柯希均

（湖北咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 咸寧 437100）

基于GARCH模型的股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量

柯希均

（湖北咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 咸寧 437100）

國(guó)內(nèi)外預(yù)測(cè)股指股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)基本采用對(duì)波動(dòng)性估計(jì)具有精度、準(zhǔn)確度和可信度較高的GARCH模型族。本文用滬深300和標(biāo)普500兩組指數(shù)構(gòu)建GARCH（1，1）模型，計(jì)算兩組指數(shù)的VaR值。將GARCH（1，1）模型同相應(yīng)EGARCH、TARCH模型進(jìn)行比較，并結(jié)合所計(jì)算出的VaR值，揭示兩地金融資本市場(chǎng)的差異。

GARCH模型；風(fēng)險(xiǎn)度量；VaR

GARCH模型是一個(gè)為金融時(shí)間序列量體訂做的回歸模型，可以有效地追蹤金融時(shí)間序列收益率的動(dòng)態(tài)方差，特別適用于波動(dòng)性的分析和預(yù)測(cè)，這樣的分析對(duì)投資者的決策能起到非常重要的指導(dǎo)性作用。大量實(shí)證研究表明，金融市場(chǎng)收益率分布具有“尖峰厚尾”的特性，如果使用正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)會(huì)損失大量尾部信息。鑒于金融時(shí)間序列的波動(dòng)集聚性和分布的“尖峰厚尾”性，Nelson和Hamilton分別用廣義誤差分布（GED）與t分布來(lái)調(diào)整尾部的偏差；而VaR（Value at Risk：在險(xiǎn)價(jià)值）的提出，使市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)能夠更為直觀地表現(xiàn)出來(lái)。本文用GED分布來(lái)擬合GARCH（1，1）模型，并計(jì)算VaR（Value at Risk：在險(xiǎn)價(jià)值）來(lái)度量金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。

一、文獻(xiàn)綜述

1、GARCH模型

自從Engle（1982）提出ARCH模型分析時(shí)間序列的異方差性以后，T·Bollerslev（1986）又提出了GARCH模型。GARCH模型是在ARCH模型基礎(chǔ)上對(duì)方差的表現(xiàn)形式進(jìn)行了直接的線性擴(kuò)展，彌補(bǔ)了在優(yōu)先樣本下ARCH模型階數(shù)過(guò)大所帶來(lái)的計(jì)算效率和精度上的不足。

為了衡量收益率波動(dòng)的非對(duì)稱性，Glosten、Jagannathan與Runkel（1989）提出了GJR模型，在條件方差方程中加入負(fù)沖擊的杠桿效應(yīng)，但仍采用正態(tài)分布假設(shè)。

Nelson（1991）提出了EGARCH模型。Engle等（1993）利用信息反應(yīng)曲線分析比較了各種模型的杠桿效應(yīng)，認(rèn)為GJR模型最好地刻畫了收益率的杠桿效應(yīng)。

Glosten、Jagannathan與Runkel（1993）分析比較了各種GARCH-M模型，指出不同的模型設(shè)定會(huì)導(dǎo)致條件方差對(duì)收益率產(chǎn)生正或負(fù)的不同影響。

2、VaR

G30集團(tuán)在研究衍生品種的基礎(chǔ)上，于1993年發(fā)表了標(biāo)題為《衍生產(chǎn)品的實(shí)踐和規(guī)則》的報(bào)告，提出了度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的VaR（Value at Risk：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值）。

J.P.Morgan推出Risk Metrics風(fēng)險(xiǎn)控制模型，主要用于計(jì)算VaR。

Philippe Jorion（1996）詳細(xì)地介紹了VaR的定義、一般計(jì)算方法，并總結(jié)了各種計(jì)算VaR方法的特點(diǎn)。通過(guò)實(shí)證分析，對(duì)比正態(tài)分布和t分布下的靜態(tài)模型計(jì)算VaR值的區(qū)別。

二、理論依據(jù)

1、GARCH模型原理

一般的GARCH模型可以表示為：

其中，xt是1×（k+1）維外生變量向量，酌是（k+1）×1維系數(shù)向量。式（1）給出的均值方程式是一個(gè)帶有誤差項(xiàng)的外生變量函數(shù)。由于是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測(cè)方差，所以被稱作條件方差，式（1）也被稱作條件方差方程，包含3個(gè)組成部分：常數(shù)項(xiàng)琢0：用均值方程的擾動(dòng)項(xiàng)平方的滯后來(lái)度量從前期得到的波動(dòng)性的信息。（ARCH項(xiàng)），上一起的預(yù)測(cè)方差（GARCH項(xiàng)）。

