單　欣，朱家明，陸　玉，計(jì)　萍

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030)

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基于擴(kuò)散模型的京津冀地區(qū)空氣污染研究

單欣，朱家明，陸玉，計(jì)萍

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030)

摘要：綜合分析京津冀地區(qū)的空氣污染指標(biāo)數(shù)據(jù)，首先建立正交因子模型，利用SPSS軟件找出京津冀地區(qū)主要的污染源及其污染參數(shù)，其次結(jié)合具體案例分別建立單污染源和多污染源的擴(kuò)散模型，使用Matlab軟件編程，描述了其對(duì)周圍空氣污染的動(dòng)態(tài)影響規(guī)律及空氣污染濃度的時(shí)空梯級(jí)分布.

關(guān)鍵詞：空氣污染；主成分分析；正交因子模型；污染源擴(kuò)散模型；Matlab

如今，霧霾作為主要的環(huán)境污染已經(jīng)引起了全世界的關(guān)注.霧霾天氣的形成主要是人為因素造成的，如汽車排放尾氣、工廠排放廢氣和燃放煙花爆竹等，再加上氣溫低、風(fēng)力小等自然條件導(dǎo)致污染物不易擴(kuò)散.本研究以京津冀地區(qū)為例,尋找空氣污染的主要污染源并建立空氣污染的擴(kuò)散模型.

1數(shù)據(jù)的獲取及假設(shè)

本研究的數(shù)據(jù)來(lái)自2015年第十二屆五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽B題[1].為了便于解決問(wèn)題，提出如下假設(shè)：①API指標(biāo)真實(shí)可靠，所給數(shù)據(jù)具有參考統(tǒng)計(jì)意義；②單污染源氣體初始泄漏時(shí)可看作在空中某一點(diǎn)向四周等強(qiáng)度的瞬時(shí)釋放，在與風(fēng)向垂直的三維坐標(biāo)的兩個(gè)方向上y軸和z軸呈正態(tài)分布；③初始時(shí)刻污染氣體內(nèi)部溫度呈均勻分布，擴(kuò)散過(guò)程忽略熱傳遞、熱對(duì)流和熱輻射；④整個(gè)擴(kuò)散過(guò)程中風(fēng)速的大小與方向保持不變，污染氣體的擴(kuò)散服從擴(kuò)散定律，即單位時(shí)間通過(guò)單位法向量面積的流量與它的濃度梯度成正比；⑤假設(shè)分析研究的時(shí)間段內(nèi)沒(méi)有重大的異常天氣發(fā)生.

2主要污染源及其污染參數(shù)的研究

2.1研究思路

根據(jù)京津冀地區(qū)的數(shù)據(jù)分析，利用SPSS軟件建立正交因子模型[2]，通過(guò)污染物因子矩陣可得因子得分函數(shù)，由此分析主要的污染源.用主成分分析法將京津冀地區(qū)的主要污染物劃分為兩個(gè)層次，利用Matlab軟件編程[3]以描述京津冀地區(qū)主要污染物的分布情況[4].

2.2正交因子模型

假設(shè)污染源由共性因子Fn確定， χ1，χ2，…，χp為可觀測(cè)指標(biāo)且E(χi)=μi， εi為X的特殊因子，建立正交模型：

X-μ=AF+ε,

式中:矩陣A為因子的載荷矩陣，aij為第j個(gè)因子在第i個(gè)指標(biāo)上的載荷.

首先,將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理[5]，通過(guò)相關(guān)矩陣R計(jì)算特征值和特征向量L.其次,根據(jù)累計(jì)方差貢獻(xiàn)率M來(lái)確定因子個(gè)數(shù)m，累計(jì)方差貢獻(xiàn)率

污染物總方差分解表見表1.

表1　污染物總方差分解表

然后,求得因子載荷矩陣，使用方差最大法對(duì)因子載荷矩陣進(jìn)行正交變換，得出因子得分函數(shù)

βj1， βj2， …，βjp中的最大值所對(duì)應(yīng)的污染源為影響因子j的主要污染源[6].污染物因子矩陣見表2.

表2　污染物因子矩陣

由表2可知，各個(gè)污染物之間的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，由污染物因子矩陣可得因子得分函數(shù)：

F1=0.999[PM2.5]+0.999[PM10]+0.999[NO2]+0.962[SO2]+0.960[CO]-0.044[O3],

由此可知，PM2.5、PM10、二氧化氮、二氧化硫、一氧化碳是京津冀地區(qū)的主要污染源.

F2=0.33[PM2.5]+0.051[PM10]+0.055[NO2]+0.273[SO2]+0.281[CO]-0.999[O3]，

由此可知，臭氧是京津冀地區(qū)的主要污染源.

