劉慧強　段穎妮　樊孝喜　馬遠新

【摘 要】在大學(xué)物理教學(xué)中許多原理和概念復(fù)雜而抽象，數(shù)學(xué)推導(dǎo)也極為繁瑣，尤其用傅立葉變換來分析和解決物理問題，采用傳統(tǒng)的口授筆演、解析推導(dǎo)的教學(xué)方式，令許多學(xué)習(xí)理論物理的學(xué)生望而生畏、晦澀難懂。隨著傳統(tǒng)教學(xué)和新型多媒體教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方式的普及，將基于MATLAB編程的計算機模擬技術(shù)引入物理教學(xué)中，有助于把大量復(fù)雜公式反映的物理圖景以可視化方式展現(xiàn)出來，形成鮮明豐富的物理表象及其變化過程，極大刺激學(xué)生對物理學(xué)興趣，增強對物理現(xiàn)象的認識和理解。

【關(guān)鍵詞】計算機模擬；MATLAB編程；傅立葉變換；計算全息

0 引言

數(shù)字模擬是伴隨著計算機的出現(xiàn)和發(fā)展而逐步形成的一門學(xué)科，是集物理、數(shù)學(xué)和計算機三者相結(jié)合的產(chǎn)物，主要運用計算機對所要研究的復(fù)雜問題進行數(shù)值計算或模擬實驗，一方面，便于我們深刻認識和理解物理現(xiàn)象，另一方面，幫助我們并從中探索和發(fā)現(xiàn)新的物理規(guī)律。如今，自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展的各個分支領(lǐng)域，大量物理問題的求解都離不開計算機的輔助，很多未知的科學(xué)問題都是通過數(shù)字模擬手段進行預(yù)測和可行性分析，其重要性已經(jīng)不言而喻了[1]。

在高等教育中，大學(xué)物理已經(jīng)成為一門普遍的公共基礎(chǔ)課，要求本科生對基本物理原理和規(guī)律有正確和深刻的認識，從而形成辯證的思維方法和科學(xué)的世界觀。然而，很多物理學(xué)的概念和原理通常涉及到較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識，如傅立葉變換、線性代數(shù)、偏微方程等。在傳統(tǒng)的教學(xué)方式中，教師必須通過口授筆演、解析推導(dǎo)的繁復(fù)過程來描述和解釋復(fù)雜的物理過程，令許多學(xué)生感到晦澀難懂、枯燥乏味，漸漸失去對物理學(xué)的興趣。如今隨著多媒體教學(xué)手段的介入和輔助授課，使得許多復(fù)雜和抽象的物理原理和實驗可以通過計算機模擬或數(shù)字模擬的手段來幫助學(xué)生進行理解和掌握相關(guān)知識，同時極大地刺激本科生對物理學(xué)的廣泛興趣，對日后從事相關(guān)科研工作奠定一個良好的基礎(chǔ)和技能。其中，基于MATLAB編程的數(shù)字模擬手段日益成為大學(xué)物理教學(xué)工作者首選的軟件平臺[2]。

MATLAB是美國Mathworks公司于1984年推出的一種集數(shù)值計算、符號預(yù)算、可視化建模、仿真和圖形處理等多種功能于一體的優(yōu)秀圖形化軟件。MATLAB這個名字由Matrix和Laboratory兩詞的前三個字母組合而成，即“矩陣實驗室”（Matrix Laboratory），也是一種以矩陣運算為基礎(chǔ)的交互式程序語言，具有以下特點：一是，簡捷和智能化，MATLAB適應(yīng)科技專業(yè)人員的思維方式和書寫習(xí)慣，它用解釋方式工作，鍵入程序后可立即得到結(jié)果，人機交互性能好，它不要求使用者像使用C或語言一樣，先編寫源程序，然后對其進行編繹、連接，最終形成可執(zhí)行文件，這無疑使得編程和調(diào)試效率大大提高。二是，功能強大，包括數(shù)值計算和符號計算，計算結(jié)果和編程可視化，數(shù)學(xué)和文字統(tǒng)一處理。三是，MATLAB具有豐富的內(nèi)部函數(shù)，MATLAB程序是由主程序和各種工具包組成的，其中主程序包含了數(shù)百個內(nèi)部核心函數(shù)，能適應(yīng)不同使用者的需要，當(dāng)前已成為美國和其他發(fā)達國家中大學(xué)教學(xué)和科學(xué)研究中必不可少的工具[3]。