2、VaR模型原理及估計(jì)方法

VaR方法的核心在于描述金融時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分布或概率密度函數(shù)。通常我們以價(jià)格或指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率序列為描述對(duì)象。若使用價(jià)格、指數(shù)序列，則我們描述該金融時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分布過(guò)程中就會(huì)受到一定的限制，因?yàn)閮r(jià)格或指數(shù)的取值范圍為[0，+∞]。另外，對(duì)數(shù)收益率Rt的取值范圍位于整個(gè)實(shí)數(shù)域，且多期對(duì)數(shù)收益率是單期對(duì)數(shù)收益率的和。

考慮一個(gè)證券組合，假定P0為證券組合的初始價(jià)值，R是持有期內(nèi)的投資回報(bào)率，在期末證券組合的價(jià)值為：P=P0（1+R）。

假定回報(bào)率R的期望和波動(dòng)性（通常用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述）分別為μ和滓。若在某一置信水平琢下，證券組合的最低價(jià)值為P*=P0（1+R*），則根據(jù)VaR的定義，證券組合偏離均值的非預(yù)期損失為VaR，公式為：

VaR琢=E（P）-P*=P0（1+μ）-P0（1+R*）=P0（μ-R*）

3、VaR估計(jì)的方差—協(xié)方差法

方差一協(xié)方差方法是基于對(duì)數(shù)收益服從正態(tài)分布的假設(shè)，在此基礎(chǔ)上用歷史數(shù)據(jù)來(lái)度量均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)等主要參數(shù)的方法。

三、實(shí)證分析

1、數(shù)據(jù)選取

本文選取的研究對(duì)象：滬深300指數(shù)開(kāi)盤價(jià)，樣本區(qū)間為2011年4月1日至2014年1月10日；美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)開(kāi)盤價(jià)，樣本區(qū)間為2013年8月19日至2016年8月18日。鑒于兩地股市開(kāi)盤日期的不一致，因此，將樣本區(qū)間調(diào)整為兩地共同開(kāi)盤日的日收盤價(jià)，調(diào)整后樣本個(gè)數(shù)同為712。

數(shù)據(jù)來(lái)源于大智慧行情軟件，使用軟件為Eviews7.1及Excel2010。

2、描述性統(tǒng)計(jì)

由時(shí)序圖可以看出，兩組時(shí)間序列顯然都為非平穩(wěn)序列。對(duì)日開(kāi)盤價(jià)取對(duì)數(shù)收益率Rt，其表達(dá)式為：Rt=lnPtlnPt-1。Pt為指數(shù)當(dāng)日開(kāi)盤價(jià)，Pt-1為指數(shù)前一日開(kāi)盤價(jià)。

（1）滬深300和標(biāo)普500的偏度均與0有一定差異，拒絕均值為0的原假設(shè)，不符合正態(tài)分布的特征。

圖1 滬深300指數(shù)日開(kāi)盤價(jià)時(shí)序圖

圖2 標(biāo)普500指數(shù)日開(kāi)盤價(jià)時(shí)序圖

圖3 滬深300收益率時(shí)序圖

圖4 標(biāo)普500收益率時(shí)序圖

圖5 滬深300日收益率殘差時(shí)序圖

圖6 標(biāo)普500日收益率殘差時(shí)序圖

（2）標(biāo)準(zhǔn)正太分布的峰度K應(yīng)為3，滬深300（K=7.557889＞3）和標(biāo)普500（K=6.173763＞3）收益率曲線的分布凸起程度大于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，說(shuō)明存在較為明顯的“尖峰厚尾”形態(tài)。

（3）滬深300收益率的JB統(tǒng)計(jì)量為718.82，標(biāo)普500收益率的JB 統(tǒng)計(jì)量為302.5816，兩者均大于5%的顯著性水平上的臨界值5.99，所以可以拒絕其收益分布正態(tài)的假設(shè)，并初步認(rèn)定其收益分布呈現(xiàn)“厚尾”特征。

3、序列的單位根檢驗(yàn)

觀察收益率序列的圖形。

檢驗(yàn)結(jié)果顯示兩個(gè)序列均是平穩(wěn)的。

4、檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)

觀察滬深300和標(biāo)普500收益率的自相關(guān)圖，可以看出無(wú)自相關(guān)性，因此直接將兩者對(duì)常數(shù)回歸得到殘差序列。觀察殘差平方的自相關(guān)圖，分別對(duì)兩序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)。

滬深300指數(shù)和標(biāo)普500指數(shù)日收益率殘差序列具有集群效應(yīng)，大波動(dòng)集后接連大波動(dòng)集，小波動(dòng)集后連著小波動(dòng)集。滬深300ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)P值為0.0138，標(biāo)普500ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)P值為0.0000，均不能拒絕不存在ARCH效應(yīng)的原假設(shè)。

表1 滬深300指數(shù)GARCH模型殘差LM檢驗(yàn)

表2 標(biāo)普500指數(shù)GARCH模型殘差LM檢驗(yàn)