綜上所述，PM2.5、PM10、二氧化氮、二氧化硫、一氧化碳和臭氧是京津冀地區(qū)的主要污染源，可用主成分分析法將其分為一次污染物和二次污染物，前者包括PM2.5、PM10、二氧化氮、二氧化硫、一氧化碳，后者包括臭氧.

用Matlab軟件分別繪出北京、天津、石家莊3個(gè)城市5種污染氣體隨時(shí)間的變化圖，data1～data5分別為PM2.5、PM10、一氧化碳、二氧化氮和二氧化硫的氣體質(zhì)量濃度，具體結(jié)果見圖1至圖3.

圖1　北京污染物分布Fig.1　Distribution of pollutants in Beijing

圖2　石家莊污染物分布Fig.2　Distribution of pollutants in Shijiazhuang

圖3　天津污染物分布Fig.3　Distribution of pollutants in Tianjin

由3張趨勢(shì)圖可知，二氧化硫?qū)r(shí)間變化最不敏感，PM2.5與PM10對(duì)時(shí)間變化均較敏感，正好與下面的主成分分析法得到的結(jié)果契合.

3污染氣體濃度的變化規(guī)律

3.1研究思路

假定無(wú)風(fēng)的情況下污染源在大氣中勻速向四周擴(kuò)散的速度為s，建立污染源周邊不同距離、不同時(shí)段污染物質(zhì)濃度的預(yù)測(cè)模型.該問(wèn)題采用的污染源擴(kuò)散是點(diǎn)源連續(xù)擴(kuò)散模型，首先在理想的狀態(tài)下將環(huán)境視為一個(gè)沒(méi)有邊界的空間，建立單污染源擴(kuò)散模型，利用質(zhì)量守恒定律和二階偏微分方程來(lái)描述污染氣體濃度的變化規(guī)律[7].

圖4　單污染源氣體的變化規(guī)律Fig.4　The change rule of the single pollution source gas

3.2單污染源擴(kuò)散模型的建立

單污染源氣體的變化規(guī)律[8]如圖4所示.

假設(shè)釋放時(shí)刻記為t=0,釋放點(diǎn)選為坐標(biāo)原點(diǎn)，t時(shí)刻無(wú)窮空間中(x,y,z)的氣體濃度記為C(x,y,z,t).根據(jù)假設(shè)4，單位時(shí)間通過(guò)單位法向量面積的流量

q=-σ*gradC，

式中：σ為擴(kuò)散系數(shù)，grad表示梯度，負(fù)號(hào)表示由濃度高向濃度低的地方擴(kuò)散.設(shè)考察空間域?yàn)棣?，Ω的體積為V，包圍Ω的曲面為S，S的外法線向量為n,則在[t,t+Δt]內(nèi)通過(guò)Ω的流量

而Ω內(nèi)放射性氣體的增量

由質(zhì)量守恒定律可知Q1=Q2,根據(jù)曲面積分的奧氏公式可以得到：

式中div是散度.由此不難得出：

圖5　PM2.5擴(kuò)散模擬圖Fig.5　PM2.5 diffusion simulation

假設(shè)風(fēng)向?yàn)闁|南方,風(fēng)速為 40km/h,衰減系數(shù)為 0.000 01,有效高度為 50m,PM2.5初始質(zhì)量濃度為各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的最高值,利用Matlab模擬[10]可得到PM2.5擴(kuò)散模擬圖.以北京某一監(jiān)測(cè)點(diǎn)為例，結(jié)果見圖5和表3.由模型結(jié)果統(tǒng)計(jì)出距離監(jiān)測(cè)點(diǎn)的各個(gè)距離段的PM2.5平均減少量,結(jié)果見表4.

表3　距離對(duì)PM2.5質(zhì)量濃度的影響

表4　距離監(jiān)測(cè)點(diǎn)各個(gè)距離段的 PM2.5質(zhì)量濃度的平均減少量

由表4可以看到,PM2.5的衰減速度隨著與監(jiān)測(cè)站點(diǎn)之間距離的增加先變快后變慢.

4空氣污染濃度的時(shí)空梯級(jí)分布

4.1研究思路

建立多污染源空氣污染擴(kuò)散模型，可根據(jù)各個(gè)污染源的線性疊加將每一個(gè)污染源看作對(duì)整個(gè)地區(qū)空氣污染的“貢獻(xiàn)”[11].以北京地區(qū)為例，利用Matlab軟件編程建立線源擴(kuò)散模型和多污染源空氣污染擴(kuò)散模型來(lái)分析空氣污染濃度的時(shí)空梯級(jí)分布.