為了進一步分析和探討基于MATLAB編程的計算機模擬在物理教學(xué)中的應(yīng)用和重要意義，本文將利用MATLAB編程來對某些光學(xué)現(xiàn)象及其物理過程進行了數(shù)字模擬，展示出采用MATLAB編程的簡捷直觀的圖形化方式來加深學(xué)生對物理原理和概念的認識和理解，從而揭示其重要的現(xiàn)實意義和巨大的潛在價值，相信一定會成為現(xiàn)代物理教學(xué)中不可或缺的輔助工具。

1 利用MATLAB編程模擬物理光學(xué)中的衍射規(guī)律及應(yīng)用

1.1 利用離散快速傅立葉變換模擬夫瑯和費衍射光強分布的數(shù)字模擬

傅立葉變換在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，傅立葉分析方法使得許多復(fù)雜的物理問題得到了簡化和分解，從而提供了一條有效而普遍的解決方案，在光學(xué)、電學(xué)、熱力學(xué)等眾物理學(xué)多分支領(lǐng)域中日益發(fā)揮著約越來越重要作用。在衍射光學(xué)中，我們知道夫瑯和費衍射場的強度分布就等于衍射屏函數(shù)的功率譜[4]，可以直接將衍射屏進行傅立葉變換，然后處理得到衍射圖樣。根據(jù)衍射光學(xué)可知，夫瑯和費衍射場的復(fù)振幅分布U（x，y）在空域中是個復(fù)雜的卷積公式，其形式如下：

因此，在空域中復(fù)雜的夫瑯和費衍射光場的復(fù)振幅分布公式就可以利用MATLAB編程進行直觀的圖形化模擬，衍射屏的生成可以直接由MATLAB矩陣運算生成，也可利用Windows下的畫圖工具生成，計算機模擬流程圖如圖1所示：

圖1 夫瑯和費衍射的數(shù)字模擬流程圖

針對一些常見衍射光屏的夫瑯和費衍射光強分布的計算機模擬結(jié)果如圖2所示：首先，從圖2（a）和（b）可以明顯看出圓孔的艾里斑，且孔徑越小，衍射現(xiàn)象越明顯。其次，從圖2（c）和（d）明顯看出方孔的衍射花樣分布，且衍射光強的分布方向沿著孔徑直邊的法線方向擴展，孔徑越小，衍射越明顯。最后，圖2（e）和（f）模擬出一些有趣的字母和符號形狀的衍射屏的夫瑯和費衍射光強分布，其空間矢量的分布與孔徑大小和形狀的變化規(guī)律，和物理推導(dǎo)公式完全吻合，從而正確直觀地展現(xiàn)出夫瑯和費衍射的普遍物理性質(zhì)和規(guī)律。

圖2 不同大小孔徑衍射屏的夫瑯和費衍射光強分布

（a）和（b）分別是圓孔和它對應(yīng)的衍射光強的分布；（c）和（d）分別是方孔和它對應(yīng)的衍射光強的分布；（c）和（d）不同字母和符號形狀的衍射屏的夫瑯和費衍射光強分布。

1.2 菲涅耳衍射光場的傳播和邊緣增強效應(yīng)的數(shù)字模擬

根據(jù)公式（5）和（6），利用快速離散傅立葉變換結(jié)合MATLAB編程對二維衍射屏-Lena圖像進行菲涅耳衍射光場傳播的計算機模擬，其結(jié)果如圖3所示，可以形象直觀地看出菲涅耳衍射傳播規(guī)律，從（b）到（f）依次隨著傳播距離Z的不斷增大，其邊緣增強效應(yīng)越發(fā)顯著，邊緣振蕩不斷向外擴展，且展寬不斷增大，完全符合并且驗證了菲涅耳衍射傳播的物理性質(zhì)。

圖3 Lena圖像的菲涅耳衍射光場的強度分布隨傳播距離的變化情況

（a）原始Lena圖像；（b）Z=1m；（c）Z=2m；（d）Z=4m；（e）Z=8m；（f）Z=16m.

