分布構型；依據(jù)最大剪應力原則在主脈上配置次脈種子位置，利用抑制最大剪應力原則確定次脈分布構型。對葉脈生長重塑階段，利用最小二乘法光滑加強筋脈序的分布構型，通過矢量平衡控制方程修正脈序分歧處寬度及方向。

圖2　脈序生長算法流程圖Fig.2 Flow chart of vein growthalgorithm

3數(shù)值算例

板殼結構聲輻射優(yōu)化加強筋布局形式多為正交、等間距、垂直排列的分布構型，為對比傳統(tǒng)與仿生的降噪效果，分析四邊簡支方板及對邊固支圓孔方板在兩種加強筋布局形式下的聲輻射功率及相同體積約束下的噪聲水平與降噪能力。

3.1四邊簡支方板

方形薄板四邊簡支，板中心處受集中簡諧載荷作用，見圖3，傳統(tǒng)加筋強化方式為正交布局，見圖4。方板邊長L=0.8 m，厚t=0.01 m，加強筋主脈初始寬度dm0=0.01 m，高hm0=0.016 m，次脈寬ds0=0.005 m，高hs0=0.016 m，主脈體積約束量0.2V0，次脈體積約束量0.1V0，簡諧激勵力幅值Fa=1 N，材料彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，聲速c=342 m/s，空氣密度ρa=1.21 kg/m3，聲功率參考值W0=10-12W，優(yōu)化頻段ω=0～1 200 Hz。

選4組不同種子作為主脈加強筋初始成長點，見圖5，種子選擇對加強筋分布具有顯著影響。其中圖5(a)為主脈從中心處向基板邊界對稱生長，結構應變能為U1=2.09×10-3U0，U0為基板應變能。圖5(b)為主脈從基板中心附近沿對角線平行方向對稱生長，結構應變能為U1=9.07×10-3U0。圖5(c)為主脈從基板4邊角點向中心區(qū)域對稱生長，結構應變能為U1=6.05×10-3U0。圖5(d)為主脈從基板4邊中點向中心區(qū)域對稱生長，結構應變能為U1=4.14×10-3U0。在主脈相同體積用量約束下，對比主脈脈序形成后的板梁復合結構彈性應變能，具有最小彈性應變能的復合結構即為具有最優(yōu)主脈脈序布局加筋結構。因此，圖5(a)即為遵循彈性應變能最小準則的主脈加強筋最優(yōu)布局。

圖3 四邊簡支方板Fig.3Squareplatewithfoursimplysupportededges圖4 正交加強筋板Fig.4Platestructurewithorthogonallayoutstiffer

圖5　選擇不同種子時四邊簡支方板加強筋主脈分布Fig.5 Stiffer layout of primary vein in four simply supported square plate byselecting various seeds

主脈以基板中心作為生長點，次脈以主脈的剪應力極大值點作為種子位置，在主脈上沿釋放剪應力方向分岔生長，且主、次脈遇到結構簡支邊界后停止生長，見圖6(a)。通過對初始脈序擬合及脈絡分歧點處矢量平衡處理，獲得加強筋分布構型，見圖6(b)。

與基板結構(圖3)相比，仿生優(yōu)化結構(圖6(b))聲輻射功率峰值顯著下降，且向高頻方向移動；與傳統(tǒng)正交加筋結構(圖4)相比，仿生優(yōu)化結構最大聲輻射功率下降約10dB，且在優(yōu)化頻帶內的平均聲輻射功率減少約6.2dB，見圖7。因此，加強筋仿脈序分布構型質量與剛度分布更優(yōu)，相同體積約束下仿生布局設計的減振降噪性能更優(yōu)。

