李寶慶，程軍圣，吳占濤，楊　宇

(湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙　410082)

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自適應(yīng)最稀疏時(shí)頻分析方法的分解能力研究*

李寶慶?，程軍圣，吳占濤，楊宇

(湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙410082)

摘要：自適應(yīng)最稀疏時(shí)頻分析(adaptive and sparsest time-frequency analysis，ASTFA)方法將信號(hào)分解轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題，在優(yōu)化的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)信號(hào)的自適應(yīng)分解.為了研究ASTFA的分解能力，在定義分解能力評(píng)價(jià)指標(biāo)(Evaluation Index of Decomposition Capacity，EIDC)的基礎(chǔ)上，以雙諧波分量合成信號(hào)模型來(lái)研究幅值比、頻率比、初始相位差對(duì)ASTFA的影響.同時(shí)，將ASTFA方法與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)、局部特征尺度分解(Local Characteristic-scale Decomposition, LCD)進(jìn)行對(duì)比分析.研究結(jié)果表明，ASTFA方法的分解能力基本不受幅值比的影響，可分解的極限頻率比較大，不受初始相位差的影響，該方法的分解能力具有明顯的優(yōu)越性.

關(guān)鍵詞：自適應(yīng)最稀疏時(shí)頻分析；經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；局部特征尺度分解；分解能力；相位

自適應(yīng)時(shí)頻分析方法可以在對(duì)信號(hào)分解的過(guò)程中根據(jù)信號(hào)本身的特性自動(dòng)選擇基函數(shù)或者其參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解.目前廣泛應(yīng)用的自適應(yīng)時(shí)頻分析方法有EMD方法，EMD通過(guò)多次迭代將信號(hào)分解為一系列具有不同時(shí)間尺度的內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)之和，并通過(guò)希爾伯特變換得到分量信號(hào)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值[1].除EMD方法外，一些新的自適應(yīng)時(shí)頻分析方法被提出與研究，如LCD方法.LCD法自適應(yīng)地將一個(gè)復(fù)雜信號(hào)分解為若干個(gè)相互獨(dú)立的內(nèi)稟尺度分量(Intrinsic Scale Component，ISC)之和[2].實(shí)際上，EMD與LCD的分解思路是相同的，都首先采用基于極值點(diǎn)的局部特征尺度參數(shù)定義一種瞬時(shí)頻率具有物理意義的單分量信號(hào)，然后據(jù)此進(jìn)行自適應(yīng)分解，其中EMD定義了IMF分量，LCD定義了ISC分量.因此，EMD和LCD都存在一些共同的缺陷，如模態(tài)混淆、分解過(guò)程的偽分量問(wèn)題等[3-4].另外，單分量信號(hào)IMF和ISC的定義缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.

受壓縮感知理論以及EMD方法的啟發(fā)，Hou和Shi于2011年提出了一種自適應(yīng)最稀疏時(shí)頻分析(ASTFA)方法[5-6]，主要思想是基于多尺度數(shù)據(jù)具有內(nèi)在的稀疏時(shí)頻分布的特點(diǎn)，采用高斯牛頓迭代法解決非線性優(yōu)化問(wèn)題實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解.ASTFA方法以分解得到的單分量個(gè)數(shù)最少為優(yōu)化目標(biāo)，以單分量的瞬時(shí)頻率具有物理意義為約束條件，在目標(biāo)優(yōu)化的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)信號(hào)的自適應(yīng)分解，并直接得到各個(gè)分量的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，從而獲得原始信號(hào)完整的時(shí)頻分布.ASTFA方法與EMD及LCD方法不同，其具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[7]，每個(gè)分量信號(hào)都具有明確的物理意義.

