柳向東，王星蕊

暨南大學經濟學院，廣東廣州 510632

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最小熵鞅測度下的半馬氏市道輪換利率模型

柳向東，王星蕊

暨南大學經濟學院，廣東廣州 510632

摘要：討論零息債券價格演變，基于Ho-Lee模型，應用無套利原理和鞅測度方法，建立離散時間半馬氏過程控制的市道輪換下的二叉樹期限結構模型．運用最小熵鞅測度處理上述模型，并在馬氏和半馬氏市道下給出模型在歐式債券期權定價方面的應用．

關鍵詞：應用統(tǒng)計數(shù)學；Ho-Lee模型；無套利方法；二叉樹模型；利率期限結構；最小熵鞅測度；債券期權定價

利率作為證券定價的核心變量之一，如何對其進行有效預測是資產定價的關鍵．經典的利率模型包括Ho-Lee模型、Vasicek模型、CIR模型和Hull-White模型[1-4]．大量研究發(fā)現(xiàn)，經濟周期或貨幣政策的變化會導致利率在不同時期呈現(xiàn)不一樣的變化，經濟狀態(tài)的改變應該引起模型參數(shù)的一個突變，市道輪換模型便成為一種很具吸引力的建模方法．Goldfeld等[5]將市道輪換回歸模型用于描述非線性經濟數(shù)據(jù)；Hamilton[6]在經濟和計量經濟學研究中推廣了市道輪換時間序列模型．此后，探討如何使用市道輪換模型模擬經濟和金融數(shù)據(jù)引起人們廣泛重視．市道輪換模型在金融衍生品、利率和投資組合優(yōu)化中的應用，很大一部分集中于馬氏輪換模型[7-11]．盡管簡單的齊次馬氏輪換模型受歡迎，仍存在許多缺點，主要表現(xiàn)在：① 由于馬氏過程的無記憶性，在現(xiàn)實世界的數(shù)據(jù)中，馬氏輪換模型并不合理[12]；② 對于輪換過程，常數(shù)輪換概率對于利率數(shù)據(jù)是不現(xiàn)實的[13]；③ Diebold等[14]記錄表明輪換過程對經濟周期應該呈現(xiàn)持續(xù)性的依賴，而馬氏輪換模型不能體現(xiàn)此特征．而以上缺點都可通過半馬氏輪換模型輕松處理．此外，馬氏過程是半馬氏過程的一個子類，半馬氏輪換模型應該至少表現(xiàn)為馬氏輪換模型，同時復雜性幾乎沒有增加，并且Hong 等[15]已經證明利率數(shù)據(jù)通常拒絕馬氏性，然而它在半馬氏輪換方向上是有意義的，這些原因都推動了使用半馬氏輪換模型來替代馬氏輪換過程．現(xiàn)有文獻主要在連續(xù)時間半馬氏市道輪換框架下進行研究[12,16-17]，很少關注離散時間框架下的期權定價問題．

本研究探討離散時間半馬氏市道輪換下的利率期限結構．采用金融數(shù)學的無套利理論與方法，將Ho-Lee模型推廣至離散時間半馬氏市道輪換的框架下，對債券和債券期權進行定價．首先回顧離散時間半馬氏過程，介紹一個存在市道輪換的市場模型，討論無套利概念及在離散時間半馬氏市道輪換框架下其與鞅測度的關系，通過選取最小熵鞅測度處理市場的不完備性；然后討論市道輪換下路徑獨立性的概念，給出模型和測度的一個應用，在馬氏和半馬氏輪換框架下定價歐式債券期權．

1半馬氏市道輪換利率模型

離散時間期限結構模型主要研究直接模擬利率和模擬零息債券的演化．本文重點討論后者．

1.1二叉樹市道輪換期限結構模型的框架

考慮建立在概率空間(Ω，F(xiàn)，)上的1個離散時間金融市場．假設金融交易只能發(fā)生在固定的時間0，1，2，…，T*， 記T={0，1，…，T*}． 對于有限數(shù)m，定義集合E={1,2,…，m}． 假設概率空間上有一對取值于E×N的過程(Xn,Tn)，(Xn,Tn)是半馬氏核Q的齊次馬氏更新過程，即對所有的n,Xn,j和t， 有