圖6　加強筋仿脈序布局Fig.6 Stiffer layout of bionic vein

圖7　聲輻射功率對比Fig.7 Sound radiation power for comparison

3.2對邊固支開孔方板

正方形薄板邊長L=0.4 m，厚t=0.04 m，板中心開直徑d=0.1 m圓孔，邊界條件為對邊固支，見圖8。傳統(tǒng)正交加筋強化結構見圖9。加強筋主脈初始寬dm0=0.006 m，高hm0=0.01 m，次脈寬為主脈一半，高與主脈相同，主脈體積約束量0.2V0，次脈體積約束量0.1V0。簡諧激勵力分別反向作用于左右邊界中點，幅值Fa=1 N，材料彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，聲速c=342 m/s，空氣密度ρa=1.21 kg/m3，聲功率參考值W0=10-12W，優(yōu)化頻段范圍ω=0～1 200 Hz。

圖8 對邊固支開口方板Fig.8Holedsquareplatewithoppositepinnededges圖9 正交加強筋開口板Fig.9Holedsquareplatewithorthogonallayoutstiffer

按主脈種子數(shù)量及位置的彈性應變能最小準則，主脈種子設置在四個角點及載荷作用處，基板+主脈結構具有最小彈性應變能。主脈從4個角點出發(fā)終止于圓孔處的自由邊界，并與始于載荷處的主脈互相連接；次脈沿主脈上剪應力極大值點生長，終止于固支邊界，見圖10。

圖10　加強筋仿脈序布局Fig.10 Stiffer layout of bionic vein

與傳統(tǒng)正交加筋結構(圖9)相比，仿生優(yōu)化結構(圖10(b))的最大聲輻射功率下降約6.4 dB，其優(yōu)化頻帶內的平均聲輻射功率減少約4.7 dB，見圖11，結構振動噪聲得到有效抑制。因此，仿生布局設計具有更優(yōu)的質量與剛度分布，減振降噪效果顯著。

圖11　聲輻射功率對比Fig.11 Sound radiation power for comparison

4結論

針對板殼加強結構的減振降噪，借鑒葉脈分枝結構特征，利用相似原理，研究抗振板殼結構的加強筋仿生設計方法，結論如下：

(1)葉脈分枝結構具有等級及閉環(huán)特點，對環(huán)境載荷的適應性與結構效能具有相似性。提取葉脈脈序生長的結構力學準則，建立加強筋脈序的生長準則與分枝準則，提出諧振板殼結構加強筋仿生布局的降噪設計方法。

(2)以最小應變能及抑制最大剪應變?yōu)樯L準則，以矢量平衡方程為分歧準則，實現(xiàn)加強筋布局的等級優(yōu)化；加強筋分布主次分明，板梁結構降噪效能增強顯著，且適合加工。

(3)用板殼結構加強筋布局設計的仿生脈序生長算法探索中高頻振動薄壁結構的聲輻射優(yōu)化仿生，可為板梁復合結構動力學仿生設計提供新的研究途徑。

參 考 文 獻

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Bionic approach for stiffener layout on plate and shell structure under harmonic excitation for noise reduction

TENGXiao-yan1,2,JIANGXu-dong1,3,ZOUGuang-ping2,SHIDong-yan1

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China；2. College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China；3. School of Mechanical Engineering, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)

Abstract:A structural mechanical criterion for leaf vein growth was extracted by analyzing the leaf venation morphogenesis. A primary vein growth was governed by the minimal elastic strain energy while a secondary vein growth by the releasing of maximal shear stress. At each junction, leaf veins were oriented and their widths were set according to a vector equilibrium equation. A bionic design model of reinforced plate/shell structure was established with the feature of leaf vein branched structure. By using the similarity principle, a bionic venation growth algorithm was presented to address the stiffener layout design for plate/shell structures to mitigate structural acoustic radiation. Taking typical thin plate structures for instance, the stiffener layout designs were implemented to verify the practicability and effectiveness of the bionic venation growth approach in noise reduction.

Key words:plate/shell structure; bionic venation; harmonic excitation; stiffener layout; noise reduction

中圖分類號:TH535

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.001

通信作者江旭東 男，博士，講師，1977年12月生

收稿日期：2015-04-09修改稿收到日期：2015-08-26

基金項目：國家自然科學基金項目(51505096)；黑龍江省自然科學基金項目(E2015026)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助(HEUCF150701)

第一作者 滕曉艷 女，博士，講師，1980年6月生