實(shí)際上，自適應(yīng)時(shí)頻分析方法并不是對(duì)所有的多分量信號(hào)都能實(shí)現(xiàn)有效分解，分解能力存在一定的局限性.文獻(xiàn)[8-9]對(duì)EMD方法的分解能力做了研究，研究表明EMD的分解能力與分量信號(hào)的頻率比及振幅比有關(guān)，當(dāng)分量的頻率太過(guò)接近或者高、低頻分量的幅值比太小時(shí)，EMD方法不能實(shí)現(xiàn)分量的有效分離.類(lèi)似于EMD方法的分解能力研究，文獻(xiàn)[10]通過(guò)建立分解能力研究模型研究了頻率比、幅值比及初始相位差對(duì)LCD分解能力的影響，研究表明初始相位差的影響很小，頻率比及幅值比的影響明顯.以上研究表明，以雙諧波分量合成信號(hào)的分解效果來(lái)評(píng)估自適應(yīng)時(shí)頻分析方法的分解能力是一種非常有效的方法.本文基于雙諧波分量合成信號(hào)的分解來(lái)研究頻率比、幅值比、初始相位差對(duì)ASTFA方法分解能力的影響，并與EMD及LCD方法進(jìn)行對(duì)比.結(jié)果表明，ASTFA方法的分解能力具有一定的優(yōu)越性.

1ASTFA方法

ASTFA方法基于多尺度數(shù)據(jù)具有內(nèi)在稀疏分布的特點(diǎn)，在建立包含所有內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)的過(guò)完備字典庫(kù)的基礎(chǔ)上尋找信號(hào)的最稀疏表達(dá).ASTFA方法首先建立合適的過(guò)完備字典庫(kù)，然后在過(guò)完備字典庫(kù)中搜索對(duì)數(shù)據(jù)的匹配性最好的自適應(yīng)基.

1)過(guò)完備字典庫(kù)D

D={a(t)cos(θ(t)): θ′(t)≥0,

a(t)∈V(θ)},

(1)

k=0,…，λn,l=1,…，λn}.

(2)

其中θ′(t)≥0是為了保證瞬時(shí)頻率具有物理意義，約束a(t)∈V(θ)的目的是令a(t)比cos(θ(t))更平滑，Span為空間內(nèi)所有元素的線性張成.

2)最優(yōu)化問(wèn)題

MinnimizeM

ai(x)cosθi(x)∈D．

(3)

上述優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)L0優(yōu)化問(wèn)題，該問(wèn)題本身是NP-Hard問(wèn)題.ASTFA方法將上述L0優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)2優(yōu)化問(wèn)題，并采用高斯牛頓迭代方法解決該問(wèn)題.

Subjectto:ai(t)cosθi(t)∈D．

(4)

式中：ai(t)cosθi(t)為分解得到的第i個(gè)分量，記為ui(t)，ai(t)為分量的瞬時(shí)幅值，θi(t)為分量的相位函數(shù).

2ASTFA方法的分解能力研究

2.1分解能力評(píng)估模型與評(píng)價(jià)指標(biāo)

首先確定雙諧波分量信號(hào)分析模型，考察式(5)所示的仿真信號(hào)，該仿真信號(hào)由兩個(gè)諧波分量組成．假設(shè)f1

x(t)=a1cos(2πf1t+φ1)+

a2cos(2πf2t+φ2)．

(5)

為了評(píng)估自適應(yīng)時(shí)頻分析方法的分解能力，定義式(6)為單分量信號(hào)的分解能力評(píng)價(jià)指標(biāo)(Evaluation Index of Decomposition Capacity，EIDC)[7,9].式中：xi(t)為單分量信號(hào)的真實(shí)值.Cpi(t)為自適應(yīng)時(shí)頻分析方法分解得到的單分量信號(hào)，EMD方法中為IMFi(t)，LCD方法中為ISCi(t)，ASTFA方法中為ui(t).T為信號(hào)長(zhǎng)度.

(6)

為了保證分解得到的分量全部準(zhǔn)確，因此合成信號(hào)的分解能力評(píng)價(jià)指標(biāo)由式(7)確定.為方便，規(guī)定EIDC∈[0,1]，對(duì)于EIDC>1的情況則規(guī)定EIDC=1.EIDC的物理意義為：EIDC值越小說(shuō)明分解得到的分量Cpi(t)越接近于真實(shí)值xi(t)，分解能力越強(qiáng)；EIDC值越大說(shuō)明分解得到的分量Cpi(t)越遠(yuǎn)離真實(shí)值xi(t)，分解能力越弱.文獻(xiàn)[7]和[9]研究表明，EIDC≤0.05時(shí)，可認(rèn)為分量信號(hào)被準(zhǔn)確分離.

EIDC=max[EIDCi].