定義一個到期日為T≤T*的零息債券是在到期日T產生一單位貨幣的金融產品．用τ表示t時刻距離零息債券到期日的時間，即τ=T-t． 記Pt(τ)為t時刻距離到期日時間為τ的零息債券的價格．假設給定一個初始期限結構，即對所有的τ， 給定Pt(τ)的一組值．對任意的τ和狀態(tài)i∈E， 假設存在兩個實值ui(τ)和di(τ)， ui(τ)和di(τ)都是嚴格為正的，且ui(τ)>di(τ)． 記ui=(ui(1),ui(2), …, ui(T*))， di=(di(1), di(2), …, di(T*))． 引入規(guī)模為T*的一個隨機過程ζt， 規(guī)定)=1-和dYt分別為Yt狀態(tài)下向上和向下游走的倍數(shù)． 該過程描述了從t時刻到t+1時刻期限結構的演化，若ζt+1=uYt， 稱期限結構向上移動，若ζt+1=dYt， 則稱期限結構向下移動，假設在給定Ft的條件下， ζt+1與Yt+1是條件獨立的，即對于任意的t≥1，記根據(jù)過程Y的結構， 有vtj=

【證】記qij(t)=則Qij(t)=為半馬氏核； Hi(t)=為過程在狀態(tài)i逗留時間的分布函數(shù)；為時刻0從狀態(tài)i出發(fā)，半馬氏鏈在時刻t跳躍到狀態(tài)j的概率；(Xk=j, Tk=t)為半馬氏鏈在時刻t跳躍到狀態(tài)j的概率；

若下一個交易時刻經濟狀態(tài)發(fā)生跳躍，即j≠Yt， 則

vjt=

若下一個交易時刻經濟狀態(tài)沒有發(fā)生跳躍，即j=Yt， 則

vjt=

1.2Ho-Lee模型的拓展

圖1　半馬氏市道輪換下的二叉樹Fig.1　Binary tree under semi-Markov regime switching

1.3無套利框架下的利率結構

套利策略是指在沒有風險、沒有初始投資的情況下得到確定利潤的策略．市場上沒有套利策略稱為無套利條件．下面證明無套利意味著模型參數(shù)滿足一些條件．

引理1無套利表明，對于每個τ和i∈E， ui(τ)>1>di(τ)．

定理2無套利意味著滿足下列條件的過程pt存在：

對于每個t， 0

【證】 考慮1個單期模型．假設給定零息債券價格Pt(·)的結構，構建一個投資組合：包含1個到期日為T+1的零息債券(距離到期日的時間為τ+1)和H個到期日為T″+1的零息債券(距離到期日的時間為τ″+1)．

在時刻t， 投資組合的價值為W(t)=Pt(τ+1)+HPt(τ″+1)．

在時刻t+1， 根據(jù)本研究建立的模型，投資組合能且只能取2個值.

現(xiàn)選取一個H使其滿足無論哪個事件發(fā)生，投資組合的值都是相同的．這意味著投資組合在這段時間內實際上是無風險資產，因此，這個投資組合應該與到期日為T+1的零息債券有相同的回報，由此引出2個條件

uYt(τ)Pt(τ+1)+HuYt(τ″)Pt(τ″+1)=

dYt(τ)Pt(τ+1)+HdYt(τ″)Pt(τ″+1)

(1)

W(t)=Pt(1)W(t+1)

(2)

式(2)可改寫為

Pt(τ+1)+HPt(τ″+1)=

dYt(τ)Pt(τ+1)+HdYt(τ″)Pt(τ″+1)

(3)

由式(1)和式(3)具有相同的H值，故可得

ptuYt(τ″)+(1-pt)dYt(τ″)=1．

(4)

除了概率過程pt隨著時間變化，最后的結果與Ho-Lee模型相同．過程pt的取值依賴于Yt而不依賴于τ， 對于Yt的每個可能值都有ptuYt(τ)+(1-pt)dYt(τ)=1．

推論1

Pt(τ″+1)= Pt(1)[ptuYt(τ″)Pt(τ″+1)Pt(1)+

(5)

由此說明t時刻零息債券的價值僅僅是t+1時刻可能價值折現(xiàn)的平均．

1.4最小熵鞅測度

在套利策略定義中，有關期望是在物理概率測度之下取得的，為建立鞅概率測度，需用到等價測度的概念．

(6)

則對于所有的t, Dt>0, E[Dt]=1且

這些結論允許Dt可以作為一個密度過程，這個過程將被用于介紹等價測度．

Pt(τ+1)