4.2多污染源擴(kuò)散模型的建立

首先，建立線源擴(kuò)散模型，以汽車交通流污染物的線源擴(kuò)散模型為例.

假設(shè)汽車排放的污染物是個(gè)無(wú)限線源，可以直接采用大氣環(huán)境質(zhì)量的線源擴(kuò)散模型作為汽車流污染物的線源擴(kuò)散模型，其中污染物的源強(qiáng)采用計(jì)算公式[12]

Q=∑Qi=∑EFm×qm×B，

其次，建立多污染源擴(kuò)散模型.對(duì)一個(gè)地區(qū)的環(huán)境空氣質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，一般需要計(jì)算研究區(qū)域中各個(gè)點(diǎn)上的年日平均濃度，要在一個(gè)地區(qū)多年風(fēng)向等因素的基礎(chǔ)上，將上式進(jìn)行一定改進(jìn)，可得到多個(gè)污染源的應(yīng)用模型，該區(qū)域的年日平均濃度

(1)

圖6　各污染源對(duì)接受點(diǎn)的污染濃度的貢獻(xiàn)Fig.6　The contribution of each pollution source to the pollution concentration of the receiving point

以北京地區(qū)汽車尾氣污染源為例，各污染源對(duì)接受點(diǎn)污染濃度的貢獻(xiàn)示意圖見圖6.

首先，假設(shè)機(jī)動(dòng)車類型為轎車、微型車、吉普車、中型車并且所有類型的機(jī)動(dòng)車數(shù)量是相等的.然后，以北京為例，描述不同道路的車流量及污染物排放情況，見表5與表6.

表5不同道路的車流量及其相關(guān)變量

Tab.5Different road traffic flow and related variables

道路長(zhǎng)度/km時(shí)速/(km·h-1)距市中心距離/km車流量/(輛·h-1)二環(huán)32.758430068四環(huán)65.380827023六環(huán)187.6801724560

表6　不同道路排放源強(qiáng)情況

圖7　不同環(huán)路不同時(shí)間點(diǎn)的空氣污染濃度Fig.7　Air pollution concentrations at different times and different time points

根據(jù)以上數(shù)學(xué)模型和北京地區(qū)空氣污染物的數(shù)據(jù)可以得到北京市二環(huán)路、四環(huán)路和六環(huán)路在8時(shí)、12時(shí)和21時(shí)空氣污染濃度的梯度，見圖7.

根據(jù)圖7，結(jié)合表5和表6可以得出離市中心越近的道路空氣污染濃度越高并且在高峰期8時(shí)左右空氣污染濃度達(dá)到最大值，21時(shí)的空氣污染濃度也偏高，相比較而言，12時(shí)的空氣污染濃度較低.

5結(jié)語(yǔ)

結(jié)合京津冀地區(qū)的具體案例，通過(guò)單污染源和多污染源污染物擴(kuò)散模型的研究，描述了其對(duì)周圍空氣污染的動(dòng)態(tài)影響規(guī)律及空氣污染濃度的時(shí)空梯級(jí)分布，模型可推廣應(yīng)用于農(nóng)業(yè)上的花粉傳播、工業(yè)上有害氣體的擴(kuò)散、工業(yè)材料的滲透與融合等方面的研究.

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Air pollution in Beijing-Tianjin-Hebei region based on diffusion model

SHAN Xin, ZHU Jiaming, LU Yu, JI Ping

(InstituteofStatisticsandAppliedMathematics,AnhuiUniversityofFinanceandEconomics，Bengbu233030,China)

Abstract:Aiming at the problem of air pollution, comprehensive analysis is carried out for air pollution index data of Beijing, Tianjin and Hebei province. firstly the orthogonal factor model is set up, using SPSS software to identify the main pollution sources and pollution parameters in Beijing, Tianjin region. Secondly, a single pollution source and multi pollution source diffusion model are established combined with the specific case, using Matlab software programming. The model describes the dynamic impact of the surrounding air pollution and air pollution concentration of time and space.

Key words:air pollution; principal component analysis; orthogonal factor model; pollution source diffusion model; Matlab

中圖分類號(hào)：O212.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-330X(2016)01-0052-06

作者簡(jiǎn)介：?jiǎn)涡?1993-)，女，河北滄州人，本科生，研究方向?yàn)榻?jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì).通信作者：朱家明(1973-)，男，安徽泗縣人，副教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)與教學(xué)建模.E-mail:zhujm1973@163.com.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11301001);安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教研項(xiàng)目(acjyzd201429)

收稿日期：2015-10-27