(7)

考察式(8)所示的仿真信號(hào),采樣頻率為1 024 Hz，t∈[0,1].其時(shí)域波形如圖1所示，分解結(jié)果如圖2所示，EIDC=0.05.從圖2中可以看出，分量信號(hào)基本被分離，但是分量信號(hào)的幅值與真實(shí)值存在一定的偏差.因此，ASTFA方法采用與EMD及LCD相同的分解上限指標(biāo)值，即：要求EIDC≤0.05.

x(t)=5cos(118.4πt)+5cos(160πt).

(8)

t/s

t/s

2.2頻率比F與幅值比A對(duì)分解能力的影響

為直觀評(píng)價(jià)幅值比A和頻率比F共同對(duì)EIDC的影響，同時(shí)更加直觀地比較ASTFA，EMD和LCD的分解范圍，建立式(9)所示的分析模型，得到圖3—圖5所示的等高線圖，兩條等高線為EIDC=0.05和EIDC=1.為研究方便，本文在計(jì)算中設(shè)定EMD和LCD的單個(gè)分量迭代次數(shù)為10，設(shè)定初始相位差φ=0.在本文的研究中，為充分保證分解算法的收斂性，降低相位函數(shù)初始值選擇的復(fù)雜性，設(shè)定相位函數(shù)初始值為仿真信號(hào)的理論相位函數(shù).

x(t)=5Acos(160Fπt)+5cos(160πt),

A∈[0,10],F∈[0,1].

(9)

兩條等高線將A-F平面分隔為3個(gè)區(qū)域，EIDC<0.05的區(qū)域表示分量信號(hào)可以完全分離，定義為信號(hào)完全分解區(qū)；EIDC=1的區(qū)域表示分量信號(hào)完全不能分離，定義為信號(hào)完全不分解區(qū)；0.05

幅值比A

幅值比A

幅值比A

1)ASTFA方法的完全分解區(qū)明顯大于EMD和LCD方法的完全分解區(qū)，表明ASTFA方法的分解能力明顯強(qiáng)于EMD和LCD方法.且ASTFA方法能夠分解的最大頻率比為F=0.74，EMD方法能夠分解的最大頻率比為F=0.61，LCD方法能夠分解的最大頻率比為F=0.69.

2)ASTFA方法的完全不分解區(qū)明顯小于EMD和LCD方法的完全不分解區(qū)，同樣表明ASTFA方法的分解能力明顯強(qiáng)于EMD和LCD方法.

3)ASTFA方法的分解能力基本不受幅值比的影響，但是在頻率比0.61

4)EMD和LCD方法的區(qū)域劃分非常相似，同時(shí)在低頻率比、低幅值比情況下有分量無(wú)法完全分離的情況.這種相似性現(xiàn)象的出現(xiàn)是由于EMD和LCD采用了相同的分解思路.

為驗(yàn)證圖3—圖5計(jì)算結(jié)果的正確性，考察式(10)所示的仿真信號(hào)x(t)，t∈[0,1]，設(shè)定幅值比A=1.頻率比F與EIDC的關(guān)系如圖6所示，由圖6可知，在式(10)的分析模型下，EMD能夠分解的頻率比上限為F=0.61，LCD能夠分解的頻率比上限為F=0.67，ASTFA能夠分解的頻率比上限為F=0.74，結(jié)果表明了計(jì)算的正確性.

x(t)=5cos(160Fπt)+5cos(160πt),

F∈[0,1].

(10)

頻率比F

為驗(yàn)證圖3—圖5計(jì)算結(jié)果的正確性，考察式(11)所示的仿真信號(hào)，設(shè)定頻率比為F=0.4.幅值比A與EIDC的關(guān)系如圖7所示，由圖7可知，在式(11)的分析模型下，EMD能夠分解的幅值比上限為A=3.85，LCD能夠分解的幅值比上限為A=3.35，ASTFA的 EIDC值基本接近于0，結(jié)果不但表明了計(jì)算的正確性，而且表明ASTFA有良好的分解精度.

x(t)=5Acos(64πt)+5cos(160πt),

A∈[0,10].