定理4過程pt給出在等價鞅測度*下，期限結構在t時刻向上移動的概率，即pt=]．

本研究采用最小熵鞅測度(minimal entropy martingale measure， MEMM)的方法確定1個風險中性輪換概率矩陣．實際上，對于不完備市場中的期權定價，MEMM是一種受歡迎的方法，其基本思想是選取一個等價的鞅測度使這個等價鞅測度和物理概率測度之間的相對熵最小，即兩個概率測度之間的距離最?。?/p>

如果在所有等價鞅測度的集合中，測度Q使相對熵最小，則稱Q為最小熵鞅測度．

定理5最小熵鞅測度的特征為

(7)

這是一個有約束的最優(yōu)化問題，應用拉格朗日乘數(shù)法.令

(8)

根據(jù)式(8)及對λ和γ的偏導數(shù)得

exp(1+λ)

(9)

exp(1+λ)

(10)

混合式(9)和式(10)得

exp(-γdY0)=

(11)

由歸納法得拉格朗日乘數(shù)的表達式為

1.5二叉樹模型的拓展

經典Ho-Lee模型構造的二叉樹期權定價中，假設零息債券的價格函數(shù)從1個狀態(tài)到另1個狀態(tài)的演化只依賴向上運動的數(shù)量，不依賴發(fā)生的順序．根據(jù)路徑獨立性得到向上和向下參數(shù)的明確表達式．本節(jié)旨在討論市道輪換下的路徑獨立性．

【證】 對于第1條路徑有

令上述兩式相等得

(12)

(13)

此結果恰好類似經典的Ho-Lee模型．定義

(14)

將式(14)代入式(13)得1個簡單的差分方程．已知uYt(0)=1， 用迭代法得uYt和dYt的解

(15)

f(pj)=0

f(pj)= p2j(1-δj)(1-δτj)(pi+(1-pi)δτ+1i)+

(16)

【證】 將模型用于第1條路徑得

將模型用于第2條路徑得

Pt+3(τ)=

令上述兩式相等得

(17)

根據(jù)式(15)得式(18)，其對每個τ都成立

(18)

重新排序各項即得期望的結果．

如果固定pi、 δi和δj， 方程(16)得到一個關于pj的二次方程系統(tǒng)(對于每個τ)．因為給定的這些方程的系數(shù)依賴于τ， 所以它們是不相同的．一個解pj∈(0,1)是否能同時解出所有方程尚不清楚．那么是否可以找到一個條件，使得在這個條件下，解pj∈(0,1)存在呢？下面定理可提供部分答案．

定理7假設δi=δj， 則給定pi， 方程(16)的系統(tǒng)至少存在一個解pj．

【證】 固定δi=δj， 則對每個τ， 給定pi(pi∈(0,1))的任何值，都至少存在一個解pj且pj=pi， 從方程(18)可見，這是顯然的．

盡管有定理7，情況仍不理想．因為在δi≠δj時，二次方程解的存在性仍不清楚．事實上，唯一保證可行的模型是pi=pj且δi=δj時的模型，此時對于所有的(i, j)和τ， 都有ui=uj且di=dj， 即期限結構在所有狀態(tài)的演化都由相同的值控制，這就如同只有1種狀態(tài)．總之，在市道輪換存在時，唯一保證可行的模型是每個狀態(tài)的期限結構都相同的模型，然而此時整個市道輪換結構變得沒有意義．為使市道輪換存在實際意義，在存在市道輪換時不能應用路徑獨立的條件．

2數(shù)值舉例

本節(jié)主要提供一些在馬氏和半馬氏輪換情形下模型應用的簡單例子，目的是在這些框架下使用模型去定價一些資產．

建立四周期(包括零時)兩狀態(tài)模型．假設Y0=1, K0=3， 如經典的Ho-Lee模型，必須指定一些參數(shù)(即本例中每個狀態(tài)的值)和初始期限結構．對于輪換的Ho-Lee模型，給出參數(shù)值為p1=0.6, p2=0.5, δ1=0.97, δ2=0.95， 零息債券的一組初始價格值為P0(0)=1.000, P0(1)=0.952, P0(2)=0.878, P0(3)=0.823． 目標是在到期日為t=3的零息債券上定價到期日為t=2， 行權價為s=0.94的1個歐式期權．本研究將在馬氏和半馬氏框架下做到這一點，且選擇最小熵鞅測度作為定價測度．根據(jù)選取的參數(shù)值，得到零息債券的價格演化如圖2．圖2僅呈現(xiàn)了前3個時期，最后1個時期債券的價格等于1．