1.3 采用MATLAB編程制作傅立葉變換計算全息圖

利用光波的數(shù)學(xué)描述，通過計算機對想象中的物體形成模擬干涉圖，并將其繪制或復(fù)制在透明膠片上，這種計算機合成的全息圖稱為計算全息圖（Computer-Generated Hologram：CGH）[5]。因此，無需實物，只需知道該物體的數(shù)學(xué)表達式，即可用計算全息記錄下物光波，從而再現(xiàn)出二維或三維虛構(gòu)像，這樣可以幫助學(xué)生有效理解全息的抽象制作過程，直接在計算機上觀察和感受全息的成像原理和成像特點，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神，制作自已感興趣的不同傅立葉變換全息圖。下面，我們通過MATLAB編程制作一幅傅立葉變換計算全息圖，對復(fù)數(shù)波面采用迂回相位編碼方法，直接對抽樣點上的復(fù)數(shù)波面的振幅和相位進行編碼，其具體流程如圖4所示：

圖4 采用MATLAB編程制作傅立葉變換計算全息圖的流程

從圖5可以明顯看出其特點是被記錄的復(fù)數(shù)波面是物波函數(shù)的傅立葉變換，由于這種全息圖再現(xiàn)的是物波函數(shù)的傅立葉譜，所以要得到物光波本身，必須再通過一次傅立葉逆變換，這與光學(xué)傅立葉變換全息圖原理是一致的。

圖5 光字屏傅立葉變換計算全息的制作

（a）光字衍射屏；（b）傅立葉變換全息圖；（c）再現(xiàn)所編碼的全息圖.

2 結(jié)論

綜上所述，我們可以從不同的應(yīng)用實例看出，結(jié)合MATLAB編程的計算機模擬技術(shù)給復(fù)雜冗長的物理學(xué)公式和原理的講解中，提供了一個直觀清晰的圖形化說明，尤其對抽象的物理概念賦予了更豐富的感性認識，使得學(xué)生再學(xué)習(xí)過程中更容易同復(fù)雜的公式產(chǎn)生共鳴，刺激物理學(xué)習(xí)的興趣和對抽象物理概念的理解。因此，在大學(xué)普通物理教學(xué)中引入MATLAB計算機模擬技術(shù)正日益受到重視和普及。另外，學(xué)生們利用MATLAB可以對一些物理問題建立數(shù)學(xué)模型，給出清晰的圖像化解釋的過程中，可以極大的培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和從模擬中發(fā)現(xiàn)問題，拓展想法，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)物理規(guī)律，為今后的科研工作打下良好的基礎(chǔ)。最后，與Basic、C和Fortran相比，用MATLAB軟件對物理實驗的模擬，只需要用數(shù)學(xué)方式表達和描述，省去了大量繁瑣的編程過程。基于以上論述，利用和推廣MATLAB編程的計算機模擬技術(shù)必將會其成為我們大學(xué)物理教學(xué)過程中不可或缺的有力工具和從事高校科研的有利平臺。

【參考文獻】

[1]李曉莉，張建飛.計算物理的教學(xué)改革研究與實踐[J].物理通報，2010（8）：57.

[2]胡守信，李柏年.基于MATLAB的數(shù)學(xué)實驗[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[3]張錚，楊文平，石博強，李海鵬.MATLAB程序設(shè)計與實例應(yīng)用[M].北京：中國鐵道出版社，2003.

[4]蘇顯渝，李繼陶.信息光學(xué)[M].科學(xué)出版社，1999.

[5]葉偉國，余國祥.大學(xué)物理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[責(zé)任編輯：王楠]