5、估計(jì)模型參數(shù)

對(duì)兩組日收益率進(jìn)行檢驗(yàn)后，可以看出序列呈平穩(wěn)性、自相關(guān)性不顯著、殘差序列存在ARCH效應(yīng)。因此，可以對(duì)序列模擬GARCH 模型。為了判斷均值方程中是否加入風(fēng)險(xiǎn)度量項(xiàng)，對(duì)兩組數(shù)據(jù)分別進(jìn)行了含M項(xiàng)的GARCH模型的擬合。擬合后滬深300指數(shù)、標(biāo)普500的GARCH項(xiàng)系數(shù)均顯著，因此保留M項(xiàng)。各估計(jì)系數(shù)滿足非負(fù)性，在10%的水平下顯著。

6、檢驗(yàn)殘差的自相關(guān)性和正態(tài)性

通過(guò)觀察殘差的自相關(guān)圖和殘差平方的自相關(guān)圖，我們可以認(rèn)為兩組指數(shù)GARCH模型的殘差序列、殘差平方序列均不存在自相關(guān)性。由正態(tài)分布檢驗(yàn)可以看出兩組殘差序列均不具有正態(tài)性。

可以看到，兩組指數(shù)GARCH模型殘差均不存在ARCH效應(yīng)，擬合出的GARCH 方程組都已很好的消除了條件異方差效應(yīng)。因此，上述模型能夠較好的反映滬深300指數(shù)和標(biāo)普500指數(shù)的收益率序列異方差現(xiàn)象。

所得GARCH（1，1）模型方程如下：

滬深300指數(shù)

標(biāo)普500指數(shù)

四、VaR計(jì)算

所用VaR公式如下：VaR=-Pt-1Z琢滓t。通過(guò)前面的分析，我們知道收益率的分布明顯不符合正太分布，因此，我們假設(shè)其服從GED分布。

設(shè)期初時(shí)刻的W值為1，采用GARCH標(biāo)準(zhǔn)差的均值計(jì)算，時(shí)間間隔為一天。即計(jì)算一天期的VaR值，同時(shí)用GARCH標(biāo)準(zhǔn)差的最大值和最小值計(jì)算VaR極大值和極小值。

表3 兩種指數(shù)在GED分布下的不同模型的VaR估算結(jié)果

五、結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)滬深300和標(biāo)普500收益率序列的GARCH模型模擬，建立VaR風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型，可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論。

第一、滬深300和標(biāo)普500收益率密度分布不是正態(tài)分布，而是具有明顯的“尖峰厚尾”的特征。這可能是因?yàn)橥顿Y者對(duì)市場(chǎng)的預(yù)期和風(fēng)險(xiǎn)偏好不同，導(dǎo)致對(duì)收益率的預(yù)期也不一樣，并且投資者對(duì)于信息的反應(yīng)具有滯后性。

第二、通過(guò)建立不同的GARCH模型可以發(fā)現(xiàn)，不論是美股市場(chǎng)還是大陸市場(chǎng)，負(fù)向沖擊對(duì)市場(chǎng)的影響要大于正向的沖擊，在實(shí)際中表現(xiàn)為利空使股市下跌的幅度大于利好使股市上漲的幅度。在TARCH和EGARCH模型中，標(biāo)普500杠桿項(xiàng)的系數(shù)均大于滬深300杠桿項(xiàng)系數(shù)，這說(shuō)明美國(guó)金融市場(chǎng)對(duì)信息反饋的非對(duì)稱效應(yīng)更強(qiáng)，投資者對(duì)壞的信息反映會(huì)更加敏感。換言之，美國(guó)金融市場(chǎng)相對(duì)于中國(guó)金融市場(chǎng)，在對(duì)股市波動(dòng)性的反映操作上更為成熟靈敏。

第三、從VaR估計(jì)結(jié)果來(lái)看，標(biāo)普500的VaR值始終小于滬深300的VaR值，這說(shuō)明中國(guó)內(nèi)地股市風(fēng)險(xiǎn)要高于美國(guó)股市。

[1] 胡利琴：金融時(shí)間序列分析實(shí)驗(yàn)教程[M].武漢大學(xué)出版社，2012.

[2] 張穹宇：基于GARCH-VAR模型的股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量研究[J].東方企業(yè)文化·財(cái)會(huì)金融，2013（9）.

[3] 謝軍軍：VaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法在股票市場(chǎng)的應(yīng)用研究 [D].華中科技大學(xué)，2006.

[4] 任甄、吳雷：GARCH（1，1）模型波動(dòng)率預(yù)測(cè)的實(shí)證研究[J].金融觀察，2010（11）.

（責(zé)任編輯：徐悅）

咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院校級(jí)一般課題項(xiàng)目，金融中介發(fā)展與產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的實(shí)證研究，編號(hào)：2016B006。