圖2　零息債券價格的演化Fig.2　Evolution of zero-coupon bond prices

2.1馬氏輪換框架

考慮1個兩狀態(tài)馬氏鏈，轉移概率矩陣為

定義qij(t)=因為這個量完全定義了1個半馬氏核．若qij(t)滿足

下面期權價格樹的某些分枝上標記的值是從1個節(jié)點到下1個節(jié)點的輪換概率，僅標記了本例中有用的值．

圖3　馬氏輪換框架下債券期權價格的演化Fig.3　Evolution of bond option prices under Markov regime switching framework

2.2半馬氏輪換框架

類似馬氏輪換框架，記qij(t)=

對于時間的分布，本研究使用1個離散時間威布爾分布[19]，根據(jù)文獻[19]有

qij(0)=0 且

定義常數(shù)α12=0.2, β12=0.5, α21=0.4, β21=0.6． 使用最小熵鞅測度的特征和與馬氏情形下相同的后向誘導法，得期權價格樹如圖4．

圖4　半馬氏輪換框架下債券期權價格的演化Fig.4　Evolution of bond option prices under semi-Markov regime switching framework

由圖3和圖4可知，馬氏輪換框架和半馬氏輪換框架得到的期權價格有很大區(qū)別，這歸因于輪換概率不同．

選取最小熵鞅測度作為定價測度時，半馬氏輪換有以下優(yōu)點：① 馬氏輪換過程具有無記憶性，只與當前期的狀態(tài)有關. 半馬氏輪換不需要無記憶性，使離散時間期限結構模型更貼近現(xiàn)實.② 輪換過程中轉移狀態(tài)相同時，馬氏輪換保持常數(shù)輪換概率，而半馬氏輪換的概率與狀態(tài)持續(xù)時間有關.③ 實證表明輪換過程對經濟周期呈持續(xù)性依賴，馬氏輪換模型不能體現(xiàn)這個特征，而半馬氏輪換中通過半馬氏過程對后向回復時間的依賴充分體現(xiàn)了這一點．

結語

本研究采用金融工程的無套利理論與方法，分析半馬氏市道輪換條件下基于利率期限結構的債券期權定價問題，提出的模型使離散時間期限結構模型更貼近現(xiàn)實．所建立模型與無套利概念相一致，且無套利與鞅測度概念的聯(lián)系得到說明．通過最小熵鞅測度來處理市場的不完備性，給出這個測度的一個明顯特征，這個特征在模型的實際應用中非常有用．本模型可以推廣到三叉樹模型的情形，同時可以討論帶跳的零息債券定價問題.

引文：柳向東，王星蕊. 最小熵鞅測度下的半馬氏市道輪換利率模型[J]. 深圳大學學報理工版，2016，33(2)：154-163.

參考文獻/ References：

[1] Ho T S Y, Lee S B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims[J]. Journal of Finance, 1986, 41(5): 1011-1029.

[2] Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure[J]. Journal of Financial Economics, 1977, 5(2):177-188.

[3] Cox J, Ingersoll Jr J , Ross S , et al. A theory of the term structure of interest rates[J]. Econometrica, 1985, 53(2): 385-408.

[4] Hull J, White A. Pricing interest-rate derivative securities[J]. Review of Financial Studies, 1990, 3(4): 573-592.

[5] Goldfeld S M, Quandt R E. A Markov model for switching regressions[J]. Journal of Econometrics, 1973, 1(1): 3-16.

[6] Hamilton J D. A new approach to economic analysis of non-stationary time series and the business cycle[J]. Econometrica, 1989, 57(2): 357-384.

[7] Di Masi G B, Kabanov Y M, Runggaldier W J, et al. Mean-variance hedging of options on stocks with Markov volatilities[J]. Theory of Probability and Its Applications, 1994, 39(1): 211-222.

[8] Elliott R J, Van der Hoek J. An application of hidden Markov models to asset allocation problems[J]. Finance and Stochastics, 1997, 1(3): 229-238.

[9] Elliott R J, Chan L, Siu T K, et al. Option pricing and Esscher transform under regime switching[J]. Annals of Finance, 2005, 1(4): 423-432.

[10] Jobert A, Rogers L C G. Option pricing with Markov-modulated dynamics[J]. Siam Journal on Control and Optimization, 2004, 44(6): 2063-2078.

[11] Kijima M, Yoshida T. A simple option pricing model with Markovian volatilities[J]. Journal of the Operations Research Society of Japan, 1993, 36(3): 149-166.

[12] Silvestrov D, Stenberg F. A pricing process with stochastic volatility controlled by a semi-Markov process[J]. Communications in Statistics: Theory and Methods, 2004, 33(3): 591-608.