(11)

為驗(yàn)證幅值比對(duì)ASTFA方法的影響，考察式(12)所示的仿真信號(hào)，頻率比F=0.4.為更具一般性，設(shè)幅值比A=1 000.時(shí)域波形如圖8所示，采用ASTFA對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行分解，分解結(jié)果如圖9所示.

x(t)=5cos(64πt)+5 000cos(160πt).

(12)

t/s

t/s

從圖9中可以看出，ASTFA準(zhǔn)確地將兩個(gè)分量信號(hào)進(jìn)行分離.結(jié)果證明ASTFA方法除在頻率比0.61

2.3初相位差φ對(duì)分解能力的影響

前面在研究頻率比F，幅值比A對(duì)分解能力的影響時(shí)，設(shè)定初相位差φ=0.現(xiàn)在進(jìn)一步研究初相位差φ對(duì)ASTFA方法分解能力的影響，初始相位差φ∈[-2π,2π].為研究初相位差φ對(duì)ASTFA方法分解能力的影響，考察式(13)所示的仿真信號(hào)，頻率比F=0.4，幅值比A=1，位于完全可分解區(qū)域.仿真信號(hào)的初相位差φ與EIDC的關(guān)系如圖10所示.從圖10中可以看出，EIDC值變化不大，初始相位差對(duì)分解能力基本無(wú)影響.

x(t)=5cos(64πt+φ)+5cos(160πt).

(13)

初始相位差φ

為更具一般性，在不完全可分解區(qū)域選擇一個(gè)合成信號(hào)，頻率比F=0.8，幅值比A=3，具體如式(14).仿真信號(hào)的初相位差φ與EIDC的關(guān)系如圖11所示.從圖11中可以看出，EIDC值變化不大，初始相位差對(duì)分解能力基本無(wú)影響.綜合圖10和圖11可以知道，對(duì)于不同的頻率比F和幅值比A，初始相位差φ對(duì)ASTFA方法的分解能力基本無(wú)影響.

x(t)=5cos(128πt+φ)+15cos(160πt).

(14)

初始相位差φ

3結(jié)論

根據(jù)本文的研究，可以得到以下結(jié)論：

1)頻率比對(duì)ASTFA方法的影響較大，ASTFA方法可分解的極限頻率比為0.74，該極限頻率比優(yōu)于EMD和LCD方法.

2)幅值比對(duì)ASTFA方法的影響較小，除去頻率比0.61

3)初始相位差對(duì)ASTFA方法的分解能力基本無(wú)影響.

通過(guò)本文的研究發(fā)現(xiàn)，與EMD和LCD方法相比，ASTFA方法的分解能力具有明顯的優(yōu)越性，ASTFA方法將會(huì)得到廣泛的關(guān)注.但是ASTFA方法中相位初始值的選擇非常關(guān)鍵，需在后續(xù)的應(yīng)用中對(duì)相位初始值的選擇進(jìn)行深入的研究.

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Research on the Decomposing Ability of the Adaptive and Sparsest Time-Frequency Analysis Method

LI Bao-qing?, CHENG Jun-sheng, WU Zhan-tao, YANG Yu

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan Univ, Changsha, Hunan410082, China)

Abstract:The signal decomposition is translated into optimization problem in the adaptive and sparsest time-frequency analysis (ASTFA) method, and the signal can be decomposed adaptively in the optimization. In order to research the ASTFA decomposition capability, based on the evaluation index of decomposition capacity (EIDC), this paper studied the effect of amplitude ratio, the frequency ratio and initial phase difference by using the decomposition model with the double harmonic component synthetic signal. And then, the ASTFA was compared with the Empirical Mode Decomposition (EMD) and Local Characteristic-scale Decomposition (LCD). The results show that the decomposition capacity of the ASTFA is not influenced by the amplitude ratio or the initial phase difference, and the decomposed ultimate frequency ratio is larger. The decomposition capacity of the ASTFA method has the obvious superiority.

Key words:adaptive and sparsest time-frequency analysis; EMD; LCD; decomposing ability；phase

中圖分類(lèi)號(hào)：TH113.1; TN911.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：李寶慶(1984-)，男，山西平遙人，湖南大學(xué)博士研究生?通訊聯(lián)系人，E-mail:baoqing427@163.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375152), National Natural Science Foundation of China(51375152)

*收稿日期：2015-01-24

文章編號(hào)：1674-2974(2016)02-0043-05