[13] Dahlquist M, Gray S F. Regime switching and interest rates in the European monetary system[J]. Journal of International Economics, 2000, 50(2): 399-419.

[14] Diebold F, Rudebusch G. A nonparametric investigation of duration dependence in the American business cycle[J]. Journal of Political Economy, 1990, 98(3): 596-616.

[15] Hong Yongmiao, Li Haitao. Nonparametric specification testing for continuous-time models with applications to term structure of interest rates[J]. Review of Financial Studies, 2005, 18(1): 37-84.

[16] D’Amico G, Manca R, Salvi G, et al. A semi-Markov modulated interest rate model[J]. Statistics & Probability Letters, 2013, 83(9): 2094-2102.

[17] Ghosh M K, Goswami A . Risk minimizing option pricing in a semi-Markov modulated market[J]. Siam Journal on Control & Optimization, 2009, 48(3):1519-1541.

[19] Limnios N, Barbu V S. Semi-Markov chains and hidden semi-Markov models toward applications[M]. New York, USA: Springer-Verlag, 2008.

[20] Chryssaphinou O, Karaliopoulou M, Limnios N, et al. On discrete-time semi-Markov chains and applications in word occurrences[J]. Communications in Statistics: Theory and Methods, 2008, 37(8):1306-1322.

[21] D’Amico G, Janssen J, Manca R, et al. European and American options: the semi-Markov case[J]. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 2009, 388(15): 3181-3194.

[22] Ratanov N. Option pricing under jump-diffusion processes with regime switching[J]. Methodology and Computing in Applied Probability, 2015: 1-17.

[23] 柳向東, 何遠蘭. 二叉樹模型的測度變換及應用[J]. 暨南大學學報自然科學版, 2010, 31(1):4-6.

Liu Xiangdong, He Yuanlan. The measure transformation of the binomial model and its application[J]. Journal of Jinan University Natural Science, 2010, 31(1):4-6.(in Chinese)

[24] 柳向東, 唐穎. 半馬氏過程框架下的期權定價[J]. 暨南大學學報自然科學版, 2011, 32(1):10-13.

Liu Xiangdong, Tang Ying. Option pricing under Semi markov process[J]. Journal of Jinan University Natural Science, 2011, 32(1):10-13.(in Chinese)

[25] 柳向東, 郭慧. 基于市道輪換模型的SHIBOR市場利率[J]. 深圳大學學報理工版, 2015, 32(3): 317-323.

Liu Xiangdong, Guo Hui. Research of market interest rates of the SHIBOR based on regime switching model[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2015, 32(3):317-323.(in Chinese)

【中文責編：方圓；英文責編：木南】

Semi-Markov regime switching interest rate models under minimal entropy martingale measure

Liu Xiangdong?and Wang Xingrui

College of Economics, Jinan University, Guangzhou 510632, Guangdong Province, P.R.China

Abstract：In this paper, we discussed the evolution of the prices of zero-coupon. On the basis of Ho-Lee model, a discrete time regime switching binomial model of the term structure where the regime switches are governed by a discrete time semi-Markov process is introduced by applying the arbitrage free principle and martingale measure method. This paper use minimal entropy martingale measure (MEMM) to deal with the above model, and give an application to the pricing of a European bond option in Markov and semi-Markov regime switching framework．

Key words：application of statistical mathematics; Ho-Lee model; arbitrage free method; binary tree model; term structure of interest rate; minimal entropy martingale measure; bond option pricing

作者簡介：柳向東(1973—)，男，暨南大學教授、博士生導師. 研究方向：概率統(tǒng)計在經濟金融領域的應用研究. E-mail: tliuxd@jnu.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金資助項目(71471075)；教育部人文社會科學研究資助項目(14YJAZH052)

中圖分類號：O 211.9

文獻標志碼：A

doi：10.3724/SP.J.1249.2016.02154

Received：2015-11-08；Accepted：2016-01-10

Foundation：National Natural Science Foundation of China(71471075) ; Humanities and Social Science Foundation of Ministry of Education of China(14YJAZH052)

? Corresponding author：Professor Liu Xiangdong. E-mail: tliuxd@jnu.edu.cn

Citation：Liu Xiangdong，Wang Xingrui. Semi-Markov regime switching interest rate models under minimal entropy martingale measure[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2016, 33(2): 154-163.(in Chinese)

【應用數(shù)學 / Applied Mathematics】